2019年高考数学总复习：极坐标与参数方程

1、2019年高考数学总复习：极坐标与参数方程1直线(t为参数)的倾斜角为()A70°B20°C160° D110°答案B解析方法一：将直线参数方程化为标准形式：(t为参数)，则倾斜角为20°，故选B.方法二：tantan20°，20°.另外，本题中直线方程若改为，则倾斜角为160°.2若直线的参数方程为(t为参数)，则直线的斜率为()A. BC. D答案D3参数方程(为参数)表示的曲线上的点到坐标轴的最近距离为()A1 B2C3 D4答案A解析参数方程(为参数)表示的曲线的普通方程为(x3)2(y4)24，这是圆心为

2、(3，4)，半径为2的圆，故圆上的点到坐标轴的最近距离为1.4(2018·皖南八校联考)若直线l：(t为参数)与曲线C：(为参数)相切，则实数m为()A4或6 B6或4C1或9 D9或1答案A解析由(t为参数)，得直线l：2xy10，由(为参数)，得曲线C：x2(ym)25，因为直线与曲线相切，所以圆心到直线的距离等于半径，即，解得m4或m6.5(2014·安徽，理)以平面直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位已知直线l的参数方程是(t为参数)，圆C的极坐标方程是4cos，则直线l被圆C截得的弦长为()A. B2C. D2答案

3、D解析由题意得直线l的方程为xy40，圆C的方程为(x2)2y24.则圆心到直线的距离d，故弦长22.6(2017·北京朝阳二模)在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为(t为参数)以原点O为极点，以x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为4·sin()，则直线l和曲线C的公共点有()A0个 B1个C2个 D无数个答案B解析直线l：(t为参数)化为普通方程得xy40；曲线C：4sin()化成普通方程得(x2)2(y2)28，圆心C(2，2)到直线l的距离为d2r.直线l与圆C只有一个公共点，故选B.7在直角坐标系中，已知直线l：(s为参数)与曲线C：(t为参数)

4、相交于A，B两点，则|AB|_答案解析曲线C可化为y(x3)2，将代入y(x3)2，化简解得s11，s22，所以|AB|s1s2|.8(2017·人大附中模拟)已知直线l的参数方程为(t为参数)，圆C的极坐标方程为2sin0，若在圆C上存在一点P，使得点P到直线l的距离最小，则点P的直角坐标为_答案(，)解析由已知得，直线l的普通方程为yx12，圆C的直角坐标方程为x2(y1)21，在圆C上任取一点P(cos，1sin)(0，2)，则点P到直线l的距离为d.当时，dmin，此时P(，)9(2018·衡水中学调研)已知直线l的参数方程为(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正

5、半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为2sin2cos.(1)求曲线C的参数方程；(2)当时，求直线l与曲线C交点的极坐标答案(1)(为参数) (2)(2，)，(2，)解析(1)由2sin2cos，可得22sin2cos.所以曲线C的直角坐标方程为x2y22y2x，化为标准方程为(x1)2(y1)22.曲线C的参数方程为(为参数)(2)当时，直线l的方程为化为普通方程为yx2.由解得或所以直线l与曲线C交点的极坐标分别为(2，)，(2，)10(2016·课标全国)在直角坐标系xOy中，圆C的方程为(x6)2y225.(1)以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C的极

6、坐标方程；(2)直线l的参数方程是(t为参数)，l与C交于A，B两点，|AB|，求l的斜率答案(1)212cos110 (2)或解析(1)由xcos，ysin可得圆C的极坐标方程为212cos110.(2)在(1)中建立的极坐标系中，直线l的极坐标方程为(R)设A，B所对应的极径分别为1，2，将l的极坐标方程代入C的极坐标方程得212cos110.于是1212cos，1211.|AB|12|.由|AB|得cos2，tan±.所以l的斜率为或.11(2017·江苏，理)在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为(t为参数)，曲线C的参数方程为(s为参数)设P为曲线C上的

7、动点，求点P到直线l的距离的最小值答案解析直线l的普通方程为x2y80.因为点P在曲线C上，设P(2s2，2s)，从而点P到直线l的距离d.当s时，smin.因此当点P的坐标为(4，4)时，曲线C上点P到直线l的距离取到最小值为.12(2018·湖南省五市十校高三联考)在直角坐标系xOy中，设倾斜角为的直线l的参数方程为(t为参数)，直线l与曲线C：(为参数)相交于不同的两点A，B.(1)若，求线段AB的中点的直角坐标；(2)若直线l的斜率为2，且过已知点P(3，0)，求|PA|·|PB|的值答案(1)(，)(2)解析(1)由曲线C：(为参数)，可得曲线C的普通方程是x2y

8、21.当时，直线l的参数方程为(t为参数)，代入曲线C的普通方程，得t26t160，设A，B两点对应的参数分别为t1，t2，则t1t26，所以线段AB的中点对应的t3，故线段AB的中点的直角坐标为(，)(2)将直线l的参数方程代入曲线C的普通方程，化简得(cos2sin2)t26tcos80，则|PA|·|PB|t1t2|，由已知得tan2，故|PA|·|PB|.13(2018·东北三省四市二模)已知在平面直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系曲线C1的极坐标方程为4cos，直线l的参数方程是(t为参数)(1)求曲线C1的直角坐标方程及直

9、线l的普通方程；(2)若曲线C2的参数方程为(为参数)，曲线C1上的点P的极角为，Q为曲线C2上的动点，求PQ的中点M到直线l的距离的最大值答案(1)x2y24x0，x2y30(2)解析(1)由4cos得24cos，又x2y22，xcos，ysin，所以曲线C1的直角坐标方程为x2y24x0，由直线l的参数方程消去参数t得直线l的普通方程为x2y30.(2)因为点P的极坐标为(2，)，直角坐标为(2，2)，点Q的直角坐标为(2cos，sin)，所以M(1cos，1sin)，点M到直线l的距离d|sin()|，当k(kZ)，即k(kZ)时，点M到直线l的距离d的最大值为.14(2018·

10、;天星大联考)在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为(t为参数)以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为2cos()，若直线l与曲线C交于A，B两点(1)若P(0，1)，求|PA|PB|；(2)若点M是曲线C上不同于A，B的动点，求MAB的面积的最大值答案(1)(2)解析(1)2cos()可化为2cos2sin，将代入，得曲线C的直角坐标方程为(x1)2(y1)22.将直线l的参数方程化为(t为参数)，代入(x1)2(y1)22，得t2t10，设方程的解为t1，t2，则t1t2，t1t21，因而|PA|PB|t1|t2|t1t2|.(2)将直线l的参数方程化为普通方

11、程为2xy10，设M(1cos，1sin)，由点到直线的距离公式，得M到直线AB的距离为d，最大值为，由(1)知|AB|PA|PB|，因而MAB面积的最大值为××.1(2018·山西5月联考改编)在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为(t为参数，0，)，直线l与C：x2y22x2y0交于M，N两点，当变化时，求弦长|MN|的取值范围答案，4解析将直线的参数方程代入圆的直角坐标方程中得，(2tcos)2(tsin)22(2tcos)2(tsin)0，整理得，t22tcos30，设M，N两点对应的参数分别为t1，t2，则t1t22cos，t1·t23，

12、|MN|t1t2|，0，cos，1，|MN|，42(2018·陕西省西安地区高三八校联考)在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为2sin，0，2)(1)求曲线C的直角坐标方程；(2)在曲线C上求一点D，使它到直线l：(t为参数，tR)的距离最短，并求出点D的直角坐标答案(1)x2y22y0(或x2(y1)21)(2)(，)解析(1)由2sin，0，2)，可得22sin.因为2x2y2，siny，所以曲线C的直角坐标方程为x2y22y0(或x2(y1)21)(2)因为直线l的参数方程为(t为参数，tR)，消去t得直线l的普通方程

13、为yx5.因为曲线C：x2(y1)21是以(0，1)为圆心，1为半径的圆，设点D(x0，y0)，且点D到直线l：yx5的距离最短，所以曲线C在点D处的切线与直线l：yx5平行，即直线CD与l的斜率的乘积等于1，即×()1.因为x02(y01)21，由解得x0或x0，所以点D的直角坐标为(，)或(，)由于点D到直线yx5的距离最短，所以点D的直角坐标为(，)3(2014·课标全国)已知曲线C：1，直线l：(t为参数)(1)写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程；(2)过曲线C上任意一点P作与l夹角为30°的直线，交l于点A，求|PA|的最大值与最小值思路(1)利用椭

14、圆1(a>0，b>0)的参数方程为(为参数)，写出曲线C的参数方程消去直线l的参数方程中的参数t可得直线l的普通方程(2)设出点P的坐标的参数形式求出点P到直线l的距离d，则|PA|.转化为求关于的三角函数的最值问题，利用辅助角公式asinbcossin()求解答案(1)C：(为参数)，l：2xy60(2)|PA|max，|PA|min解析(1)曲线C的参数方程为(为参数)直线l的普通方程为2xy60.(2)曲线C上任意一点P(2cos，3sin)到l的距离为d|4cos3sin6|，则|PA|5sin()6|，其中为锐角，且tan.当sin()1时，|PA|取得最大值，最大值为.

15、当sin()1时，|PA|取得最小值，最小值为.4(2015·福建)在平面直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为(t为参数)在极坐标系(与平面直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴非负半轴为极轴)中，直线l的方程为sin()m(mR)(1)求圆C的普通方程及直线l的直角坐标方程；(2)设圆心C到直线l的距离等于2，求m的值答案(1)(x1)2(y2)29，xym0(2)m3±2解析(1)消去参数t，得到圆C的普通方程为(x1)2(y2)29.由sin()m，得sincosm0.所以直线l的直角坐标方程为xym0.(2)依题意，圆心C到直线l的距离等于2，即

16、2，解得m3±2.5已知曲线C1：(为参数)，C2：(为参数)(1)分别求出曲线C1，C2的普通方程；(2)若C1上的点P对应的参数为，Q为C2上的动点，求PQ中点M到直线C3：(t为参数)距离的最小值及此时Q点坐标答案(1)C1：(x4)2(y3)21C2：1 (2)，(，)解析(1)由曲线C1：(为参数)，得(x4)2(y3)21，它表示一个以(4，3)为圆心，以1为半径的圆；由C2：(为参数)，得1，它表示一个中心为坐标原点，焦点在x轴上，长半轴长为8，短半轴长为3的椭圆(2)当时，P点的坐标为(4，4)，设Q点坐标为(8cos，3sin)，PQ的中点M(24cos，2sin)

17、C3：C3的普通方程为x2y70，d，当sin，cos时，d的最小值为，Q点坐标为(，)(第二次作业)1(2018·衡水中学调研卷)在平面直角坐标系xOy中，曲线C1：(为参数)，曲线C2：x2y22y0，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，射线l：(0)与曲线C1，C2分别交于点A，B(均异于原点O)(1)求曲线C1，C2的极坐标方程；(2)当0<<时，求|OA|2|OB|2的取值范围答案(1)2，2sin(2)(2，5)解析(1)(为参数)，曲线C1的普通方程为y21，由得曲线C1的极坐标方程为2.x2y22y0，曲线C2的极坐标方程为2sin.(2)由(

18、1)得|OA|22，|OB|224sin2，|OA|2|OB|24sin24(1sin2)4，0<<，1<1sin2<2，6<4(1sin2)<9，|OA|2|OB|2的取值范围为(2，5)2(2018·皖南八校联考)在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为(a>0，为参数)以O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，直线l的极坐标方程为cos().(1)若曲线C与l只有一个公共点，求a的值；(2)A，B为曲线C上的两点，且AOB，求OAB面积的最大值答案(1)a1(2)解析(1)由题意知，曲线C是以(a，0)为圆心，以a为半径的圆，直

19、线l的直角坐标方程为xy30.由直线l与圆C只有一个公共点，可得a，解得a1，a3(舍)所以a1.(2)曲线C是以(a，0)为圆心，以a为半径的圆，且AOB，由正弦定理得2a，所以|AB|a.又|AB|23a2|OA|2|OB|22|OA|·|OB|·cos|OA|·|OB|，所以SOAB|OA|·|OB|sin×3a2×，所以OAB面积的最大值为.3(2018·福建质检)在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(t为参数)在以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：2sin，曲线C3：(>0)，A

20、(2，0)(1)把C1的参数方程化为极坐标方程；(2)设C3分别交C1，C2于点P，Q，求APQ的面积答案(1)4cos(2)解析(1)曲线C1的普通方程为(x2)2y24，即x2y24x0，所以C1的极坐标方程为24cos0，即4cos.(2)方法一：依题意，设点P，Q的极坐标分别为(1，)，(2，)将代入4cos，得12，将代入2sin，得21，所以|PQ|12|21，点A(2，0)到曲线(>0)的距离d|OA|sin1.所以SAPQ|PQ|·d×(21)×1.方法二：依题意，设点P，Q的极坐标分别为(1，)，(2，)将代入4cos，得12，得|OP|2

21、，将代入2sin，得21，即|OQ|1.因为A(2，0)，所以POA，所以SAPQSOPASOQA|OA|·|OP|·sin|OA|·|OQ|·sin×2×2××2×1×.4(2018·河北保定模拟)在平面直角坐标系中，将曲线C1上的每一个点的横坐标保持不变，纵坐标缩短为原来的，得到曲线C2.以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，已知曲线C1的极坐标方程为2.(1)求曲线C2的参数方程；(2)过坐标原点O且关于y轴对称的两条直线l1与l2分别交曲线C2于A，C和B，D，

22、且点A在第一象限，当四边形ABCD的周长最大时，求直线l1的普通方程答案(1)(为参数)(2)yx解析(1)由2，得24，因为2x2y2，xcos，ysin，所以曲线C1的直角坐标方程为x2y24.由题可得曲线C2的方程为y21.所以曲线C2的参数方程为(为参数)(2)设四边形ABCD的周长为l，点A(2cos，sin)，则l8cos4sin4(cossin)4sin()，其中cos，sin.所以当2k(kZ)时，l取得最大值，最大值为4.此时2k(kZ)，所以2cos2sin，sincos，此时A(，)所以直线l1的普通方程为yx.5(2018·湖北鄂南高中模拟)在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为(t为参数)在极坐标系(与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴)中，圆C的极坐标方程为2sin.(1)求直线l的普通方程和圆C的直角坐标方程；(2)设圆C与直线l交于A，B两点，若点P的坐标为(3，)，求|PA|PB|.答