电磁场与电磁波答案

1、第5章时变电磁场5.1有一导体滑片在两根平行的轨道上滑动，整个装置位于正弦时变磁场B = Q5costmT之中，如题6.1图所示。滑片的位置由x=0.35（1-cos .t）m确定，轨 道终端接有电阻 R =0.2"，试求电流i.ab00011 0.2mR:o0OQ1>4d2 0.7m1题6.1图解穿过导体回路abcda的磁通为-B|_dS 二 ezBJezad ab = 5cos，t 0.2(0.7-x)cos t0.7 0.35(1 cos，t) = 0.35cos t(1 cos t)故感应电流为.Ein1 d I RR dt10.35 sin t(1 2cos t) -

2、1.75 sin t(1 2cos t)mA5.2 一根半径为a的长圆柱形介质棒放入均匀磁场B=ezB3中与z轴平行。设棒以角速度绕轴作等速旋转，求介质内的极化强度、体积内和表面上单位长度的极化电荷。解介质棒内距轴线距离为 r处的感应电场为E V B e ezB° = ej"* B°故介质棒内的极化强度为P = Xe% E =er （% 1）気® B° = erC ）® B° 极化电荷体密度为1 d订 j' P ' （rP）（；-；。）宀&r crr dr-2 p） B。极化电荷面密度为p = P n

3、= erQ齢）rco B° er r =（名B°则介质体积内和表面上同单位长度的极化电荷分别为QP = " a2 1P =-2二 a2（ ； - ；0） B02QPs =2二a 1 匚P =2二 a （ ； - ；0） B05.3平行双线传输线与一矩形回路共面，如题 6.3图所示。 设 a =0.2m、b =c =d =0.1m、i =1.0cos（2兀 x107t）A，求 回路中的感应电动势。解由题给定的电流方向可知，双线中的电流产生的磁感应强度的方向，在回路中都是垂直于纸面向内的。故回路中的感应电动势为Einddt B dSF B左dSB右dS式中故则2: (

4、b c d - r)B左dS出 adr 4当n(山sJoicsB右 dSd 2二(b c d-r)adr 凹n(b cEinb C)d “ai-2ln(dt|L2：bJ0a b c d722-0 ln( )1.0cos(2二 107t)、a2 b2b dt4 10_ In 2sin(2 二 107t) 2二 107Vji= 3.484si n(2 二 107t)V5.4有一个环形线圈，导线的长度为I，分别通过以直流电源供应电压应电压U (t)。讨论这两种情况下导线内的电场强度E。解设导线材料的电导率为，横截面积为S,则导线的电阻为U0和时变电源供R二丄YS而环形线圈的电感为 L,故电压方程为:

5、U 二 Ri L dtdi -0当U=U°时，电流i也为直流，dt 。故U°T 二 JS 丄 “E此时导线内的切向电场为叫0当 U=U(t)时， dt ，故丄di(t)対丄d対U(t)二 Ri(t) LR E(t)S L ( E(t)S)dtdt二丄 E(t)S L S凹SdtdE(t) . lE(t) _U(t)dt L S L S求解此微分方程就可得到E (t)。5.5 一圆柱形电容器，内导体半径为a,外导体内半径为b，长为I。设外加电压为Uosi nt，试计算电容器极板间的总位移电流，证明它等于电容器的传导电流。解当外加电压的频率不是很高时，圆柱形电容器两极板间的电场

6、分布与外加直流电压时的电场分布可视为相同(准静态电场)，即_U 0 sincotE = err In (b a)故电容器两极板间的位移电流密度为:DU 0 cos terid = J ds2二；Id- 0=g er errd dz.:tr In (b a)®U0 coscc>t = Ccc>U0 coscot In (b a)2兀名lC =式中，ln(b a)是长为|的圆柱形电容器的电容。流过电容器的传导电流为ic =C 二 C U0 cos tdt可见id - ic6.6由麦克斯韦方程组出发，导出点电荷的电场强度公式和泊松方程。 解点电荷q产生的电场满足麦克斯韦方程&#

7、39; E =0 和D ='据散度定理，上式即为利用球对称性，得故得点电荷的电场表示式E =e qr 24二；r由于I E =0 ,可取E ，则得7 : D 八 E - m -讥 2= ：即得泊松方程5.7试将麦克斯方程的微分形式写成八个标量方程：（1 ）在直角坐标中；（2）在圆柱坐标中；（3）在球坐标中。解（1）在直角坐标中（2）在圆柱坐标中；:Hz汨y:ycz；:Hx；:Hz；:zex:H y：Hx；x-:Ez:Eyjz：Ex:乓jz:x/Ey迟:x-:Bx+ 7 -:x-y:x:y汨汨:z=Jx二 Jz：Dxx；:t'Dy+-；t.Dz；：t一時Hxctctj汨zft =

8、0:z二 Jrd；t彷 J*+- :z: r: t仁1 ；:Hr-(rH )- -一二 Jr ;rr ：zr :z,:Hr ；:H z.:rr.z.:t迟一迟一汨:z ：T；:t:t rBJ r :r-空g）十丄孕十生 r crr r Mcz（3）在球坐标系中-亠（sinH ）- r sin11；Hrr sin ；： '严）JcDr=Jr£；：tqrtJ冶屮Ctct1牴*（列7警、rH（r2Br）丘邙曲旳丘手=°1 ；：21；：1： D r1片（rHJ r ；r1r sin 一 r5.8已知在空气中已勺0* negcos©"09），求日和0。提示

9、：将E代入直角坐标中的波方程，可求得 ：。 解电场E应满足波动方程=0将已知的二eyEy代入方程，得-2 2:zEy.:x2式中-2 .:Ey 厂=0.:t2故得-2 :'Ey小2x:Ey2:z-0.1（10： ）2sin 10二 xcos（6 109t - 4）= 0.1sin10二x-：2cos（6二 109t - Z）竺一 092ct= 0.1%；°si n10：x-（6 二 109）2cos（6 109t- 1 z）-（10 二）2-12 %；0（6 二 109）2=0:二 300 =54.41rad/m:H11 r：Ey：EyqE -exez.:t.LoJo'

10、;Z；x1 _ex0.1：si n10 二 xsi n(6 二 109t-z)Jo9feZ0.1 10二 cos10二 xcos(6二 10 t- - z)将上式对时间t积分，得1H- ex0.1 ： sin10 二 xcos(6二 109t - - z._0 6 - 109Qez 二 cos10二 xsi n(6 二 10t：z)=-ex2.3 10° si n10 二 xcos(6 二 10-t-54.41z)-ez1.33 10，cos10二 xsin(6 二 10-t-54.41 z)A/m5.9已知自由空间中球面波的电场为E = e 寸Eosin v cos( t - kr

11、)求H和k。解可以和前题一样将 E代入波动方程来确定 k,也可以直接由麦克斯韦方程求与E相伴的磁场H。而此磁场又要产生与之相伴的电场，同样据麦克斯韦方程求得。将两个电场比较，即可确定k的值。两种方法本质上是一样的。由.H.:t-e E0s in T cos( t - kr) r:rke Eosin sin( t - kr)Jor将上式对时间t积分，得kH = eEo sin cos(- kr)(1)EV将式(1)代入.:tv0er%1；o L '-or;:E；o；:t1 巴(r sinH )e(r sin- H )rsin cr吧coset-kr)-% sindt-kj 'Jo

12、r将上式对时间t积分，得E=丄 r 车sint_kr)+ 岂丰siPcos(心kJ 知国r蛍%r将已知的E =eEosincos（，tkr） ° r与式（2）比较，可得1含孑项的Er分量应略去，且k =.吐。；0，即k将k=护忑代入式（1），得E0 sin v cos( t - kr)二 e；0 E0% rsin r cos(，t - kr)A5.10试推导在线性、无损耗、各向同性的非均匀媒质中用 解注意到非均匀媒质的参数J ；是空间坐标的函数，因此、 H -（旦）- （丄）B BE和B表示麦克斯韦方程。11BB42卩而j卫“ 3二j三£t抚ct因此，麦克斯韦第一方程&qu

13、ot;.:t变为:E 1'、B - J t ；-丄*! BCt 卩又'D -（ ；E） = EE 二亍故麦克斯韦第四方程"D=-变为、E则在非均匀媒质中，用二丄；EE和B表示的麦克斯韦方程组为 B；工丄Z Bct 4'、E =:B.:tnH2题6.12图abcda, ab =cd 二 I ,bc = da 二：h 0对该闭合路径应用麦克斯韦第一方程可得QbcH dla H dlb HCdad|cH d|dH dl(1)5.11写出在空气和"二 的理想磁介质之间分界面上的边界条件。 解空气和理想导体分界面的边界条件 为n E =0n 汉 H = J s

14、根据电磁对偶原理，采用以下对偶形式E H .- E . J s r J ms即可得到空气和理想磁介质分界面上的边界 条件n H =0nE = -J ms式中，Jms为表面磁流密度。5.12提出推导n H 1二Js的详细步骤。y -oo解如题6.12图所示，设第2区为理想导体（2 - - ）o在分界面上取闭合路径.D因为理为有限值，故上式中rcDIjm dS = 0 h ：0s ；：t而（1）式中的另一项为闭合路径所包围的传导电流。取N为闭合路径所围面积的单位矢量（其指向与闭合路径的绕行方向成右手螺旋关系），则有因故式（1）可表示为(2)(Hr - H2) (Nn) I 二 Js N I应用矢量

15、运算公式A （B C） =（CA）B，式（2）变为n 比 - H 2 N J s N故得n （H4 -H2）= Js （3）由于理想导体的电导率 2 =：:,故必有E2 =0, H2 =0，故式（3）变为n H = J s5.13在由理想导电壁（ 磁场：）限定的区域0 士 x兰a内存在一个由以下各式表示的电aT! xEy 二Ho=：( )sin()sin(kz-，t)兀aa兀xHx 二 Hok()sin()sin(kz- t)兀a兀xHz 二 Hocos（ ）cos（kz- t）ax. jr Jrjr. jr jrJr/jfrjrj jr jr jrr jT JFf Jrjl" f

16、Jrf JF JrjBao1 1题6.13图这个电磁场满足的边界条件如何？导电壁上的电流密度 的值如何？解如题6.13图所示，应用理想导体的边界条件可以得出在 x=0 处，Ey=0,Hx=0Hz 二 H0cos（kz-：t）E= 0, H = 0在x=a处， yxHz - -H0cos（kz-，t）上述结果表明，在理想导体的表面，不存在电场的切向 分量Ey和磁场的法向分量 Hx。另外，在x= 0的表面上，电流密度为J s = n H |x=0 = ex(Ox HxezHz) |x=0=eez Hz x£ = eyH。cos(kzcot) 在x=a的表面上，电流密度则为Js 二 n H

17、 |x£ = -ex (exHx ezHz)心= -exxezHz=弋叫込陀_矶)5.14海水的电导率 =4S/m，在频率f=1GHz时的相对介电常数；r ： 81。如果把海水视 为一等效的电介质，写出H的微分方程。对于良导体，例如铜，；r二1, =5.7 10 S/m比较在f=1GHz时的位移电流和传导电流的幅度。可以看出，即使在微波频率下，良导体中 的位移电流也是可以忽略的。写出H的微分方程。解对于海水，H的微分方程为y' H =J j，Dj. E = j，（ ； 一 j-）Eo1Ec =名 _ j 即把海水视为等效介电常数为 的电介质。代入给定的参数，得910-9436

18、 :'、E j2 二 109(81j9) E36兀2兀灯0二 j(4.5- j4)E =(4j4.5)E对于铜，传导电流的幅度为 E，位移电流的幅度，；E。故位移电流与传导电流的幅度 之比为10-9= 9.75 10一132 二 f 36jiY5.7X107铜中的位移电流也是可以忽略不计的。故对于铜,:2 二 f ；r ；0Y可见，即使在微波频率下, 为H的微分方程VxH i'E =5.7 107 E5.15计算题6.13中的能流密度矢量和平均能流密度矢量。解瞬时能流密度矢量为S = E H 二 eyEy (exHx ezHz)二exEyHz -ezEyHx= exHo ?si

19、n( )cos()sin(kz- t)cos(kz-，t) 兀 aa2a 221 X 2ezH0，k() sin ( )sin (kz：t) 兀a-ex H： sin( )cos()sin2(kz-，t)2 aa1 2a 22 ：1 X-ez Hk()2sin2()1 -cos2(kz-，t)2 兀a为求平均能流密度矢量，先将电磁场各个分量写成复数形式.ax -士 2Ey 二 H。丄()sin( )e 2兀aanx -ikz¥Hx=H°k( )si n( )e 2兀aHz = H0cos(-)e»za故平均能流密度矢量为1 1 * * Sa2 ReE H* =?R

20、eexEyHz -ezEyHx.JI12 i ax、/二 x、忖ReexH0sin( )cos( )e 2a a-ezH o ' 2 si n2(Ja2 si n2(-) = -ezH2、a25.16写出存在电荷'和电流密度J的无损耗媒质中E和H的波动方程。 解存在外加源'和J时，麦克斯韦方程组为、 E对式（1）两边取旋度，得7 : 7 : H 二血 JC E）ct而7: 7: H - H 2H故 （'、H 八 2 H 八 JC E）戲（5）将式（2）和式（3）代入式（5），得过2这就是H的波动方程，是二阶非齐次方程。 同样，对式（2）两边取旋度，得Vx Vx&

21、#39;、（'、足 _'、2EC H点t（ 6）将式（1）和式（4）代入式（6），得_ 2 _ 2 E- = 1 丄、ra2抚农此即E满足的波动方程。对于正弦时变场，可采用复数形式的麦克斯韦方程表示Hj；E（7）' E= -jH （8）' H=0（9）厂P名（10）对式（7）两边取旋度，得7 :H = ' J - 叮？ E利用矢量恒等式二 /> J j；“ 化 E （ 11）二：H - -' （I H -v 2H 得I c H - 2 H将式（8）和式（9）代入式（11），得v 2 H + 2；H 二J 此即H满足的微分方程，称为非齐次亥姆

22、霍兹方程。同样，对式（8）两边取旋度，得7:E = _八 H即 c E 2H = _j八 H （ 12）将式（7）和式（10）代入式（12），得2 2 1 ' E + ，”； E = j J J - 此即E满足的微分方程，亦称非齐次亥姆霍兹方程。"5.17在应用电磁位时，如果不采用洛伦兹条件，而采用所谓的库仑规范，令 试导出A和所满足的微分方程。解将电磁矢量位 A的关系式B =亦A和电磁标量位;：的关系式代入麦克斯韦第一方程cDV H 二 J 土1疋"八 A)=J =利用矢量恒等式A 八A) _ i 2 Ac-A'、('、A _'、2A= J

23、(A)(1)f乱ct又由 E = '、(_' - A)=-t ；pp2 c A)二ctz按库仑规范，令' A =0 ,将其代入式（1）和式（2）得(3)(4)皆A冲、'、2 AA 厂！产（）a2ctp2'e)L )m /式（3）和式（4）就是采用库仑规范时，电磁场 A和'所满足的微分方程。5.18设电场强度和磁场强度分别为E = Eo cos（ tH = H o cos®t证明其坡印廷矢量的平均值为1Sav p E ° H °COSem)解坡印廷矢量的瞬时值为S=E H 二 E° COS,：；-, t J e) H °co