4.5递归算法与递归程序(一、二)

1、4.5 递归算法与递归程序（一、二）教者：吴艳超 时间：一、课程内容标准：递归算法与问题解决：1、了解使用递归法设计算法的基本过程2、能够根据具体问题的要求，使用递归设计算法、编写递归函数、编写程序、求解问题例1 写出两个正整数乘积m×n的递归函数。例2 汉诺塔问题：传说在古代印度的贝拿勒斯圣庙里，安放一块黄铜板，板上插了三根宝石柱，在其中一根宝石柱，自上而下按由小到大的顺序串有64个金盘。这就是汉诺塔游戏。要求将左边柱子上的64个金盘按照下面的规则移到右边的柱子上。规则：（1）一次只能移动一个盘子（2）盘子只能在三个柱子上存放。（3）任何时候大盘不能放在小盘上面。二、教学目标1、知

2、识与技能(1)认识递归现象。(2)使用递归算法解决问题往往能使算法的描述乘法而易于表达(3)理解递归三要素：每次递归调用都要缩小规模；前次递归调用为后次作准备：递归调用必须有条件进行2、方法与过程：本节以斐波那契的兔子问题引入，通过发现先后三个月兔子数量的变化规律入手，导出了F（N）=F(N-1)+F(N+2)(N3)递推式。马上介绍斐波那契问题的非递归解决方法，如果加以恰当引导，把两个解法对比，会出现效率高的需要较多的经验和技艺才能写出程序，而程序相对容易写出的是在运行时，但效率却不够高。（在调试程序4-16时可逐步加大月数N，会发出N=40时，明显感觉等待的时间较长，而当N=200时，等待

3、的时间会遥遥无期。）汉诺塔问题是一个经典问题，它著名在使用了递归解法来解决问题。理解这个递归解法是重点，也是难点。3、情感态度和价值观结合高中生想象具有较强的随意性、更富于现实性的身心发展特点，综合反映出提升学生在各个领域的计算机应用水平，提高学生交流和讨论，自己总结获得新的知识能力，培养学生正确寻找解决问题的方法和正确的学习方法。三、重点难点1、教学重点（1）了解递归现象和递归算法的特点。（2）能够根据问题设计出恰当的递归程序。2、教学难点(1)递归过程思路的建立。(2)判断问题是否适于递归解法。(3)正确写出递归程序。四、教学环境1、教材处理教材选自广东省普通高中信息技术选修一：算法与程序

4、设计第四章第五节，原教材的编排是以本节以斐波那契的兔子问题引人，导出递归算法，从而自定义了一个以递归方式解决的函数过程。然后利用子过程解决汉诺塔的经典问题。教材经处理后，让同学们玩汉诺塔的游戏，导入递归问题，从用普通程序解决斐波那契的兔子问题入手，引导学生用自定义了一个以递归方式解决的函数过程解决问题，同时让同学们做三个递归练习，巩固提高。然后让学生做练习(2)和练习(3)，这两道题目的形式相差很远，但方法和答案却都是完全相同的练习，体会其中的奥妙，加深对递归算法的了解。最后用子过程解决汉诺塔的经典问题。教学方法采用讲解、探究、任务驱动和学生自主学习相结合2、预备知识学生已掌握了用计算机解决问

5、题的过程，掌握了程序设计基础，掌握了解析法、穷举法、查找法、排序法设计程序的技巧。3、硬件要求建议本节课在多媒体电脑教室中完成，最好有广播教学系统或投影仪，为拓展学习，学生机应允许上互联网。五、教学过程导入：大家玩汉诺塔游戏：  图4-5(1)汉诺塔游戏的部分界面 这个游戏盘子在A、B、C三根柱子上不停运动，有没有规律，和你在照过镜子时遇到的情况相同吗？当你往镜子前面一站，镜子里面就有一个你的像。但你试过两面镜子一起照吗?如果甲、乙两面镜子相互面对面放着，你往中间一站，嘿，两面镜子里都有你的千百个“化身”!为什么会有这么奇妙的现象呢?原来，甲镜子里有乙镜子的像，乙镜子里也有

6、甲镜子的像，而且这样反反复复，就会产生一连串的“像中像”。这是一种递归现象。由同学们总结出递归算法的概念递归算法：是一种直接或者间接地调用自身的算法。在计算机编写程序中，递归算法对解决一大类问题是十分有效的，它往往使算法的描述简洁而且易于理解。问题4-16：著名的意大利数学家斐波那契(Fibonacci)在他的著作算盘书中提出了一个“兔子问题”：假定小兔子一个月就可以长成大兔子，而大兔子每个月都会生出一对小兔子。如果年初养了一对小兔子，问到年底时将有多少对兔子?  (当然得假设兔子没有死亡而且严格按照上述规律长大与繁殖) 我们不难用以前学过的知识设计出如下算法：  

7、;   输入计算兔子的月份数：n    If n < 3 Then c = 1 Else a = 1: b = 1    i = 3    c = a + b：a = b：b = c    i=i+1,如果in则返回    结束 参考程序如下：Private Sub Command1_Click()  n = Val(Text1.Text)  If n < 3 Then c = 1 E

8、lse a = 1: b = 1  For i = 3 To n    c = a + b    a = b    b = c  Next i  Text2.Text = "第" & n & "月的兔子数目是：" & cEnd Sub图4-5(2)斐波那契兔子程序运行结果图 开动脑筋：我们有没有更简单的方法解决该问题呢？ 4.5.1  从斐波那契的兔子问题看递归算法1斐波那契的兔子问

9、题子 (1)分析问题。我们可以根据题意列出表4-3来解决这个问题：表43兔子问题分析表1月2月3月4月5月6月7月8月9月10月11月12月小兔1 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 大兔1123581321345589 合计1123581321345589144这个表格虽然解决了斐波那契的兔子问题(年底时兔子的总数是144只)，但仔细观察一下这个表格，你会发现兔子的数目增长得越来越快，如果时间再长，只用列表的方法就会有困难。(例如，你愿意用列表的方法求出5年后兔子的数目吗？)我们需要研究表中的规律，找出一般的方法，去解决这个问题。交流仔细研究表4-8，你有些什么发现？每一个月份的

10、大兔数、小兔数与上一个月的数字有什么联系，能肯定这个规律吗？恭喜你，你快成功了？(2)设计算法。“兔子问题”很容易列出一条递推式而得到解决。假设第N个月的兔子数目是F(N)，我们有：F ( N ) =F ( N-1) + F  (N-2) ( 当 N>=3 )F ( 1 ) = F ( 2 ) = 1这是因为每月的大兔子数目一定等于上月的兔子总数，而每个月的小兔子数目一定等于上月的大兔子数目(即前一个月的兔子的数目)。由上述的递推式我们可以设计出递归程序。递归程序的特点是独立写出一个函数(或子过程)，而这个函数只对极简单的几种情况直接给出解答，而在其余情况下通过反复的调用自身而

11、把问题归结到最简单的情况而得到解答。空中加油站：自定义函数的定义格式:Function procedurename(arguments) As typeStatementsEnd Function其中的procedurename是函数名，arguments是函数中的参数表，type是函数返回值的数据类型，表示可有可无的部分，statements是过程中的代码调用函数的格式：procedurename(arguments) (3)编写程序。窗体中开设一个文本框Textl用于填人月数N，设置命令框Commandl，点击它即执行程序求出第N月的兔子数。然后用文本框Text2输出答案。

12、60;根据递推式可以写出递归程序如下： Function Fib(ByVal N As Integer) As Long   If N < 3 Then Fib = 1 Else Fib = Fib(N - 1) + Fib(N - 2)End FunctionPrivate Sub Command1_Click()    N = Val(Text1.Text)    Text2.Text = "第" & N & "月的兔子数目是：" & Fib

13、(N)End Sub (4)调试程序因为这个算法的效率不高，建议在调试程序时月份数不要大于40。图4-5(4)斐波那契兔子程序运行结果图 (5)检测结果挑战自我：（以下部分由学生自己完成）(1)利用递归方法编写一求N的阶乘。分析：根据N!=N*(N-1)*(N-2)*(N-3)*3*2*1可以推出下列式子：    F = n * F(n - 1)这是一个典型的递归算法，参考程序如下： Function F(ByVal n As Integer) As Long    If n = 1 Then F = 1 Else

14、 F = n * F(n - 1)End FunctionPrivate Sub Form_Click()  Dim n As Integer  n = Val(InputBox("请输入正整数N：", "求N的阶乘")  Print "输入的正整数是" n;  Print "，阶乘是" F(n)End Sub图4-5(5)求阶乘程序的运行结果图 (2)对一正整数N，用数字l和2组成一条加法算式，使其和为N，共可以列出多少条不同的式子？(“l+2”和“2+1”看作是不同的式子

15、)。算法设计：假设和为N时可列式子的方法数是F(N)，那么第一个加数可选择1或2。当第一个加数为1时剩下加数的和为N一1，故方法数为F(N一1)；当第一个加数为2时，剩下加数的和为N-2，故方法数为F(N-2)。于是可以得到如下式子：F = F(n - 1) + F(n - 2)这是一个典型的递归算法，参考程序如下：参考程序如下： Function F(ByVal n As Integer) As Long    If n <= 2 Then F = n Else F = F(n - 1) + F(n - 2)End FunctionPrivate

16、 Sub Form_Click()  Dim n As Integer  n = Val(InputBox("请输入正整数N：", "输入式子的总和")  Print "当总和是" n; "时"  Print "可以列出不同的由1和2组成的加法式子" F(n); "条"End Sub 图4-5(6)书上P136练习2程序运行结果图 (3)罗光明在上楼梯时，有时一步一级楼梯，有时一步两级。如果楼梯有N级，他上完这N级楼梯有多少种

17、不同的方法？设计算法假设楼梯级数为N时的方法数是F(N)，那么第一步可选择1或2级楼梯。当第一步为1级时剩下楼梯的级数为N-1，故方法数为F(N-1)；当第一步为2级时，剩下楼梯的级数为N-2，故方法数为F(N-2)。于是可以得到如下式子：F=F(n-1)+F(n-2)这是一个典型的递归算法，参考程序如下：程序如下： Function F(ByVal n As Integer)As Long  If n<=2 Then F=n Else F=F(n-1)+F(n-2)End FunctionPrivate Sub Form_Click()  Dim n As

18、 Integer  n=Val(InputBox("请输入楼梯级数N："，"输人楼梯级数")  Print "当楼梯级数"；n；"时，"  Print "可以有"；F(n)；"种不同的上楼梯方法。"End Sub 同学们比较一下你们所做的练习(2)和(3)的程序代码，不知同学们有没有发现一个有趣的现象？为什么会这样？本节小结：递归算法的特点递归过程一般通过函数或子过程来实现。递归算法：在函数或子过程的内部，直接或者间接地调用自己的算法。

19、递归算法的实质：是把问题转化为规模缩小了的同类问题的子问题。然后递归调用函数(或过程)来表示问题的解。递归算法解决问题的特点：(1) 递归就是在过程或函数里调用自身。(2) 在使用递增归策略时，必须有一个明确的递归结束条件，称为递归出口。(3) 递归算法解题通常显得很简洁，但递归算法解题的运行效率较低。所以一般不提倡用递归算法设计程序。(4) 在递归调用的过程当中系统为每一层的返回点、局部量等开辟了栈来存储。递归次数过多容易造成栈溢出等。所以一般不提倡用递归算法设计程序。递归算法所体现的“重复”一般有三个要求：一是每次调用在规模上都有所缩小(通常是减半)

20、；二是相邻两次重复之间有紧密的联系，前一次要为后一次做准备(通常前一次的输出就作为后一次的输入)；三是在问题的规模极小时必须用直接给出解答而不再进行递归调用，因而每次递归调用都是有条件的(以规模未达到直接解答的大小为条件)，无条件递归调用将会成为死循环而不能正常结束。 第二课时：导入：大家玩汉诺塔游戏：图4-5(7)汉诺塔程序运行界面图4.5.2  一个应用递归算法解决的问题经典例子问题4-17：传说在古代印度的贝拿勒斯神庙，有一块黄铜板上插了3根宝石柱，在其中一根宝石柱自上而下由小到大地叠放着64个大小不等的金盘。一名僧人把这些金盘从一根宝石柱移到另外一根上。僧人在移动金

21、盘时遵守下面3条规则：第一，一次只能移动一个金盘。第二，每个金盘只能由一根宝石柱移到另外一根宝石柱。第三，任何时候都不能把大的金盘放在小的金盘上。神话说，如果僧人把64个金盘完全地从一根宝石移到了另外一根上，世界的末日就要到了。当然，神话只能当故事来听，世界不可以因为个别人的活动而导致末日。不过，从僧人搬完64个金盘所需时间的角度来说，即使僧人每秒都能移动一个金盘，那也得要几千亿年！试设计程序，模拟移动金盘的过程。(1)分析问题。我们把3根宝石柱分别命名为A、B、C。最初有N个金盘放在A，需要把它们全部按规则移动到B。当N=1时，直接把金盘从A搬到B就可以了，1次成功。当N2，那么需要利用C柱

22、来过渡。我们假设已经找到一种把N1个金盘从一根柱搬到另外一根柱的方法，那么，我们只要把N1个金盘从A搬到C，然后把最大的金盘从A搬到B，最后把C上的N一1个金盘搬到B就可以了。靠递归的思想，我们轻而易举地完成了整个搬动。(2)设计算法。我们定义一个过程Hanoi(N，A，B，C)，表示有N个金盘需要从A柱搬到B柱(以C柱为过渡)。那么完成它只需3步：Hanoi(N一1，A，C，B)它的意思是把A柱上的N一1个金盘搬到C柱；AB  它的意思是把一个(最大的)金盘从A柱搬到B柱； Hanoi(N1，C，B，A)它的意思是把c柱上的N一1个金盘搬到B柱。 空中

23、加油站：过程定义的格式：Private Sub procedurename(arguments)statementsEnd Sub其中的procedurename是函数名，arguments是函数中的参数表，statements是过程中的代码调用过程的格式：Call procedurename(arguments)Function函数与Sub过程的几点区别：  Function函数可以返回一个直到调用程序。 一般来说，让较大的语句或表达式的右边包含函数过程名和参数（returnvalue=function），这就调用了函数。 与变量完全一样，函数过程有数据类型，这

24、就决定了返回值的类型。（如果没有AS子句，缺省的数据类型为Variant。）。 给procedurename自身赋一个值，就可返回这个值。Function函数返回一个值可成为较大表达式的一部分。(3)编写程序（引导学生编写程序）。根据所设计的算法，我们安排窗体如图4-23：Private Sub Hanoi(n As Integer, ByVal A As String, ByVal B As String, ByVal C As String, t As Long)If n = 1 Then Text3.Text = Text3.Text + A + "" + B + vbCrLft = t + 1 '增加变量t用来统计移动