拉格朗日中值定理的应用

1、目 录 摘 要1关键字1Abstract1KeyWord10前言11 对拉格朗日中值定理的理解 11.1承上启下的定理11.2定理中的条件11.3定理中的21.4定理的意义22 拉格朗日中值定理的证明23 拉格朗日中值定理的应用33.1求极限33.2证明不等式.53.3证明恒等式83.4证明等式93.5研究函数在区间上的性质 103.6估值问题 113.7判定级数的收敛性 123.8证明方程根的存在性 133.9误用拉格朗日中值定理 14结束语15参考文献16致 谢16拉格朗日中值定理的应用 学生姓名：李 苹 学号：20075030274 数学与信息科学学院 数学与应用数学专业 指导老师：李

2、柱 职称：助教 摘要：拉格朗日中值定理是微分学的基础定理之一，它是沟通函数及其导数之间关系的桥梁，课本中关于拉格朗日中值定理的应用并没有专门的讲解，而很多研究者也只是研究了它在某个方面的应用，并没有系统的总结。本文首先进一步分析了定理的实质，以便使读者深入理解拉格朗日中值定理；然后从课本中证明拉格朗日中值定理的思想（构造辅助函数法）出发，提出了一个较简单的辅助函数，从而使拉格朗日中值定理的证明简单化；以此为理论依据并在别人研究的基础上，最后重点总结了拉格朗日中值定理在各个方面的应用。这对于正确的理解和掌握拉格朗日中值定理，以及以后进一步学习数学具有重要的作用和深远的意义。关键词：拉格朗日中值定

3、理；应用；极限；不等式；收敛；根的存在性 The Application of Lagrange's mean value theoremAbstract：The Lagrange's mean value theorem is one of basic theorems of differential calculus and it also is communication function and its derivative bridge. There is no special explaination about the applications of Lagran

4、ge's mean value theorem and many researchers also just studied it in some applications and no systematic summary. In order to make the reader understand Lagrange's mean value theorem, this paper first analyzed the essence of the theorem and then from textbook proof Lagrange's mean value

5、theorem thoughts (structure method of auxiliary function), puts forwards a simpler auxiliary function. Thus make the proof of Lagrange's mean value theorem simplify. According to this theorem and the basis of others study, finally summarized all the aspects application of Lagrange's mean val

6、ue theorem. It is quite important for understanding and mastering Lagrange's mean value theorem and also have a significant and profound significance for further study of mathematics. Keywords：Lagrange's mean value theorem; Application; Limit; Inequality; Convergence; Roots of existence0前言函数

7、与其导数是两个不同的的函数，而导数只是反映函数在一点的局部特征，如果要了解函数在其定义域上的整体性态，就需要在导数及函数间建立起联系，微分中值定理就是这种作用.微分中值定理，包括罗尔定理、拉格朗日定理、柯西定理、泰勒定理，是沟通导数值与函数值之间的桥梁，是利用导数的局部性质推断函数的整体性质的工具。以罗尔中值定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理组成的一组中值定理是一整个微分学的理论基础。拉格朗日中值定理，建立了函数值与导数值之间的定量联系，因而可用拉格朗日中值定理通过导数去研究函数的性态，拉格朗日中值定理的主要作用在于理论分析和证明.拉格朗日中值定理是几个微分中值定理中最重要的一个，是微分学应

8、用的桥梁。在高等代数与数学分析中的一些理论推倒中起着很重要的作用。课本中对拉格朗日中值定理的应用只是简单的举了例子，而很多研究者也只是研究了它在某个方面的应用，并没有系统的总结，所以研究拉格朗日中值定理的应用，力求正确地理解和掌握它是十分必要的.拉格朗日中值定理：若函数f满足如下条件：（1） 在闭区间上连续；（2） 在开区间内可导，则在内至少存在一点，使得=。1对于此定理的应用，本文从求极限、估值问题、证明不等式、以及研究函数在区间上的性质等几个方面详细举例说明，以便我们更好的理解和掌握拉格朗日中值定理。1 对拉格朗日中值定理的理解拉格朗日中值定理是微积分的基础定理之一，在理论和应用上都有着极

9、其重要的意义。该定理的叙述简单明了，并有明确的几何意义，很容易简单掌握，但要深刻认识定理的内容，特别是点的含义，就有较大难度。熟练掌握定理的本质，会在解题时游刃有余，若对定理的实质了解不够深刻的话，会进入不少误区。下面从四个方面对定理进行分析，以便更好的掌握定理。1.1 承上启下的定理拉格朗日中值定理是导数概念的延伸，是导数各种应用的理论基础。在讲完导数内容后，介绍导数的应用是顺理成章的。而正是这一定理使得导数概念与其应用有机的联系起来。例：函数，有，当时，单调增加；当时，单调减少；当时，可见，函数的单调性的判定，是否取得极值可以用它的导数符号来确定。一般在某个区间上，若，则单调增加，若，则单

10、调减少，若，则可能在改点处取得极值（此亦为定理）。又如例中，如果时，而，从而有，即函数在某个闭区间端点的函数值之差同该区长度之比等于该区间内某一点的导数值。这样一来，通过具体实例会让学生容易学地接受定理的内容。21.2 定理中的条件函数在闭区间上连续、在开区间内可导是拉格朗日中值定理两个不可缺少的条件，是充分而不必要的条件。即由着两个条件一定可得出结论，但没有这两个条件，则无定论。例 函数在闭区间 上不连续，在开区间(-1,1)内不可导所以无实根，即在区间(-1,1)内不存在，使得1.3 定理中的 如果在满足拉格朗日中值定理条件下，结论中的“至少存在”是关键所在。实际上是方程 f()= （1）

11、的所有实数解中属于区间的那些解，而这些解的个数正是定理中的个数。例 求函数在区间（-1,1）内的解：显然函数在该区间内满足定理的条件,所以即区间内任何一点都可取为，这样的有无穷多个。但值得注意的是方程（l）一般不是简单的代数方程，不一定能解出，但这并不影响定理的应用，因为定理的重要性不在于一定要知道或者解出，而是在于确定了的存在性。1.4 定理的意义（1）几何意义:定理中是连接曲线上两点的弦的斜率，是过曲线上一点的切线的斜率。那么，定理就可解释为在曲线上至少存在一条平行于弦的切线。1（2）物理意义:如果表示物体的运动规律在定理的条件下，表示物体运动到时间时的瞬时速度；表示物体从时间到平均速度，

12、那么表示物体在运动过程中，至少有那么一个时刻，其瞬时速度等于它的平均速度。2 拉格朗日中值定理的证明 拉格朗日中值定理是微分学的基本定理，它架起用导数来研究函数性质的桥梁。该定理的证明一直是人们研究的问题。它的证明通常是以罗尔中值定理作为预备定理，为此需要将拉格朗日中值定理的条件转化为罗尔定理的条件，这个转化过程就是要构造一个满足罗尔定理条件的新函数作为辅助函数。教科书上的证明方法正是通过此思想实现的，但所作的辅助函数不是很容易想到，下面提供一个更易理解、更简单的证明方法以供大家参考。分析：首先由定理的结论知则可求从而可构造辅助函数证明：先构造辅助函数 再用罗尔定理证明显然，在连续，在（）可导

13、，有罗尔定理知，在连续，在（）内可导，且，则在（）内至少存在一点，使.从而可证即证3 拉格朗日中值定理的应用 拉格朗日中值定理在微积分学中是一个重要的理论基础，是应用数学研究函数在区间上整体性态的有力工具，拉格朗日中值定理作为微分中值定理的核心，有着广泛的应用，如求极限、证明不等式和方程根的存在性等，它在很多题型中都起到了化繁为简的作用。下面通过举例说明拉格朗日中值定理在以上几个方面的应用。3.1求极限例1 求极限.3解：函数在或上运用拉格朗日中值定理得（介于与之间）当时，由介值定理可知则 原式=解题思路：由这一形式联想到拉格朗日中值定理的一般形式，从而构造函数，在运用拉格朗日中值定理求极限。

14、例2 设连续，有公式 （0<<1） (1)试求时的极限解：对函数在或上运用拉格朗日中值定理得 （0<1<1）将此式代入式（1）得 (2)将按泰勒公式展开得 (3)由式（2）和（3），得所以例3 若函数在R上可导，极限与都存在，则=0。4证明1：应用拉格朗日中值定理，设，则，有，已知极限存在则=即证明2：用反证法假设，不妨设，根据极限的保号性，有 或，由拉格朗日中值定理有或显然，当时，不存在，矛盾3.2 证明不等式 (一) 含绝对值的不等式的证明例1证明.证明：设.则在上连续，在内可导。由拉格朗日中值定理可知，取绝对值=因为1所以例2 设函数在上可微，且，.3证明在上，,

15、其中是大于零的常数.证明：要证，即要证.由可知.若，则。若，则由拉格朗日中值定理可知，即 整理得，其中若，则由拉格朗日中值定理可知，其中终上所述:在上，.含绝对值的不等式分为两类：一类是在证明过程中对等式两边同时取绝对值，然后利用已知条件中的不等关系，证明含绝对值的不等式成立;另一类是形如的不等式，证明这类不等式，即证明形如的双边不等式。（二）双边不等式的证明例 设,证明 。5证明：设函数，则在上连续，在内可导。由拉格朗日中值定理可知，存在，使得即 （*）因为 ，且，所以 于是有将（*）式代入得在证这类题目时，大多数都要应用到单数的单调性。（三）灵活构造的值例 1 试证不等式.证明1： 令，则

16、，由拉格朗日中值定理得.因为所以 即证明2 ：仍设 。则。在内对应用拉格朗日中值定理，得再由得例 2 证明 当时，（等号只有在x=0时成立）。证明：令，则在区间上，由拉格朗日中值定理，存在，使整理有=又因为 所以有当时等号成立。同理可证在区间上原式成立。3.3 证明恒等式由拉格朗日中值定理知，函数在定义域内取两点，（不妨设）有那么若恒为0，则有，所以，由的任意性可知，在定义域内函数值恒等。既有下面一个推论：推论：如果函数在区间内的倒数恒为零，那么在内是一个常数，利用这个推论可以证明一类反三角恒等式的题目。6例 1证明 恒等。证明：令在时有意义，且在时，（常数）。又取内任一点，如，有且所以端点值

17、也成立，有推论有恒等。3.4 证明等式用拉格朗日中值定理证明等式也是它的应用中很重要的一项，证明的目标在于凑出形式类似于拉格朗日中值定理的式子，寻找机会应用。例 设在上连续，在内可导，且，试求，使得.7证明：令，则在上满足拉格朗日中值定理条件，故存在，使得由条件，可得再令，则在上满足拉格朗日中值定理条件，故存在，使得综合上述两式可得即3.5 研究函数在区间上的性质 因为拉格朗日中值定理沟通了函数与其导数的联系，很多时候我们可以借助其导数，研究导数的性质，从而了解函数在整个定义域区间上的整体认识。比如研究函数在区间上的符号、单调性、一致连续性，凸性等等，都可能用到拉氏中值定理的结论。通过对函数局

18、部性质的研究把握整体性质，这是数学研究中一种重要的方法.8(一) 证明函数一致连续性例 证明:若函数于有穷或无穷的区间内有有界的导函数,则于中一致连续。证明：设当时，对于，在以为端点的区间上由拉氏中值定理，有在之间那么有，对于，取，则当时，且，就有（在之间）由一致连续定义可知，在内一致连续。（二）证明函数的单调性例 证明在内单调增加。证明：因又在上满足拉格朗日中值定理的条件故从而有所以，在时单调增加。（三）证明函数的有界性例 设在内可导且有界，试证在有界证明：任取，有拉格朗日中值定理知（在之间）可得+式中是在内的界，有即在内有界3.6 估值问题.证明估值问题，一般情况下选用泰勒公式证明比较简便

19、。特别是二阶及二阶以上的导函数估值时。但对于某些积分估值，可以采用拉氏中值定理来证明。例 设在上连续，且，试证.9证明：若，不等式显然成立若不恒等于零，使，在及上分别用拉氏中值定理，有从而再利用即得所证。3.7 判定级数的收敛性例1 若一正项级数发散，证明级数收敛。证明：作辅助函数，则，当时，在上用拉氏中值定理，得于是由收敛，既得所证。例2 证明调和级数的发散性。证明：设在上连续，在内可导，由拉格朗日中值定理在内至少存在一点，使于是当时，有当时，有当时，有依此类推，当时，有所以而右端之和恰好是调和级数的前n项和因为故，调和级数是发散的。3.8 证明方程根的存在性例 1 设在上可导，且对于内的所

20、有点，有证明方程在内有唯一实根。10证明：存在性：令则在上可导，又因故由介值定理得在内至少有一个零点，即方程在（0,1）内至少有一实根。唯一性：设方程在内有两个实根，不妨设则有因在上满足拉格朗日中值定理，所以至少存在一点使即在内是少存在一点，使得这与题设矛盾。所以假设不成立，即方程在内有唯一实根。例2 设在内二阶可导，且又存在，使试证：方程在内有且仅有两个根。证明：存在性，由可知，对于存在使得时即可知在内单调增加。任取在上连续，在内可导，由拉格朗日中值定理知，存在，使得又存在，使所以，由介值定理，存在使同理可证，当时，存在使唯一性：（反证法）假若有三个实根由罗尔定理，存在使得再由罗尔定理，存在

21、使与题设矛盾，故在内有且仅有两个根。3.9 误用拉格朗日中值定理11误区一：若函数在可导则对区间内任一点定能找到确定的两点使得成立以上命题与拉格朗日中值定理几乎相同，似乎应该成立，其实不然错误原因在于对与的关系未搞清，定理是现有后有现在是现有后找则不一定存在。譬如该函数在：上连续，在（-1,1）内可导，满足拉格朗日中值定理条件，取由得即但严重单调，所以找不到所要求的.以上命题错误。误区二: 用拉格朗日中值定理，可推得说明该定理有错。证明：设则在上连续，在内可导，故存在，使成立，即即当时，得出，从而而事实上不存在，说明拉格朗日中值定理出错。是真理真的有错吗？否。事实上以上证明得出是正确的。问题在

22、于不能因此得出因为当连续的趋近于0时，并不连续趋于0.它仅是的一个子列，而子列极限存在并不等于原极限存在。4 结束语本文从高等数学中常用的几个方面概述了拉格朗日中值定理的应用，最后又总结了误用拉格朗日中值定理的两种情况，以便读者更好的理解拉格朗日中值定理。拉格朗日中值定理的应用是一个庞大的研究课题，加上我自身理论、能力方面的欠缺，所以本文中还有很多不足和无法涉及的内容。本文对拉格朗日中值定理的应用的相关论述，不可避免的存在诸多漏洞与不足，恳请读者予以批评。参考文献：1 华东师范大学数学系数学分析（第三版）（上册）M北京：高等教育出版社，2001，119-1212 华东师范大学.数学分析习题解析M陕西：陕西师范大学出版社，2004，87-913 钱吉林.数学分析题解精粹M武汉：崇文书局，2003，61-834 Curriculum Theory（2nd）JPeacock Press，1986，6-65 LyDavid Kembet，Alicejoens，Alice ioke，Jan mckay，Kit Sinclair，Haxfison tse，Celia webbFrances wongand Ella yeun，Determining the leve of eftive