余弦函数的图像与性质教学设计

1、余弦函数的图像与性质-教学设计余弦函数的图像与性质【教学目标】1?能利用单位圆中的余弦线画出余弦函数的图像?2?能类比正弦函数图像与性质得出余弦函数的性质?3?能理解余弦函数的定义域、值域、最值、周期性、奇偶性的意义?4?会求简单函数的定义域、值域、最小正周期和单调区间【知识梳理】问题1:余弦函数的图像的作法(1)平移法:余弦函数y=cosx的图像可以通过将正弦曲线y=sinx的图像向平移个单位长度得到(如图)？五点法:余弦曲线在0,2n上起作用的五个关键点分别为.问题2:余弦函数的定义域、值域和单调区间定义域为;(2)值域为;(3)单调增区问为,减区间为.问题3:余弦函数的周期、奇偶性、对称

2、轴和对称中心(1)周期T=;(2)偶函数;(3)对称轴为(4)对称中心为.问题4:余弦函数的复合函数f(x)=Acos(3x+()(A>0,3>)的对称轴、对称中心和单调区间当3x+$-=kn时，即为对称中心；当3x+(J珏n+2knn时，求得x属于的区间为当3x+e=n时，即为对称轴；区间；当3x+(J)E2kn,+2kn,求得x属于的区间为区间.(注：以上k?Z)【典型例题】要点一余弦函数的图像及应用例1画出y=cosx(x?R)的简图，并根据图像写出1、(1) yA2时x的集合；(2)一玮才时x的集合.解：用五点法”乍出y=cosx的简图1过0,2点作x轴的平行线，从图像中看

3、出：在nn区间与余弦曲线交于一n,2,3,2点，在n,n区间内，yg时，x的集合为x|一打者夸.1当x?R时，若y亏nn则x的集合为x§+2kn咒+2knk?Zi、/3(2) 过0,2,0,2点分别作x轴的平行线，从图像中看出它们分别与余弦曲线交于一¥+2kn2,k?Z,2n+2kn2,k?z点和一n+2knW,k?Z,326236+2kn,),k?Z点，那么曲线上夹在对应两直线之间的点的横坐标的集合即为所求，即当一2号黑才时x的集合为：x+2kn-+2kn或;+2kn奚+2kn,k?Z3663规律方法：利用三角函数的图像或三角函数线，可解简单的三角函数不等式，但需注意解的

4、完整性.cosx>05$<5由题意,X满足不等式组25-x2>0,即cosx>0,25 x 2的定义域.跟踪演练1求函数f(x)=1gcosx+作出y=cosx的图像.»nUn,nU|n,5.结合图像可得：要点二：余弦函数单调性的应用例2求函数y=log(cos2x)的增区间.解：由题意得cos2x>0且y=cos2x递减.?x只须满2kn<x<2kn+/,k?足:1kn<<kn+4,k?Z.?y=10gA(cos2x)的增区间为knkn+4,k?乙规律方法：用正弦函数或余弦函数的单调性比较大小时应先将异名化同名，把不在同一单调区

5、间内的角用诱导公式转化到同一单调区间，再利用单调性来比较大小174 n.跟踪演练2:比较下列各组数的大小.23匕(1)-sin46与cos221(2)cos-一''''5n与cos解：(1)sin46=-cos44=cos136°cos221=cos41=cos139.0?180°>139°>136°>0?cos139<cos136;即一sin46>cos221:(2)cos235 n23=cos 5 n= cos4 n+ 53n = cos5n,cos417n = cos, n =4cos4

6、17 n+4? ? 0<4<3 兀 <n0,y= cos x 在 n上递减,CO$n<COs4 即 pCOs17n<cos 4 n要点三：余弦函数值域（最值）例3:求下列函数的值域.2-2sinx(1)y=cos2x+cosx；(2)y=72+sinx11解：(1)y=cosx22+4?1<cox<1?当cosx=ymax2时，当cosx=-1时，ymin=-2.1?函数y=cos2x+cosx的值域是一2,442+sinxy2+sinx12+sinx1<sinx<1?1W2sinx<3113<2+sinx.441<43今

7、+sinx1<32sinx1?y=2+qirix的值域为3,3.函数21jnx3八2+sinx规律方法：求值域或最大值、最小值问题，一般依据为：sinx,cosx的有界性；sinx,cosx的单调性；化为sinx=f(y)或cosx=f(y)利用|f(y)|w来确定；通过换元转化为二次函数.跟踪演练3求函数y=cos2x+4sinx的最值及取到最大值和最小值时的x的集合.(提示：sin2a+cos2a=1)：y=cosfx+4sinx=1sin2x+4sinx=-sin2x+4sinx+1=(sinx2)2+5.?当sinx=1,即x=2kn+2,k?Z时，ymax=4;nsinx=1时

8、，即x=2knq,k?Z时，ymin=4.所以ymax=4,此时x的取值集合是nxx=2kn+q,k?Z;ymin=4,此时x的取值集合是xx=2knn,k?Z一、选择题1?函数y=cosx（0叹哼的值域是（）1A?1,1B?2，11C?0,2】D?【T，o答案B解析?函数y=cosx在0,上是减函数,n1?函数的值域为co,sco§sO,即二,1?2?函数y=coSx3cosx+2的最小值为（）A?2B?0C4D?6答案B31解析y=cosx224，当cosx=1时，y最小=0.3.函数y=cosx+|cosx|,x?0,2的大致图像为（）解y=cosx+|cosx|2cosxx?

9、0,nU才，2n=,故选D.ox?n多4?方程|x|=cosx在(-x,+x)()A.没有根B.有且仅有一个根C.有且仅有两个根D.有无穷多个根答案C解析在同一坐标系中作函数y=|x|及函数y=cosx的图像，如图所示.发现有2个交点，所以方程|x|二cosx有2个根.5.已知函数f(x)=sin(n勺一1,则下列命题正确的是()A.f(x)是周期为1的奇函数B.f(x)是周期为2的偶函数C.f(x)是周期为1的非奇非偶函数D.f(x)是周期为2的非奇非偶函数答案B解析由f(x+2)=f(x)可知T=2,再f(x)=sin(n?) 1 =cos n 1,f( 一 x) = 一 COSL nx)

10、、1 = 一 COS % 1 = f(x).6 ?函数y=的定义域是（）3+cosxA.RB.x|x工2nk?ZC.x|x工2n+n,k?Zkn,“、D.x|x工？，k?Z答案A解析要使函数有意义，则需3+cosx>0,又因为一Kcos<1显然3+cosx>0,所以x?R.二、填空题7?函数y=cosx在区间na上为增函数，则a的取值范围是：答案(n0解析Ty=cosx在n0上是增函数，在0,n上是减函数，47cos44、8比较大小：Iocos(-9冗)？只有一n<W00寸，满足已知条件，？a?(n,0.解析叼s%=cos3-cns。答案>cos44n=cos5n

11、+才=cos#，由y=cosx在0，n上是单调递减的，所以c0sAn<C0Sn，所以4744coS斛售>cos9n319?若函数f(x)=absinx的最大值为2最小值为一2求函数y=1acosbx的最值和周期.31右SinX=1,f(x)min=2解析当b>0时，若sinx=-1,f(x)2?max=2；1勺二一解得b=1.、1此时b=1>0符合题意，所以y=12cosx.31当b=0时,f(x)=a,这与f(x)有最大值2,最小值一2矛盾，故b=0不成立.3ab=2,当b<0时,显然有ia+b=一21a解得2符合题意.b1,11所以y12cos(-x)=1co

12、sx2.131综上可知，函数y1一;cosx的最大值为2,最小值为2,周期为2n.,、选择题1?将下列各式按大小顺序排列，其中正确的是()1。A.cos0<coE<cos1vcos30<cos1oCO0<COS<CO2VCO30<COS11ocos0>coS1>cos30、>cos1>cosncos0>cog>cos1>cos30>cos潜案D解析在0,n上，o<2<n<i,又余弦函数在0,n上1冗是减少的，所以COS0>COE>COS6>COS1>0.1n又cos&l

13、t;0,所以cos0>coS2>cos6>cos1>cosn0JJO*/4JtABC2?函数f(x)=xcosx的部分图像是()答案D解析由f(x)=-xcosx是奇函数，可排除A,C.令x=n,贝yf(n尸一盘。寸=一o.故答案选D.二、填空题R,则m的取值范围是PH2mIII3.右cosx=)且x?3m+2答案(一%,3U-5,2m1解析I3m+2=|COSX|勺?|2m1|<m+2|.?.朔fm的好域福+ 2)2R?端1正照期融II Q3n 学m 2$右 f(x) =1.? .m? ( x, 3 U 5, +un小c0sx 2$<o 一sinx OWk

14、v n15贝(J f 14?n =答案解析?/T=暹？?？kT=k-n(k?Z)都是y=f(x)的周57C272Sin4=期,17 n工解答题23n5.利用余弦函数的单调性，比较cos (丁）与 cos （一壬）的大小.分析利用诱导公式化为0,n上的余弦值，再比较大小.23x23n3n解cos(5=cos5=C0S5cos(17 n ncos_Y = co%因为0V<3<n,且函数y=cosx,x?0,n是减函数,所以cos4>cos3n5n即cos(23)<cos(一事6?求下列函数的定义域.(i)y=cossinx(2)y=12cosx+lg(2sinx-1).解析要使y=icossinx有意义，需有cos(sinx)>Q又T1<six<1而y=cosx在11,1上满足cosx>0,R.?y=cossinx的定义域为R.(2)要使函数有意义，只要1 2cosx >0sinx>1.里猝国即簪集为 x| f+2k兀奚考+ 2k n k ?Z . sinx>|的解集为x|f+2k兀<<5"+2knk?Z.它们的交集为+2k5n+2knk?Z,即为函数的定义nxf1an7.函数f(x)=24+acosxcosFx(0叹为)的最大值为2,求实数a的