2012年高考数学一轮复习10A-5课时作业

1、用心爱心专心 -1 - 课时作业（五十一） 一、选择题 1. （09 重庆）已知二面角a l 3的大小为 50, P为空间中任意一点，则过点 P且 与平面a和平面3所成的角都是 65的直线的条数为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 答案 B 解析 过点P分别作平面a、3的垂线11、丨2,则所求直线 m与Ii、l2所成的角都是 65, 且直线li、丨2相交所成的两对对顶角的大小分别是 50与 130 .于是可将问题转化为过点 P 且与定直线li、丨2所成的角都是 65的直线 m的条数问题结合图形易知，过点 P且与定直 线I 1、I 2所成的角都是 65的直线 m共有 3 条，选 B.

2、 2. （2010 全国卷I,文）直三棱柱 ABC- A1B1G 中，若/ BAC= 90, AB= AC= AA,则异 面直线BA与AC所成的角等于（ ） A. 30 B. 45 C. 60 D. 90 答案 C 解析 延长CA至点M使AM= CA则AM/ CA / MAB或其补角为异面直线 BA与AG所 成的角，连接BM易知 BMA为等边三角形，因此，异面直线 BA与AC所成的角为 60,选 C. 3. （201 1 黄冈）把正方形 ABCD&对角线 AC折起，当以 A B C D四点为顶点的三棱 锥体积最大时，直线 BD和平面ABC所成的角的大小为（ ） A. 90 B. 60

3、C. 45 D. 30 答案 C 解析 易知当折成的二面角 B- AC- D为 90时，体积最大，正方形的对角线 BD被折成 两段OD OB此时OB与 BD所成的角即为 BD与平面ABC所成的角，易知 OD助等腰直角三 角形，/ DBO= 45 ,.选 C. 4 .正三棱柱ABC- ABC的所有棱长均相等，则二面角 A- AB C的大小为（ 16 A. arctan 6 用心爱心专心 -2 - B. arccos 二- 6C. arcsin 弓 D. arccos 孕 用心爱心专心 -3 - E,贝U CEL平面 AAB过E作EF丄AB于F,连结CF,贝U CF丄AB 答案 A / CFE为二

4、面角 A-AB- C的平面角，设BC= 1 则 CE=# tan / CFE= |C= 6 故选 A 5. (2010 全国卷I,理 ）正方体 ABC-ABCD中，BB与平面 ACD所成角的余弦值为 2 C.3 D 答案 D 解析 BB与平面ACD所成的角等于 DD与平面ACD所成的角，在三棱锥D- ACD中，由三 条侧棱两两垂直得点 D在底面ACD内的射影为等边三角形 ACD的垂心即中心 H,连接DH, DH 则/ DDH为DD与平面ACD所成的角，设正方体棱长为a, 小 3 a击 则 cos / DDH= =弋,故选 D. a 3 二、填空题 6 .四棱锥 P ABCD勺底面 ABCD为菱

5、形，/ BAD= 60 ，侧面PAD为等边三角形，当二面 角P AD- B为 120时，直线PB与底面ABC所成的角为 答案 30 解析 取AD中点O,贝U POL AD BOL AD / POB= 120,且 PO= BO PBO= 30 7 .如图，已知正三棱柱 ABC- ABC的所有棱长都相等, D是AQ的中点，则直线AD与平 面BDC所成角的正弦值为 解析取AB中点 用心爱心专心 -4 - 4 答案 5 解析 如图，作AEL CD又正三棱柱 ABC- ABC中，BD丄平面AACC,贝卩BD丄AE又 因为CCT DB= D,. AEL平面BiDC则/ ADE就是直线 AD与平面BDC所成

6、的角，设正三棱柱 棱长为 2，贝U DC=5, A*咕 5, AC= 2. 9 9 9 在厶ACD中，由余弦定理求得：cosAD=蔦+ 牡 =5罗-4=3，即直线 AD与平面 2 AD* CD 2X5 5 4 BDC所成的角的正弦值为 5. 8 若一条直线与一个正四棱柱各个面所成的角都为 答案身 3 解析 本题考查立体几何知识，由对称原理，该正四棱柱只可能为正方体，满足题意的 直线可以为其对角线，显然对角线与各面所成的角的余弦值都是 三、解答题 BCD ABL平面 BCD AB= 2 3. (1)求直线AM与平面BCD所成角的大小; 求平面ACM与平面BCD所成二面角的正弦值. 解析 （1）取

7、CD中点Q连OB OM贝U OBL CD OIL CD 又平面 MCL平面BCD所以MCL平面BCD所以 MQ AB A B O M共面，延长 AM BO相交于E,则/ AEB就是AM与平面BCD所成的角.a ,贝H COS a = _ . _ /6 9 (2010 江西，文)如图， BCMA MCD都是边长为 2 的正三角形，平面 MCL平面 用心爱心专心 -5 - 因为 OB= MO= 3, MO AB 所以 EB=兽 2， v EB AB 2 所以 EB= 2 3 = AB,故/ AEB= 45. (2) CE是平面ACM与平面BCD的交线. 由 知，O是BE的中点，则四边形 BCE是菱

8、形. 作BF丄EC于F,连AF,贝U AF丄EC / AFB就是二面角 A- EC- B的平面角，即平面 ACM 与平面BCD所成二面角的平面角，设为 0 . 因为/ BCE= 120,所以/ BC= 60. 所以 BF= BC- sin60 = 3, 又 AB= 2 3, ABL BF,所以 AF= 15,所以 sin 0 =甘. 所以，所求二面角的正弦值是 竽. 10.如图，在直四棱柱 ABC-ABCD 中，已知 D(= DD= 2AD= 2AB ADL DC AB/ DC (1)设E是DC的中点， 求证：DE/平面ABD 求二面角A BD- C1的余弦值. 解析 (1)连结BE是四边形

9、DABE为正方形, BE= AD= AD，且 BE/ AD/ AD, 四边形 ADEB为平行四边形， DE/ AB, 又DE?平面ABD AB?平面ABD 又DE/平面ABD 在四边形ABC即,设AD= a , / AB= AD, ADL DC AB/ DC ADL AB 故BD= 2a ,由(1)得 BC = BE+ EC = a2 + a2 = 2a2 , DC= 2a / DB(= 90 , 即 BDL BC 又 BDL BB ,EO= OB= 3, 用心爱心专心 -6- BDLL平面 BCCBi,又 BG?平面 BCCB , BDL BG, 取DC的中点M连结AIF, FM 由题意知，

10、 FM/ BC, FML BD 又 AID= AB, AF丄BD / AI FM为二面角 A BD- C的平面角， 连结A M在厶A FM中， 由题意可知； AI F= 322a, FM= 2BC = 2BC+ CC2 = 26a, 取D C的中点H,连结AH, HM 在 Rt AHM中, /AI H= 2a, HM= a, 9 2 3 2 2 2a + 2a 3a .面角Al BD- C的余弦值为 1 1 . (20 1 0 全国卷n )如图，直三棱柱 ABC- Al Bl C中，AC= BC AA= AB D为BB的中点, E为AB上的一点，AE= 3EB. (1 )证明：DE为异面直线

11、AB与CD的公垂线; 设异面直线AB与CD的夹角为 45,求二面角 A AC B的大小. cos / AI A+FMAM 2AI F FM 用心爱心专心 -7- 解析 连结AB,记AB与AB的交点为F.因为面AABB为正方形，故 AB丄AB,且AF =FB,又 AE= 3EB，所以 FE= EB,又 D 为 BB 的中点，故 DE/ BF, DEL AB. 作CGL AB G为垂足，由 AC= BC知，G为AB中点. 又由底面 ABCL面AABB,得CGL面AABB, 连结DG贝 U DG/ AB,故DEL DG由三垂线定理，得 DEL CD 所以DE为异面直线 AB与CD的公垂线. 因为DG

12、/ AB,故/ CD异面直线 AB与CD的夹角， / CDG45 设 AB= 2,贝U AB= 2 述,DG=, CG=, AC=0. 作BH丄AQ, H为垂足，因为底面 ABC丄面AACC,故BH丄面AACC. 又作HK!AC, K为垂足，连结 BK,由三垂线定理，得 BKLAC, 因此/ BKH为二面角 A AC B的平面角. A B x ； A Ci2一 Ai Bi - 瞄 J =驚 HC= B G 2 B 甘=， 3 AA x HC 2 , 3 AC 3 J. tan / B KH=黑=仏 HK 所以二面角 Ai AC B的大小为 arctanT4. 1 2. (20 1 0 安徽卷，

13、理)如图，在多面体 ABCDEI中，四边形 ABCD是正方形，EF/ AB EFL FB AB 2EF, / BFC= 90 , BF= FC H 为 BC 的中点. (1 )求证：FH/平面EDB 求证：ACL平面EDB 求二面角B- DE- C的大小. 綊 2AB 又 EF綊 2AB EF綊 GH 四边形EFHG平行四边形, EG/ FH 而 EG 平面 EDB解析 (1 )设AC与 BD交于点G贝U G为AC的中点，连 EG GH又H为BC的中点， GH HK 用心爱心专心 -8 - /. FH/ 平面 EDB 由四边形ABCD正方形，有 又 EF/ AB 二 EF丄 BC 而EF丄FB

14、, EF丄平面BFC EF丄 FH, ABL FH 又BF= FC H为BC的中点，二FH1 BC FH丄平面 ABCD FHLAC 又 FH/ EG ACL EG 又 AC! BD EGH BD= G - ACL平面 EDB EF FB / BFC= 90 ? BF! FC BF丄平面 CDEF 在平面CDE内过点F作FK DE交DE的延长线于 K 则/ FKB为二面角B- DE- C的一个平面角. 设 EF= 1,则 AB= 2 , FC= 2 , DE= 3 , BF= 2. 又 EF/ DC KEF=Z EDC - sin / EDC= sin / KEF= 二面角 B- DE- C为

15、 60 13. （09 天津）如图，在五面体 ABCDE中, FA丄平面 ABCD AD/ BC/ FE, ABL AD M为 1 EC的中点，AF= AB= BC= FE= ?AD （1）求异面直线BF与DE所成的角的大小; 证明平面AMCL平面CDE 求二面角 A- CD- E的余弦值. 解（1）由题设知，BF/ CE所以/ CED或其补角）为异面直线 BF与DE所成的角设 P 为AD的中点，连结 ER PC因为FE綊AP,所以FA綊EP同理，AB綊PC又FA!平面ABCD:. FK= EFsin / KEF= tan / FKB=乎.3 , / FKB= 60 用心爱心专心 -9 - 所以EP丄平面ABCD而PC AD都在平面 ABCD内，故EPL PC, EPL AD由ABL AD，可得PCL AD设 FA= a,贝U EP= PC= PD= a, CD= DE= EC= 2a，故/ CED= 60 .所以异面直线 所成的角为 60. (