初一数学本讲主要内容

1、初一数学 本讲主要内容 第五章三角形56 5.探索三角形全等的条件6.作三角形 二.学习指导 5.探索三角形全等的条件 我们知道两个三角形能够重合，则这两个三角形是全等的三角形.全等三角形的对应边相等，对应角相等. 换言之，两个三角形也只有对应边相等，对应角相等，才能重合.我们可以这样说，两个三角形全等的条件是三个角对应相等，三条边对应相等.当我们判断两个三角形是否全等时，是不是一定要研究这六个条件呢？是否缺一不可呢班们知道，三角形的内角和等于180；那么三角形中,只要知道两个角，就可得到第三个角，故全等的条件中可以减少一个角.这说明三角形全等的六个条件是可以减少一部分的. 我们下面就来研究哪

2、些条件可以减少. (1我们用三条线段，如长分别为4cm,5cm,6cm的三条线段，可以画出一个三角形.再画一个,我们可以看出，两次画的三角形是全等的.这样我们可以得到结论： 三边对应相等的两个三角形全等. 这个结论可以简写为边边边或者“SSS 由这个结论可知，只要一个三角形的三边的长度确定了，这个三角形的形状和大小就完全确定了.这个性质叫做三角形的稳定性. 三角形的稳定性在生活中有很多应用的例子，如电线杆上的横担,就用两个斜撑加固(如图. 如果已知一个三角形的三个角，画出的三角形就不一定全等.因为这样的两个三角形的形状是相同的，但大小不一定相等. (2我们知道一个三角形的两个角和一条边，来画一

3、个三角形.这里有两种情况，先考虑这边是两个角所夹的边.这样可以画出三角形，并且，如果再画一个，定与前一个全等.这样我们可以得到结论： 两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等.这个结论可以简写为像I边 角”或者“ASA”. 再来考虑一边是其中一个角的对边的情况，由于三角形的内角和等于180；第三个角也对应相等，即问题变成了上一种情况，于是我们可以得到结论： 两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等.这个结论可以简写为饰 角边”或者“AAS”. (3如果我们知道两条边和一个角，来画三角形.这也有两种情况，一是条件中的角是两边的夹角.这样可以画出三角形， 并且， 如果再画一个， 定与前一个全等

4、.这样我们可以得到结论： 两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等.这个结论可以简写为边角边”或者“SAS”但是,如果条件中的角是一条边的对角，情况就不一样了.这样可以画出两个不全等的三角形， AB=A1B1,AC=A1C1,/B=/B1,但ABC与4A1B1C1不全等.即 两边及其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等.6.作三角形 我们已经学会用尺规作一条线段等于已知线段、作一个角等于已知角，边和角 是三角形的基本 B 1 B11 元素，那么我们就能用尺规作一个三角形和已知三角形全等. 例如， 已知:线段a,c/a. 求作:ABC，使BC=a,AB=c，/ABC=/M发法： 1 .作一

5、条线段BC=a; 2 .以B为顶点,BC为一边作/DBC=/a;。射线BD上截取线段BA=c; 4 .连结AC. ABC就是所求作的三角形.（如下图 三.例题评析例1如图，AC、BD相交于O,AB=CD,AC=BD,请说明/A =/D 分析:要说明可以先说明它们 所在的三角形ABC和DCB全等. 解:连结BCABC和DCB中， 因为AB=DC,AC=DB,BC=CB,所以ABCDCB（SSS 所以/A=/D（全等三角形的对应角相等 说明:要说明也可先说明ABO和DCO全等.但本题中要说明这两个三角形 全等的条件不够. 例2如图，AB/CD,AD/BC，请说明AB=CD. 解:连结BD,因为AB

6、/CD,所以/ABD=/CDB; 因为AD/BC,所以/ADB=/CBD,又BD=DB,所以ABDCDB (ASA. 所以AB=CD（全等三角形的对应边相等. 说明:这两个例题都是利用全等三角形来说明线段相等或角相等，都要在已知的图形中寻找或构造全等三角形.例3如图,在ABC中，M在BC上， D在AM上，AB=AC,DB=DC,请说明MB=MC. 分析:要说明MB=MC,可以说明ABM叁匕ACM, 但条件不够，于是要利用已有的条件来推出需要的条件 解:在ABD和ACD中, 因为AB=AC,DB=DC,AD=AD,所以ABDACD(SSS. 4312 所以/DAB=/DAC(全等三角形的对应角相

7、等 在ABM和ACM中，因为AB=AC,/MAB=/MAC,AM=AM,所以 ABM叁匕ACM(SAS. 所以MB=MC(全等三角形对应边相等.例4已知:线段a，/a/0. 求作:ABC，使BC=a,/B=/a/C=/0作法： 1 .作线段BC=a; 2 .以B为顶点，BC为一边作/CBD=/a; 3 .以C为顶点， CB为一边作/BCE=/B,C自BD交于点A. ABC就是所求的三角形. a 上 四.习题1.(1三个内角分别对应相等的两个三角形是否全等？(2三条边分别对 应相等的两个三角形是否全等？ (3有两边及这两边的夹角对应相等的两个三角形是否全等？(4有两角及这两角 的夹边对应相等的两

8、个三角形是否全等？(5有两边及一角对应相等的两个三角形是否全等？(6有两角及一边对应相等的两个三角形是否全等？2.什么是三角形的稳定 性？ 3.如图，AB=AD,BC=CD,那么ABC和ADC全等吗？为什么？4.如图，AB=CD,BC=AD,那么/A=/C吗？为什么？ 5.如图,A、B在CD上,AD=BC,AE=BF,EC=DF,那么是否有DF/EC为什么？ 6.如图，/E=/C,AB=AD,/1=/2,那么,ABC和ADE全等吗？为什么 BCB321B DB 5.6. 7 .如图，AB=AC,AD=AE,那么ABD和ACE全等吗？为什么 8 .如图，AB/CD,AB=CD,那么ABC和CDA

9、全等吗？为什么 9 .如图，D为BC的中点,AD BC,那么AB与AC相等吗？为什么？ 10 .如图，已知C是AB的中点,CD=CE,还需加上什么条件，就可以得到BCD 和ACE全等？ 11 .已知:线段a，/冰作：(1AABC,使/A=/a,AB=a,AC=2a. (2AABC，使/A=/a, AB=a,/B=2/a. 12 .已知:线段a和c 和c.13.已知:线段a，/a求作:一个直角三角形， 使它的一个锐角等于/0r7条直角边等于a. 五.参考答案 1 .(1不一定；(2全等；(3全等；(4全等；(5全等；(6不一定. 2 .一个三角形的三边确定后，这个三角形的形状、大小就确定了. 3 .全等.理由是SSS. 4 .相等.连结BD,用SSS”可得ABD叁匕CDB. 5 .由条件可得AEC叁匕BDF，则/C=/D,即得. 6 ./1=/2,/1+/DAC=/2+/DAC，可用AAS, ABC和ADE全等. 7 ./A是公共角,AB=AC,AD=AE, ABDACE