百分数知识点整理和单位一巧用

1、数学中 单位1 ”的巧用笔者在几年小学毕业班数学教学实践中，深刻认识到：分数、百 分数、工程问题，是小学生最难理解和难于掌握的内容，而这三种内 容的应用题又是小学生更难的，而又必须掌握的知识之一。而单位“1 好比是解答这难题的一把金钥匙，利用得当可帮助学生理解题意、掌 握解题思路、发展思维，提高学生解题能力和技巧，可起到事半功倍 的作用。因此，教师在教学中引导学生掌握单位 “1的”运用方法很有 必要。首先要让学生认清单位“1，”它不同于自然数中的“1，”它可表示 数字“1，”更重要的是它在分数、百分数、比类 ,工程问题应用题中表 示“一个单位、一个整体”，这在教学中就叫单位“1或”“整体 1”

2、。故单 位“1可”表示“一个总量、一个部分、一项工程的总量、一批物件 ”等。 所有单位“1的”量叫标准量，与它相比的叫比较量，在解答应用题时， 如单位“1的”量已知，就用单位“1的”量乘以所求量对应的分率；如求 单位“1的”量，就用已知量除以已知量的对应分率。由于用单位 “1计” 算方法固定，故只要选好单位“1，”就可知计算方法，这就解决了学 生不知用什么方法计算这一难题。而选择单位 “1一”般以“总量、不变 量、两者相比的后项、几分之几的对象”为单位“1。”下面谈谈单位“1 的运用。一、单位“1”在分数应用题中的运用这类应用题一般把总量看作单位 “1。”例(1)：一堆煤有 50 吨，用去 3

3、/5后，还剩多少吨？ 分析：本题应把总量一堆煤看作单位 “1，”用去的单位 “1的” 3/ 5，剩下的占单位 “1的”( 1-3/5)(剩下量对应分率)，由于单位 “1 量已知而用乘法，求剩下量列式为：50X( 1-3/5 )。例( 2)：一堆煤，第一次运走总吨数的 1/3，第二次运走总吨数 的 1/4，还剩 65 吨没运，求这堆煤有多少吨？分析：本题与例(1)一样把总量看作单位 “ 1 ，”剩下的占单位 “1 的(1-1/3-1/4)，但这题求单位“ 1的量而用除法，列式为：65+( 1- 1/3-1/4)= 156 吨。由上两例可知：当总量变化时，单位 “ 1在”解题过程中起了关键 作用。

4、但当总量不变， 总量里的几种部分量都变化时又怎样解呢？ 例( 3)：甲乙两粮仓，甲仓存量吨数是乙仓的 5 倍，如从甲仓运 出628吨粮存入乙仓，则乙仓存粮是甲的 5倍，甲仓原有存粮多少吨？分析：这题应把两仓总存粮数看作单位 “ 1 ，”由于甲乙两仓存粮 数前后发生变化，原来甲占两仓总量的 5/(15)，后来甲占两仓总量的 1/(15)，则原甲比后甲多的 628吨的对应分率是( 5/6-1/6)。故总量 是 628+( 5/6-1/6)，而原甲仓存粮为 628- (5/6-1/6) X5/6。因此， 当总量不变，而分量都变化，还是用单位 “ 1 ，”解题可起简便思路的 作用。如总量变，分量里有种

5、变、有种不变的题呢？同样可用单位 “1 法求解例（ 4）：甲乙两人共储蓄人民币 315 元，甲储蓄的钱数占两人 总数的 7/8，甲取出一部分存款支援 “希望工程 ”后，这时甲占两人总 储量的 5/11，这时甲乙两人储蓄总量是多少元？分析：本题与上题比，仍把总量看作单位 “1，”但原来和现在 “1表”示的量是不同的， 而乙在总量变化时自身不变，故应以乙占前后单位“1的”差，求出后来两人总量。原来甲占7/8,乙占（1-7/8）,乙有钱315X（ 1-7/8）; 后来甲占 5/11，乙占（ 1-5/11），即后来两人储蓄总量的（ 1-5/11）， 是315X（ 1-7/8） -（1-5/11）。于是

6、可见，总量变化，同样可用单位“ 1” 来求解,同样单位 “1起”了解题中的桥梁作用。二、单位 “1”在“比类”应用题中的运用这类应用题,一般先弄清是 “谁比谁”,把“后者”看作单位 “1” 的量。1、“份数比”类应用题 例（ 1） ：某工厂四月份烧煤 120 吨,比原计划节约了 1/9,四月份原计划烧煤多少吨？ 分析：本题是实际烧煤量与计划量相比,故应把计划烧煤 量看作单位 “1,”则实际烧煤量相当于计划量的（ 11/9）,求计 划量可列式为120-（ 1- 1/9）= 135 （吨），因此，单位“ 1在份 数比类应用题中起关键作用。2、“差比”类应用题也可用单位 “1求”解例（1）:甲数是4

7、0,乙数是80。求甲比乙多几分之几？求 乙比甲比少几分之几？ 这类应用题可用公式 “相差量-标准量 ”,但上题、问的标准量发生变化，而计算结果不同。（80 - 40） £0= 1/2;（80 40）泊0= 1。由上可知，单位“ 1在 差比”类分数 应用题解答中起了关键性的作用。3、“倍比”类分数应用题同样可用单位 “1求”解例（ 1 ）：某校 54 人参加奥林匹克学校数学班学习，非录取学生 人数比录取学生数的 5/2 倍还多 12 人，问这所学校有几个被录取？分析：本题应把被录取人数看作单位 “1，”如非录取学生人数减 少 12 人，则非录取人数刚好是录取人数的 5/2 倍，则总人数

8、少 12 人 后的人数对应的分率是15/2,求录取学生人数列式为：（54- -（1 5/2）。这类应用题关键是把 “比类”转换成 “一量是另一量的倍数 ”，再 利用单位 “1求”解。因此，单位 “1在”“倍比”类应用题解答中起了简便 思路和计算过程的关键作用。三、单位 “1”在百分数应用题中的运用单位“1在”百分数就用题与分数应用题中方法一样。因为把百分 数转换成分数，就成了分数应用题。四、单位 “1”在“工程问题 ”中的运用 分数工程应用题同整数工程问题一样，都可以工作总量作单位“ 1。”工作总量可以是 “一段路，一件工程，一块地，一批物件 ”等。例（1） ：一段公路，甲队单独修要 12天，

9、乙队单独修要 15天。 甲队先单独修 3 天后，再两队合修要几天？ 分析：本题应把这段 路工作总看作单位 “ 1 ，”甲队每天完成单位 “1的” 1/12，乙每天完成单 位“ 1的1/15。甲先修3天，则已修1/12為，这时剩下这段路的1-1/ 12X3。两队合修一天可完成这段路的（1/121/15），合修天数为：（1-1/12旳 r 1/121/15）= 5 （天），解这题时，把这段路看作单位“ 1起了关键作用。 如用整数工程问题求解， 由于不知工作总量而不能求 解。例（2） ：有大小两只木船，大船可以载重 6.3 吨，小船的载 重量是大船的 2/7，大船 8 次运完的货物，小船几次才能运完

10、？本题用整数、小数应用题方法解可列式为： 6.3為r 6.3 >2/7） = 28（次）。如用单位 “ 1法”求解， 则把大船 8 次运的货物看作单位 “ 1，” 大船每次运单位“ 1的1/8,小船每次运单位“ 1的1/8 >2/7，故小船运 完这批货的次数为：1 + （ 1/8 >2/7）= 28 （次）。当以大船每次载重 量看作单位 “1时”，则这批货物总量有 8个单位“1。”小船每次载重量 是单位“1的”2/7，求小船运的次数就是 8里面有多少个 2/7，列式为： 8+2/7= 28（次）。由上可知，用单位 “ 1的”方法求解比整数、小数法 简便些。 由上面的论证可知，

11、单位 “1在”小学分数、百分数、工 程问题的应用题解答过程中，起了既简便运算方法、过程，又便于学 生掌握解题思路的关键作用。因此，教学时，教会学生熟练利用单位“ 1，”对加强学生解题能力和技巧，提高教学质量，可起事半功倍的 作用。分数、百分数应用题解题公式 分数（百分数）应用题是小学数学应用题的主要内容之一，它是整、小数倍数关 系应用题的继续和深化， 是研究数量之间份数关系的典型应用题。 分数应用题涉 及的知识面广，题目变化的形式多，解题的思路宽，既有独特的思维模式，又有 基本的解题思路。小学即将毕业阶段，如何通过分数（百分数）应用题方法的复 习，让孩子们掌握一些基本解题方法， 感悟数学的基本

12、思想， 从而达到培养初步 的逻辑思维能力和运用所学知识解决实际问题能力之目的， 笔者根据长期的教学 实践和体会，总结出以下一些典型方法，以飨读者。一、数形结合思想数形结合是研究数学问题的重要思想，画线段图能将题目中抽象的数量关 系，直观形象地表示出来，进行分析、推理和计算，从而降低解题难度。画线段 图常常与其它解题方法结合使用，可以说，它是学生弄清分数(百分数)应用题 题意、分析其数量关系的基本方法。【例1】一桶油第一次用去1 ,第二次比第一次多用去20千克，还剩下225千克。原来这桶油有多少千克？分析与解|2阡克剩下亞千克r亠 rfr”>III I_ 十_ "、一_ 十 _

13、第一次用去第二史用去从图中可以清楚地看出：这桶油的千克数X( 1- - - ) =20+2255则这桶油的千克数为：(20+22)十(1 - 1 ) =70 (千克)55【例2】一堆煤，第一次用去这堆煤的20%,第二次用去290千克，这时剩 下的煤比原来这堆煤的一半还多10千克，求原来这堆煤共有多少千克？20X29呼克M千克亠JI50%1 11J一分析与解显然，这堆煤的千克数X( 1 20% 50%) =290+10则这堆煤的千克数为：(290+10)-( 1 20% 50%) =1000 (千克)二、对应思想量率对应是解答分数应用题的根本思想，量率对应是通过题中具体数量与抽 象分率之间的对应

14、关系来分析问题和解决问题的思想。 (量率对应常常和画线段 图结合使用，效果极佳。)【例3】缝纫机厂女职工占全厂职工人数的 ，比男职工少144人，缝纫20机厂共有职工多少人?分析与解解题的关键是找到与具体数量144人的相对应的分率。7硼工占茹男职工邙1-页相差144人从线段图上可以清楚地看出女职工占 ，男职工占1 -=3，女职工比20 20 20男职工少占全厂职工人数的13 =-，也就是144人与全厂人数的-相对20 20 10 10应。全厂的人数为:144*( 1)=480 (人)20 20【例4】菜农张大伯卖一批大白菜，第一天卖出这批大白菜的1，第二天卖出余下的-，这时还剩下240千克大白菜

15、未卖，这批大白菜共有多少千克?5刺下240千克分析与解从线段图上可以清楚地看出240千克的对应分率是第一天卖出(1 -)。则第一天卖出后余下的大白菜千克数为:52240*( 1 - ) =400 (千克)同理400千克的对应分率为这批大白菜的（1 -）,则这批大白菜的千克3数为：400-（ 1 - ） =600 （千克）3三、转化思想转化是解决数学问题的重要手段，可以这样说，任何一个解题过程都离不开 转化。它是把某一个数学问题，通过适当的变化转化成另一个数学问题来进行思 考、求解，从而实现从繁到简、由难到易的转化。复杂的分数应用题，常常含有 几个不同的单位“ 1”根据题目的具体情况，将不同的单

16、位“ 1”转化成统一的 单位“ 1”使隐蔽的数量关系明朗化。1、从分数的意义出发，把分数变成份数进行“率”的转化【例5】男生人数是女生人数的-，男生人数是学生总人数的几分之几？5分析与解男生人数是女生的-，是将女生人数看作单位“ 1”平均分成5份，男生是5这样的4份，学生总人数为这样的（4+5）份，求男生人数是学生总人数的几分 之几？就是求4份是（4+5）份的几分之几？44-（ 4+5）=-9【例6】兄弟两人各有人民币若干元，其中弟的钱数是兄的-，若弟给兄45元，则弟的钱数是兄的-，求兄弟两人原来各有多少元？3分析与解兄弟两人的总钱数是不变量，把它看作单位“ 1”原来弟的钱数占两人总钱 数的亠

17、，后来弟的钱数占两人总钱数的 丄，则两人的总钱数为：452 3424-（）=90 （兀）452 34弟原来的钱数为：90X =40 （元）45兄原来的钱数为：90 40=50 （元）2、直接运用分率计算进行“率”的转化【例7】甲是乙的-，乙是丙的-，甲是丙的的几分之几？3 5分析与解甲是乙的2,乙是丙的4,求甲是丙的的几分之几？就是求 -的-是多少？3 5534 x 2 = 85 315【例8】某工厂计划一月份生产一批零件，由于改进生产工艺，结果上半月生产了计划的-，下半月比上半月多生产了 -，这样全月实际生产了 1980个零55件，一月份计划生产多少个？分析与解1是以上半月的产量为“ 1”，

18、下半月比上半月多生产1，即下半月生产了55计划的-x( 1 + 1 )=兰。则计划的(-+18 )为1980个，计划生产个数为：55255253 311980-3+3 x( 1 + 1) =1500 (个)5 553、通过恒等变形，进行“率”的转化【例9】甲的4等于乙的-，甲是乙的几分之几？57分析与解由条件可得等式：甲X 4=乙乂 -57方法1 ：等式两边同除以4得：甲x =乙乂 宁557518甲乙X 25方法2:根据比例的基本性质得：甲：乙=3 :-75化简得：甲：乙=15： 28即甲是乙的18 o25【例10】五(2)班有学生54人，男生人数的75%和女生人数的80%都参加 了课外兴趣小

19、组，而未参加课外兴趣小组的男、女生人数刚好相等，这个班男、 女生各有多少人？分析与解由条件可得等式：男生人数X( 1-75%)= 女生人数X( 1-80%)男生人数：女生人数=4: 5就是男生人数是女生人数的-。5女生人数：54*（ 1+- ） =30 （人）5男生人数：54- 30=24 （人）四、变中求定的解题思想分数（百分数）应用题中有许多数量前后发生变化的题型，一个数量的变化， 往往引起另一个数量的变化，但总存在着不变量。解题时要善于抓住不变量为单 位“1”问题就会迎刃而解。1、部分量不变【例11】有两种糖放在一起，其中软糖占 ，再放入16块硬糖以后，软糖20占两种糖总数的1 ,求软糖

20、有多少块？4分析与解根据题意，硬糖块数、两种糖的总块数都发生变化，但软糖块数不变，可以 确定软糖块数为单位“ 1 ”则原来硬糖块数是软糖块数的（1 -卫）*-=11倍。20209加入16块硬糖以后，后来硬糖块数是软糖块数的（1 ） *丄=3倍，这样164 4块硬糖相当于软糖的3 口二16倍，从而求出软糖的块数。99119916* （1 ）* （1 ）* =9 （块）4 420202、和不变1【例12】小明看一本课外读物，读了几天后，已读的页数是剩下页数的1，8后来他又读了 20页，这时已读的页数是剩下页数的 丄，这本课外读物共有多少6页？分析与解根据题意，已读页数和未读页数都发生了变化，但这本

21、书的总页数不变，可把总页数看作单位“1”原来已读页数占总页数的，又读了 20页后，这时1 816 18已读页数占总页数的，这20页占这本书总页数的（），则这本课外读物的页数为：1 120十（丄一丄）=630 （页）1 6 1 8【例13】兄弟三人合买一台彩电，老大出的钱是其他两人出钱总数的-，老2二出的钱是其他两人出钱总数的1，老三比老二多出400元。问这台彩电多少3钱？分析与解从字面上看-和-的单位“ 1”都是其他两人出钱的总数，但含义是不同的，23丄是以老二和老三出钱的总数为单位“ T,丄是以老大和老三出钱的总数为单23位“ 1 ”。但三人出钱的总数（彩电价格）是不变的，把它确定为单位“1

22、 ”，老大出的钱数相当于彩电价格的 ，老二出的钱相当于彩电价格的 ，老三出121 3的钱数相当于彩电价格的1 丄丄 =?，400元相当于彩电价格的1213 1212=!。这台彩电的价格为：13 61 1 1400-（ 1）=2400 （元）121313五、假设思想假设思想是一种重要的数学思想，常用有推测性假设法和冲突式假设法。1、推测性假设法推测性假设法是通过假定，再按照题的条件进行推理，然后调整设定内容，从而得到正确答案。3【例14】一条公路修了 1000米后，剩下部分比全长的-少200米，这条公路5全长多少米？分析与解由题意知，假设少修200米，也就是修1000- 200=800 （米），

23、那么剩下部分正好是全长的3，因此已修的800米占全长的（1 3 ），所以这条公路全长为：5 53（1000- 200）-（ 1 3 ） =2000 （米）52、冲突式假设法冲突式假设法是解应用题中常用的一种思维方法。通过对某种量的大胆假 设，再依照已知条件进行推算，根据数量上出现的矛盾冲突，进行比较，作适当 调整，从而找到正确答案的方法。11【例15】甲、乙两班共有96人，选出甲班人数的丄和乙班人数的-，组成4522人的数学兴趣小组，问甲、乙两班原来各有多少人？分析与解假设两班都选出丄，则选出96 X丄=24（人），假设比实际多选出24 - 22=244（人）。调整：这是因为把选出乙班人数的1假设为选出丄，多算了丄一丄=丄，由5 445 20此可先算出乙班原来的人数。（96 X 1 22）-（丄一1） =40 （人）44 5甲班原来的人数：96 40=56 （人）【例16】某书店出售一种挂历，每售出1本可得18元利润。售出一部分后 每本减价10元出售，全部售完。已知减价出售的挂历本数是减价前出售挂历本 数的-。书店售完这种挂历共获利润2870元。书店共售出这种挂历多少本？3分析与解根据减价出售的挂历本数是减