2010高三数学高考最后30天冲刺练习：解析几何

1、2010高考数学最后30天冲刺练习：解析几何例1、如图所示，已知圆为圆上一动点，点P在AM上，点N在CM上，且满足的轨迹为曲线E.（I）求曲线E的方程；（II）过点A且倾斜角是45°的直线l交曲线E于两点H、Q，求|HQ|.【解】（1）NP为AM的垂直平分线，|NA|=|NM|.2分又动点N的轨迹是以点C（1，0），A（1，0）为焦点的椭圆.且椭圆长轴长为焦距2c=2. 5分曲线E的方程为6分（2）直线的斜率直线的方程为8分由10分设，12分例2、 已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，它的一个顶点恰好是抛物线的焦点，离心率为（1）求椭圆C的标准方程；（2）过椭圆C的右焦点F作直线l

2、交椭圆C于A、B两点，交y轴于M点，若，求的值【解】 （1）设椭圆C的方程为， 抛物线方程化为，其焦点为， 椭圆C的一个顶点为，即， 3分 由，得， 椭圆C的方程为6分 （2）由（1）得， 7分设 ，显然直线的斜率存在，设直线的方程为，代入，并整理得， 9分 10分又， ，由，得， 12分 14分例3、 在直角坐标系中，已知一个圆心在坐标原点，半径为2的圆，从这个圆上任意一点P向y轴作垂线段PP，P为垂足. （1）求线段PP中点M的轨迹C的方程； （2）过点Q(2,0)作直线l与曲线C交于A、B两点，设N是过点，且以 为方向向量的直线上一动点，满足（O为坐标原点），问是否存在这样的直线l，使得

3、四边形OANB为矩形？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明文由.【解】（1）设M(x，y)是所求曲线上的任意一点，P（x1，y1）是方程x2 +y2 =4的圆上的任意一点，则 则有：得， 轨迹C的方程为 （1）当直线l的斜率不存在时，与椭圆无交点. 所以设直线l的方程为y = k(x+2)，与椭圆交于A(x1，y1)、B(x2，y2)两点，N点所在直线方程为 由 由= 即 即，四边形OANB为平行四边形 假设存在矩形OANB，则，即， 即， 于是有 得 设， 即点N在直线上. 存在直线l使四边形OANB为矩形，直线l的方程为例4、设，椭圆方程为，抛物线方程为如图4所示，过点作轴的平行线，与

4、抛物线在第一象限的交点为，已知抛物线在点的切线经过椭圆的右焦点（1）求满足条件的椭圆方程和抛物线方程；（2）设分别是椭圆长轴的左、右端点，试探究在抛物线上是否存在点，使得为直角三角形？若存在，请指出共有几个这样的点？并说明理由（不必具体求出这些点的坐标）AyxOBGFF1图4【解析】（1）由得，当得，G点的坐标为，过点G的切线方程为即，令得，点的坐标为，由椭圆方程得点的坐标为，即，即椭圆和抛物线的方程分别为和；（2）过作轴的垂线与抛物线只有一个交点,以为直角的只有一个，同理 以为直角的只有一个。若以为直角，设点坐标为，、两点的坐标分别为和， 。关于的二次方程有一大于零的解，有两解，即以为直角的

5、有两个，因此抛物线上存在四个点使得为直角三角形。例5、已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，且经过、三点（1）求椭圆的方程：（2）若点D为椭圆上不同于、的任意一点，当内切圆的面积最大时。求内切圆圆心的坐标；（3）若直线与椭圆交于、两点，证明直线与直线的交点在直线上【解析】（1）设椭圆方程为将、代入椭圆E的方程，得解得.椭圆的方程 （4分）（2），设边上的高为 当点在椭圆的上顶点时，最大为，所以的最大值为 设的内切圆的半径为，因为的周长为定值6所以， 所以的最大值为所以内切圆圆心的坐标为 （10分）（3）法一：将直线代入椭圆的方程并整理得设直线与椭圆的交点，由根系数的关系，得直线的方程为：，

6、它与直线的交点坐标为同理可求得直线与直线的交点坐标为下面证明、两点重合，即证明、两点的纵坐标相等：，因此结论成立综上可知直线与直线的交点住直线上（16分） 法二：直线的方程为：由直线的方程为：，即由直线与直线的方程消去，得直线与直线的交点在直线上例6、设椭圆M：(ab0)的离心率为，长轴长为，设过右焦点F倾斜角为的直线交椭圆M于A，B两点。（）求椭圆M的方程；（）求证| AB | =；（）设过右焦点F且与直线AB垂直的直线交椭圆M于C，D，求|AB| + |CD|的最小值。解：（）所求椭圆M的方程为3分（）当，设直线AB的斜率为k = tan，焦点F ( 3 , 0 )，则直线AB的方程为y

7、= k ( x 3 )有( 1 + 2k2 )x2 12k2x + 18( k2 1 ) = 0 设点A ( x1 , y1 ) , B ( x2 , y2 )有x1 + x2 =, x1x2 =|AB| = * 6分又因为 k = tan=代入*式得|AB| = 8分当=时，直线AB的方程为x = 3，此时|AB| = 10分而当=时，|AB| =综上所述所以|AB| =（）过右焦点F且与直线AB垂直的直线交椭圆M于C，D，同理可得|CD| = 12分有|AB| + |CD| =+=因为sin20，1，所以 当且仅当sin2=1时，|AB|+|CD|有最小值是 14分例7、直线与抛物线相交于

8、A、B两点，为抛物线的顶点，若证明：直线过定点证明：（I）当直线有存在斜率时，设直线方程为，显然2分联立方程得：消去由题意： 5分又由得， 7分即，解得  9分故直线的的方程为：，故直线过定点 11分（II）当直线不存在斜率时，设它的方程为，显然联立方程得： ,即又由得，即，解得  可知直线方程为：，故直线过定点 综合（）（）可知，满足条件的直线过定点13分例8、已知抛物线，点M(m,0)在x轴的正半轴上，过M的直线l与C相交于A、B两点，O为坐标原点.（）若m=1，l的斜率为1，求以AB为直径的圆的方程；（）若存在直线l使得成等比数列，求实数m的取值范围.（）解：由题意，

9、得，直线l的方程为.由, 得,设A, B两点坐标为, AB中点P的坐标为,则,故点 -3分所以,故圆心为, 直径,所以以AB为直径的圆的方程为； -6分方法一：（）解：设A, B两点坐标为, .则, 所以 因为点A, B在抛物线C上, 所以, 由，消去得. -10分 若此直线l使得成等比数列，则， 即，所以， 因为，所以，整理得， -12分 因为存在直线l使得成等比数列，所以关于x1的方程有正根， 因为方程的两根之积为m2>0, 所以只可能有两个正根， 所以，解得.故当时，存在直线l使得成等比数列. -14分方法二：（）解：设使得成等比数列的直线AB方程为或,当直线AB方程为时, ，因为

10、成等比数列, 所以，即，解得m=4，或m=0(舍)-8分当直线AB方程为时， 由，得，设A, B两点坐标为, 则, 由m>0, 得.因为成等比数列, 所以,所以， 因为A, B两点在抛物线C上，所以, -11分 由，消去, 得,因为存在直线l使得成等比数列，所以, 综上，当时，存在直线l使得成等比数列. -14分例9、如图所示，点且（1）设动点N的轨迹为曲线C，求曲线C的方程；（2）过点B（-2，0）的直线与曲线C交于点P、Q，若在曲线C上存在点M，使得的斜率的取值范围，解：（1）设，由知：R是TN的中点，1分 则3分 则就是点N的轨迹曲线C的方程：5分 （2）设直线的方程为，代入曲线C

11、的方程， 得 此方程有两个不等实根， M在曲线C上，P、Q是直线与曲线C的交点，设 则，是以PQ为斜边的直角三角形，8分，显然，10分为点M的坐标，关于的方程有实根，。，直线的斜率且，或13分w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 例10、已知椭圆两焦点分别为F1、F2，P是椭圆在第一象限弧上一点，并满足，过P作倾斜角互补的两条直线PA、PB分别交椭圆于A、B两点. （1）求P点坐标； （2）求证直线AB的斜率为定值； （3）求PAB面积的最大值。 解：（1）由题可得，设则，2分，点在曲线上，则，从而，得.则点P的坐标为. 5分（2）由题意知，两直线PA、PB的斜率必存在，设PB的斜率为，6分

12、则BP的直线方程为：.由得 ，设，则，同理可得，则，. 9分所以：AB的斜率为定值. 10分（3）设AB的直线方程：.由，得，由，得P到AB的距离为，12分则 。当且仅当取等号三角形PAB面积的最大值为。14分例11、已知椭圆的左焦点为F1，C上存在一点P到椭圆左焦点的距离与到椭圆右准线的距离相等(1)求椭圆的离心率的取值范围；O·F1xyAB(2)若已知椭圆的左焦点为（-1，0）,右准线为，A、B为椭圆上的两个动点，且满足OAOB(O为坐标原点)，试证明直线AB总与一个定圆相切,并求该圆的面积.解（1）设点P的坐标为，则|PF1|=，=，2分整理得：，而，解得5分（2）易求得椭圆的

13、方程为，6分设AB不垂直于轴时，AB的方程为，联立方程可得由得且8分而，即。而原点到直线 AB的距离为，所以原点到直线 AB的距离为。即直线AB都与圆相切。11分设AB垂直于轴时，AB的方程为，代入椭圆方程得即，此时，直线AB与圆相切.综上: 直线AB一定与圆相切,且该圆的面积为.13分例12、我们把由半椭圆（x0）与半椭圆 (xo)合成的曲线称作“果圆”，其中a2=b2+c2，a>0，6>c>O如图，设点F0，F1，F2是相应椭圆的焦点，A1，A2和B1，B2是“果圆”与x，y轴的交点，M是线段A1A2的中点(13分)(I)看F0F1F2是底边F1F2疋长为6，腰长为5的等

14、腰三角形，求该“果圆”的方程； (1I)若“果圆”方程为：，过F0的直线l交“果圆”于y轴右边的Q，N点，求OQN的面积SOQN的取值范围解：(I)，于是，c2=16，a2=b2+c2=41，所求“果圆”方程为， (4分) ()若直线l的斜率k存在，则由图可知，k2>3设直线l的方程为：y=k(x-1)，设点Q，N的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)由消x，得， （6分）（8分） （10分）若直线lx轴，则QN=3，故综上，得（13分）例13、如图,ABC的内切圆与三边AB、BC、CA的切点分别为D、E、F,已知， C ,内切圆圆心.设A点的轨迹为L (1)求L的方程;OFECDA

15、B.Ixy(2)过点C作直线交曲线L于不同的两点M、N,问在轴上是否存在一个异于点C的定点Q.使对任意的直线都成立? 若存在,求出Q的坐标,若不存在,说明理由.解:(1)由题意.I E轴, , (3分)据双曲线的定义知,点A的轨迹L是以B、C为焦点,实轴长为2的双曲线的右支,除去E(1,0). 故L的方程为: (4分)(2)假设存在满足题意的点, 设 (6分)于是:当MN轴时,点在轴上任何一点处,都能够使得:MQC=NQC成立, (8分)当MN不垂直轴时,设直线.由 得:则:即:即 当时,能够使:对任意的直线都成立. (14分)例14、已知点、和动点满足：,且存在正常数，使得（I）求动点的轨迹

16、的方程；（II）设直线与曲线相交于两点、,且与轴的交点为.若求的值.解：（I）在中，由余弦定理得(1分)(4分)，即动点的轨迹为以A、B为两焦点的椭圆.动点的轨迹的方程为：. (6分)（II）由得.（） (7分)设、，易知，则(8分)又 (10分)将代入、得消去得或，代入（）方程 .故 (12分)例15、双曲线C与椭圆有相同的焦点,直线为C的一条渐近线（1）求双曲线C的方程;（2）已知点M（0，1），设P是双曲线C上的点，Q是点P关于原点的对称点，求·的范围.解：设双曲线方程为: () （1分）由椭圆,求得两焦点, （3分）,又为一条渐近线, 解得: （5分） （6分）设，则 （7分

17、） · （9分）又， · （10分）又 （11分） ·· （13分）w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 例16、设，点在轴上，点在 轴上，且（1）当点在轴上运动时，求点的轨迹的方程；（2）设是曲线上的点，且成等差数列，当的垂直平分线与轴交于点时，求点坐标.【解】 （1）设，则由得为中点，所以 又得，所以（）. 6分（2）由（1）知为曲线的焦点，由抛物线定义知，抛物线上任一点到 的距离等于其到准线的距离，即，所以，根据成等差数列，得， 10分直线的斜率为，所以中垂线方程为， 12分又中点在直线上，代入上式得，即，所以点. 15分例17、在平面直角坐标系xOy中，已知点A(-1, 0)、B(1, 0), 动点C满足 条件：ABC的周长为22.记动点C的轨迹为曲线W. () 求W的方程；() 经过点（0, ）且斜率为k的直线l与曲线W 有两个不同的交点P和Q，求k的取值范围； ()已知点M（，0），N（0, 1），在()的条件下，是否存在常数k，使得向量 与共线？如果存在，求出k的值；如果不存在，请说明理由【解】交点。 由定义知，动点C的轨迹是以A、B为焦点，长轴长为的椭圆除去与x轴的两个交点。 。 W：.5分() 设