苏科数学九上新教案25直线与圆的位置关系第3课时　三角形的内切圆

1、数数 学学新课标（新课标（SKSK） 九年级上册九年级上册2.52.5直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系探究新知探究新知探究新知探究新知重难互动探究重难互动探究重难互动探究重难互动探究课堂小结课堂小结课堂小结课堂小结新知梳理新知梳理新知梳理新知梳理第第3 3课时课时 三角形的内切圆三角形的内切圆2.5 直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系探探 究究 新新 知知活动活动1 1知识准备知识准备 1 1经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的_2 2圆的切线圆的切线_过切点的半径过切点的半径 切线切线 垂直于垂直于 2.5 直线与圆的位置关系直线与圆

2、的位置关系活动活动2 2教材导学教材导学 三角形内切圆的作法三角形内切圆的作法已知已知ABCABC，作，作O O，使它与，使它与ABCABC的三条边都相切你的作图步的三条边都相切你的作图步骤分成哪几步？骤分成哪几步？ 图图2 25 543 43 第一步：第一步：_；第二步：第二步：_；第三步：第三步：_ 略略 略略 略略 2.5 直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系 答案答案 如图如图2 25 54444所示，步骤略所示，步骤略 图图2 25 54444 2.5 直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系知识链接知识链接新知梳理新知梳理 知识点一知识点一 尝试：如图尝试：如图2 25 54545，在

3、一块直角三角形废料中，要在上面，在一块直角三角形废料中，要在上面挖掉一个最大的圆，用尺规作图画出这个圆，并保留正确的挖掉一个最大的圆，用尺规作图画出这个圆，并保留正确的作图痕迹作图痕迹 图图2 25 545 45 2.5 直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系 答案答案 如图如图2 25 54646所示所示 图图2 25 54646 2.5 直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系新新 知知 梳梳 理理知识点一三角形的内切圆、三角形的内心、圆的外切三角形知识点一三角形的内切圆、三角形的内心、圆的外切三角形 定义：与三角形各边都定义：与三角形各边都_的圆叫做三角形的的圆叫做三角形的_圆，圆，_圆的圆的

4、_叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的_三角形三角形 相切相切 内切内切 内切内切 圆心圆心 外切外切 2.5 直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系 说明说明 (1) (1)任意一个三角形有且仅有任意一个三角形有且仅有1 1个内切圆任意一个圆个内切圆任意一个圆有无数个外切三角形有无数个外切三角形(2)“(2)“切切”的含义是指圆与三角形的边相切；三角形的内切圆的含义是指圆与三角形的边相切；三角形的内切圆是以三角形为准，圆在它的里面圆的外切三角形是以圆为准，是以三角形为准，圆在它的里面圆的外切三角形是以圆为准，三角形在它的外面三角形在它的外面(3)(3)三角形

5、的内心是三角形三条角平分线的交点三角形的内心是三角形三条角平分线的交点(4)(4)三角形内心的性质：三角形的内心到三边的距离相等；三角形内心的性质：三角形的内心到三边的距离相等；三角形的内心与任一顶点的连线平分三角形的内角；三角形三角形的内心与任一顶点的连线平分三角形的内角；三角形的内心一定在三角形的内部的内心一定在三角形的内部 2.5 直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系知识点二三角形的内切圆与外接圆的比较知识点二三角形的内切圆与外接圆的比较 类别类别三角形的内切圆三角形的内切圆三角形的外接圆三角形的外接圆图形图形O O的名称的名称O O叫做叫做ABCABC的内切圆的内切圆O O叫做叫做AB

6、CABC的外接圆的外接圆ABCABC的名称的名称ABCABC叫做叫做O O的外切三的外切三角形角形ABCABC叫做叫做O O的内接三的内接三角形角形圆心圆心O O的名称的名称圆心圆心O O叫做叫做ABCABC的内心的内心圆心圆心O O叫做叫做ABCABC的外心的外心圆心圆心O O的确定的确定作两个角的角平分线作两个角的角平分线作两条边的中垂线作两条边的中垂线内心与外内心与外心的性质心的性质内心内心O O到三边的距离相等到三边的距离相等外心外心O O到三个顶点的距离到三个顶点的距离相等相等重难互动探究重难互动探究2.5 直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系探究问题一三角形内切圆的作图探究问题一三

7、角形内切圆的作图 例例1 1 某新建小区要在一块等边三角形的公共某新建小区要在一块等边三角形的公共区域内修建一个圆形花坛区域内修建一个圆形花坛(1)(1)若要使花坛面积最大，请你在这块公共区若要使花坛面积最大，请你在这块公共区域域( (如图如图2 25 547)47)内确定圆形花坛的圆心内确定圆形花坛的圆心P P；(2)(2)若这个等边三角形的边长为若这个等边三角形的边长为1818米，请计算米，请计算出花坛的面积出花坛的面积 图图2 25 547 47 2.5 直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系 解析解析 由题意可知三角形为等边三角形，设计方案可根据内由题意可知三角形为等边三角形，设计方案可

8、根据内切圆的性质及正三角形的性质，在三角形内作内切圆，此时切圆的性质及正三角形的性质，在三角形内作内切圆，此时圆形花坛的面积最大，然后由圆的性质求出内切圆的半径，圆形花坛的面积最大，然后由圆的性质求出内切圆的半径，从而求出面积从而求出面积 2.5 直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系2.5 直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系 归纳总结归纳总结 解答实际应用问题的关键是将实际问题转化为合适解答实际应用问题的关键是将实际问题转化为合适的数学模型，本题中要使花坛面积最大，则所作的圆与三角形的数学模型，本题中要使花坛面积最大，则所作的圆与三角形三边都相切，即作出三角形的内切圆即可三边都相切，即作出三

9、角形的内切圆即可 图图2 25 548 48 2.5 直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系探究问题二三角形内切圆半径的计算探究问题二三角形内切圆半径的计算 例例2 2 如图如图2 25 54949，I I是是RtRtABCABC(C C9090) )的内切圆，的内切圆，I I和三边分别切于点和三边分别切于点D D，E E，F F. .(1)(1)求证：四边形求证：四边形IDCEIDCE是正方形；是正方形；(2)(2)设设BCBCA A，ACACB B，ABABC C，求内切圆，求内切圆I I的半径的半径 图图2 25 549 49 2.5 直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系 解析解析 (1)

10、 (1)根据切线的性质即可证明四边形根据切线的性质即可证明四边形IDCEIDCE是一个矩形，再是一个矩形，再根据一组邻边相等的矩形是正方形即可证明；根据一组邻边相等的矩形是正方形即可证明；(2)(2)根据面积相等根据面积相等可计算结果可计算结果 解：解：(1)(1)证明：证明：BCBC，ACAC与与I I分别相切于点分别相切于点D D，E E，IDCIDCIECIECC C9090，四边形四边形I IDCEDCE为矩形为矩形又又IEIEIDID，矩形矩形I IDCEDCE是正方形是正方形 2.5 直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系 归纳总结归纳总结 本题通过面积法计算三角形内切圆的半径本题通

11、过面积法计算三角形内切圆的半径 2.5 直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系探究问题三三角形内心性质的应用探究问题三三角形内心性质的应用 例例3 3 高频考题高频考题 已知已知I I为为ABCABC的内心，连接的内心，连接A AI I交交ABCABC的的外接圆于点外接圆于点D D，如图，如图2 25 55050所示，连接所示，连接BDBD和和CDCD. .求证：求证：BDBDCDCDIDID. . 图图2 25 550 50 2.5 直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系 解析解析 连接连接BIBI，根据三角形的内切圆的意义和圆周角定理得到，根据三角形的内切圆的意义和圆周角定理得到BDBDDCD

12、C，根据三角形外角性质求出，根据三角形外角性质求出IBDIBDBIDBID，根据等腰三，根据等腰三角形的判定求出角形的判定求出BDBDIDID即可即可 证明：证明： 如图如图2 25 55151所示，连接所示，连接BIBI. . 图图2 25 551 51 2.5 直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系I I是是ABCABC的内心，的内心，BADBADDACDAC，ABIABICBICBI， ，BDBDCDCD. .BIDBIDABIABIBADBAD，IBDIBDCBICBIDBCDBC，CADCADBADBADDBCDBC，DBIDBIBIDBID，BDBDIDID，BDBDCDCDIDID

13、. . 2.5 直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系 归纳总结归纳总结 本题主要考查对等腰三角形的性质和判定，三角形本题主要考查对等腰三角形的性质和判定，三角形的内切圆与内心，三角形的外角性质，圆周角的内切圆与内心，三角形的外角性质，圆周角定理，圆周角、弧、弦之间的关系等知识点的理解和掌握，综定理，圆周角、弧、弦之间的关系等知识点的理解和掌握，综合运用这些性质进行推理是解决此题的关键合运用这些性质进行推理是解决此题的关键 2.5 直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系 备选题备选题 如图如图2 25 55252，己知，己知ABCABC，ADAD平分平分BACBAC且与它的且与它的外接圆交于点外接

14、圆交于点D D，在线段，在线段ADAD上有一点上有一点I I满足满足BDBDIDID. .试问点试问点I I是否是否是是ABCABC的内心？若是，请加以证明；若不是，请说明理由的内心？若是，请加以证明；若不是，请说明理由 图图2 25 552 52 2.5 直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系 解析解析 连接连接BIBI，根据等腰三角形的性质求出，根据等腰三角形的性质求出BIDBIDIBDIBD，推出推出ABIABICBICBI，得出，得出I I是是BACBAC和和ABCABC的平分线的交点即的平分线的交点即可可 证明：证明：点点I I是是ABCABC的内心证明如下：连接的内心证明如下：连接B

15、IBI， 图图2 25 553 53 2.5 直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系BIDBIDABIABIBADBAD，IBDIBDCBICBIDBCDBC，BDBDIDID，BIDBIDIBDIBD. .ADAD平分平分BACBAC，BADBADCADCADDBCDBC，BIDBIDBADBADDBIDBIDBCDBC，ABIABICBICBI，即即BIBI是是ABCABC的平分线，的平分线，I I是是BACBAC和和ABCABC的平分线的交点，的平分线的交点，点点I I也在也在ACBACB的平分线上，即的平分线上，即I I是是ABCABC的内心的内心 课 堂 小 结2.5 直线与圆的位置关

16、系直线与圆的位置关系三角形的内切圆2.5 直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系图图2 25 554 54 2.5 直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系2.5 直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系(1)(1)理解与应用：利用公式计算边长分别为理解与应用：利用公式计算边长分别为5 5，1212，1313的三的三角形内切圆的半径；角形内切圆的半径；(2)(2)类比与推理：若四边形类比与推理：若四边形ABCDABCD存在内切圆存在内切圆( (与各边都相切与各边都相切的圆，如图的圆，如图2 25 55454) )，且面积为，且面积为S S，各边长分别为，各边长分别为A A，B B，C C，D D，试推导

17、四边形的内切圆半径公式；，试推导四边形的内切圆半径公式；(3)(3)拓展与延伸：若一个拓展与延伸：若一个N N边形边形( (N N为不小于为不小于3 3的整数的整数) )存在内存在内切圆，且面积为切圆，且面积为S S，各边长分别为，各边长分别为A A1 1，A A2 2，A A3 3，ANAN，合，合理猜想其内切圆半径公式理猜想其内切圆半径公式( (不需要说明理由不需要说明理由) ) 2.5 直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系 解析解析 (1) (1)根据上述三角形的内切圆的半径公式，由已知条根据上述三角形的内切圆的半径公式，由已知条件，结合勾股定理的逆定理知该三角形是直角三角形可以首件，结合勾股定理的逆定理知该三角形是直角三角形可以首先求得其面积是先求得其面积是3030，其周长是，其周长是5 512