抽象函数综合题例含详细解答

1、抽象函数经典综合题33例（含详细解答）抽象函数，是指没有具体地给出解析式，只给出它的一些特征或性质的函数，抽象函数型综合问题，一般通过对函数性质的代数表述，综合考查学生对于数学符号语言的理解和接受能力，考查对于函数性质的代数推理和论证能力，考查学生对于一般和特殊关系的认识，是考查学生能力的较好途径。抽象函数问题既是教学中的难点，又是近几年来高考的热点。本资料精选抽象函数经典综合问题33例（含详细解答）1.定义在R上的函数y=f(x)，f(0)0，当x>0时，f(x)>1，且对任意的a、bR，有f(a+b)=f(a)f(b)，（1） 求证：f(0)=1；（2） 求证：对任意的xR，恒

2、有f(x)>0；（3）证明：f(x)是R上的增函数；（4）若f(x)·f(2x-x2)>1，求x的取值范围。解 （1）令a=b=0，则f(0)=f(0)2f(0)0 f(0)=1（2）令a=x，b=-x则 f(0)=f(x)f(-x) 由已知x>0时，f(x)>1>0，当x<0时，-x>0，f(-x)>0又x=0时，f(0)=1>0对任意xR，f(x)>0(3)任取x2>x1，则f(x2)>0，f(x1)>0，x2-x1>0 f(x2)>f(x1) f(x)在R上是增函数（4）f(x)·

3、;f(2x-x2)=fx+(2x-x2)=f(-x2+3x)又1=f(0)，f(x)在R上递增由f(3x-x2)>f(0)得：3x-x2>0 0<x<32.已知函数,在R上有定义，对任意的有 且（1）求证：为奇函数（2）若， 求的值解（1）对，令x=u-v则有f(-x)=f(v-u)=f(v)g(u)-g(v)f(u)=f(u-v)=-f(u)g(v)-g(u)f(v)=-f(x)（2）f(2)=f1-(-1)=f(1)g(-1)-g(1)f(-1)=f(1)g(-1)+g(1)f(1)=f(1)g(-1)+g(1)f(2)=f(1)0g(-1)+g(1)=13.已知函

4、数对任意实数恒有且当x0，(1)判断的奇偶性；(2)求在区间3,3上的最大值；(3)解关于的不等式解（1）取则取对任意恒成立 为奇函数.（2）任取， 则 www.ks5u 又为奇函数 在（，+）上是减函数.对任意，恒有而在3，3上的最大值为6（3）为奇函数，整理原式得 进一步可得 而在（，+）上是减函数， 当时， 当时，当时， 当时, 当a>2时，4.已知f(x)在(1，1)上有定义，f()1，且满足x，y(1，1)有f(x)f(y)f()证明：f(x)在(1，1)上为奇函数；对数列x1，xn1，求f(xn);求证()证明：令xy0，2f(0)f(0)，f(0)0令yx，则f(x)f(x

5、)f(0)0f(x)f(x)0 f(x)f(x)f(x)为奇函数 ()解：f(x1)f()1，f(xn1)f()f()f(xn)f(xn)2f(xn)2即f(xn)是以1为首项，2为公比的等比数列f(xn)2n1()解：而 5.已知函数，满足：对任意都有；（1）试证明：为N上的单调增函数；（2），且，求证：；（3）若，对任意,有，证明：.证明：（1）由知，对任意，都有，由于，从而，所以函数为上的单调增函数. （2）由（1）可知都有f(n+1)>f(n),则有f(n+1)f(n)+1 f(n+1)-f(n), f(n)-f(n-1) f(2)-f(1)f(1)-f(0)由此可得f(n)-f

6、(0)n f(n)n+1命题得证 （3）（3）由任意,有得 由f(0)=1得m=0 则f(n+1)=f(n)+1,则f(n)=n+1 6.已知函数的定义域为，且同时满足：(1)对任意，总有；(2)(3)若且，则有.(I)求的值；(II)求的最大值；(III)设数列的前项和为，且满足.求证：.解：（I）令，由(3),则由对任意，总有 （II）任意且，则(III)，即。 故即原式成立。 7. 对于定义域为的函数，如果同时满足以下三条：对任意的，总有；若，都有成立，则称函数为理想函数(1) 若函数为理想函数，求的值；(2)判断函数是否为理想函数，并予以证明；(3) 若函数为理想函数，假定，使得，且，

7、求证解：（1）取可得又由条件，故（2）显然在0，1满足条件；-也满足条件 若，则 ，即满足条件， 故理想函数 （3）由条件知，任给、0，1，当时，由知0，1，若，则，前后矛盾；若，则，前后矛盾故 8. 已知定义在R上的单调函数,存在实数,使得对于任意实数,总有恒成立。()求的值；()若,且对任意正整数,有, ,求数列an的通项公式； ()若数列bn满足，将数列bn的项重新组合成新数列，具体法则如下：，求证：。解：()令，得，令，得，由、得，又因为为单调函数，()由（1）得，()由Cn的构成法则可知，Cn应等于bn中的n项之和，其第一项的项数为1+2+(n1)+1=+1，即这一项为2×

8、+11=n(n1)+1Cn=n(n1)+1+n(n1)+3+n(n1)+2n1=n2(n1)+=n3 当时，解法2：9.设函数是定义域在上的单调函数，且对于任意正数有，已知.（1）求的值；（2）一个各项均为正数的数列满足：，其中是数列的前n项的和，求数列的通项公式；（3）在（2）的条件下，是否存在正数，使对一切成立？若存在，求出M的取值范围；若不存在，说明理由.解：（1），令，有，.再令，有， （2）,又是定义域上单调函数， 当时，由，得，当时， 由，得，化简，得，即，数列为等差数列. ，公差.，故. （3），令=,而. =， ，数列为单调递增函数，由题意恒成立，则只需=， ，存在正数，使所给

9、定的不等式恒成立，的取值范围为.10.定义在R上的函数f（x）满足，且时，f（x）<0。（1）设，求数列的前n项和；（2）判断f（x）的单调性，并证明。解：（1）令x=n，y=1，则所以，故数列是首项为1，公差为2的等差数列。因此，（2）设，且，则所以 于是又所以，而函数f（x）在R上是减函数。11. 设函数f（x）定义在R上，对于任意实数m、n，恒有，且当x>0时，0<f（x）<1。（1）求证：f（0）=1，且当x<0时，f（x）>1；（2）求证：f（x）在R上单调递减；（3）设集合，若，求a的取值范围。解：（1）令m=1，n=0，得f（1）= f（1）&

10、#183;f（0）又当x>0时，0< f（x）<1，所以f（0）=1设x<0，则x>0令m=x，n=x，则f（0）= f（x）·f（x）所以f（x）·f（x）=1又0< f（x）<1，所以（2）设，且，则所以从而又由已知条件及（1）的结论知f（x）>0恒成立所以所以所以f（x2）< f（x1），故f（x）在R上是单调递减的。（3）由得：因为f（x）在R上单调递减所以，即A表示圆的内部由f（axy+2）=1= f（0）得：axy+2=0所以B表示直线axy+2=0所以，所以直线与圆相切或相离，即解得：12.定义在R上的函数

11、f（x）对任意实数a、b都有f（a+b）+ f（ab）=2 f（a）·f（b）成立，且。（1）求f（0）的值；（2）试判断f（x）的奇偶性；（3）若存在常数c>0使，试问f（x）是否为周期函数？若是，指出它的一个周期；若不是，请说明理由。解：（1）令a=b=0则f（0）+ f（0）=2 f（0）·f（0）所以2 f（0）·f（0）1=0又因为，所以f（0）=1（2）令a=0，b=x，则f（x）+ f（x）=2 f（0）·f（x）由f（0）=1可得f（x）= f（x）所以f（x）是R上的偶函数。（3）令，则因为所以f（x+c）+ f（x）=0所以f（

12、x+c）= f（x）所以f（x+2c）= f（x+c）= f（x）= f（x）所以f（x）是以2c为周期的周期函数。13.已知函数f（x）的定义域关于原点对称，且满足：（1）（2）存在正常数a，使f（a）=1求证：（1）f（x）是奇函数；（2）f（x）是周期函数，并且有一个周期为4a证明：（1）设，则所以函数f（x）是奇函数。（2）令，则即解得：f（2a）=0所以所以因此，函数f（x）是周期函数，并且有一个周期为4a。14.已知对一切，满足，且当时，求证：（1）时，（2）在R上为减函数。 证明：对一切有。 且，令，得， 现设，则， 而 ， 设且， 则 ， 即为减函数。15.已知函数是定义在上的

13、减函数，且对一切实数x，不等式恒成立，求k的值。 分析：由单调性，脱去函数记号，得 由题意知(1)(2)两式对一切恒成立，则有16.设定义在上的函数对于任意都有成立，且，当时，。（1）判断f(x)的奇偶性，并加以证明；（2）试问：当-20032003时，是否有最值？如果有，求出最值；如果没有，说明理由；（3）解关于的不等式，其中.分析与解：令x=y=0，可得f(0)=0令y=-x，则f(0)=f(x)+f(x)，f(x)= f(x)，f(x)为奇函数设3x1x23，y=x1，x=x2则f(x2x1)=f(x2)+f(x1)=f(x2)f(x1)，因为x0时，f(x)0，故f(x2x1)0，即f

14、(x2)f(x1)0。f(x2)f(x1)、f(x)在区间2003、2003上单调递减x=2003时，f(x)有最大值f(2003)=f(2003)=f(2002+1)=f(2002)+f(1)=f(2001)+f(1)+f(1)=2003f(1)=4006。x=2003时，f(x)有最小值为f(2003)= 4006。由原不等式，得f(bx2) f(b2x)f(x) f(b)。即f(bx2)+f(b2x)2f(x)+f(b)f(bx2b2x)2 f(xb)，即fbx(xb)f(xb)+f(xb)fbx(xb)f2 f(xb)由f(x)在xR上单调递减，所以bx(xb)2(xb)，(xb)(b

15、x2) 0b22, b或b当b时，b，不等式的解集为当b时，b，不等式的解集为当b=时，不等式的解集为当b=时，不等式解集为17.已知定义在上的函数满足：（1）值域为，且当时，；（2）对于定义域内任意的实数，均满足：试回答下列问题：（）试求的值；（）判断并证明函数的单调性；（）若函数存在反函数，求证：分析与解：（）在中，令，则有即：也即：由于函数的值域为，所以，所以（）函数的单调性必然涉及到，于是，由已知，我们可以联想到：是否有？（）这个问题实际上是：是否成立？为此，我们首先考虑函数的奇偶性，也即的关系由于，所以，在中，令，得所以，函数为奇函数故（）式成立所以，任取，且，则，故且所以，所以，函

16、数在R上单调递减（）由于函数在R上单调递减，所以，函数必存在反函数，由原函数与反函数的关系可知：也为奇函数；在上单调递减；且当时，为了证明本题，需要考虑的关系式在（）式的两端，同时用作用，得：，令，则，则上式可改写为：不难验证：对于任意的，上式都成立（根据一一对应）这样，我们就得到了的关系式这个式子给我们以提示：即可以将写成的形式，则可通过裂项相消的方法化简求证式的左端事实上，由于，所以，所以，点评：一般来说，涉及函数奇偶性的问题，首先应该确定的值18.已知函数f（x）对任意实数x、y都有f（xy）f（x）·f（y），且f（1）1，f（27）9，当时，。（1）判断f（x）的奇偶性；（

17、2）判断f（x）在0，）上的单调性，并给出证明；（3）若，求a的取值范围。分析：由题设可知f（x）是幂函数的抽象函数，从而可猜想f（x）是偶函数，且在0，）上是增函数。解：（1）令y1，则f（x）f（x）·f（1），f（1）1，f（x）f（x），f（x）为偶函数。（2）设，时，f（x1）f（x2），故f（x）在0，）上是增函数。（3）f（27）9，又，又，故。19.设函数的定义域为全体R，当x<0时，且对任意的实数x，yR，有成立，数列满足，且（nN*）   （）求证：是R上的减函数；   （）求数列的通项公式；  

18、（）若不等式对一切nN*均成立，求k的最大值解析：（）令，得，由题意知，所以，故    当时，进而得       设且，则，即，所以是R上的减函数       （）由 得  ，所以因为是R上的减函数，所以， 即， 进而，所以是以1为首项，2为公差的等差数列所以，            所以 

19、0;                                 （）由对一切nN*均成立知对一切nN*均成立    设，知且   又故为关于n的单调增函数，所以，k的最大值为  20.函数f(x

20、)的定义域为D , 满足: 对于任意，都有，且f(2)=1.(1)求f(4)的值；(2)如果上是单调增函数，求x的取值范围. (1) (2) 321 因为上是增函数，所以21.函数的定义域为R，并满足以下条件：对任意，有；对任意、，有； 则（1）求的值； （2）求证：在R上是单调增函数； （3）若，求证：9.解：解法一：（1）令，得：（2）任取、，且. 设则在R上是单调增函 （3）由（1）（2）知 而 解法二：（1）对任意x、yR，有 1分 当时 任意xR， 3分 （2）是R上单调增函数 即是R上单调增函数；（3）而22. 定义在区间（0，）上的函f(x)满足：（1）f(x)不恒为零

21、；（2）对任何实数x、q,都有.（1）求证：方程f(x)=0有且只有一个实根；（2）若a>b>c>1,且a、b、c成等差数列，求证：；（3）（本小题只理科做）若f(x) 单调递增，且m>n>0时，有，求证：解：(1)取x=1,q=2,有若存在另一个实根，使得（2），则0，又a+c=2b,ac-b=即ac<b(3)又令m=b,n=,b且q则f(m)+f(n)=(qf(b)=f(mn)=0且即4m=,由0<n<1得，23. 设是定义域在上的奇函数，且其图象上任意两点连线的斜率均小于零.（l）求证在上是减函数；（ll）如果，的定义域的交集为空集，求实数

22、的取值范围；（lll）证明若，则，存在公共的定义域，并求这个公共的空义域.解：（1）奇函数的图像上任意两点连线的斜率均为负 对于任意且有从而与异号在上是减函数（2） 的定义域为 的定义域为 上述两个定义域的交集为空集 则有： 或解得：或故c的取值范围为或（3） 恒成立 由(2)知：当时 当或时且 此时的交集为当 且 此时的交集为故时，存在公共定义域，且当或时，公共定义域为；当时，公共定义域为.24已知函数f(x)= ,且f(x),g(x)定义域都是R,且g(x)>0, g(1) =2,g(x) 是增函数. g(m) · g(n)= g(m+n)(m、nR) 求证： f(x)是R

23、上的增函数解:设x1>x2 g(x)是R上的增函数, 且g(x)>0 g(x1) > g(x2) >0 g(x1)+1 > g(x2)+1 >0 > >0 - >0 f(x1)- f(x2)=- =1-(1-) =->0 f(x1) >f(x2) f(x)是R上的增函数25.定义在R+上的函数f(x)满足: 对任意实数m,f(xm)=mf(x); f(2)=1.(1)求证:f(xy)=f(x)+f(y)对任意正数x,y都成立;(2)证明f(x)是R+上的单调增函数;(3)若f(x)+f(x-3)2,求x 的取值范围.解:(1)令

24、x=2m,y=2n,其中m,n为实数,则f(xy)=f(2m+n)=(m+n)f(2)=m+n.又f(x)+f(y)=f(2m)+f(2n)=mf(2)+nf(2)=m+n,所以f(xy)=f(x)+f(y)故f(x1)<f(x2),即f(x)是R+上的增函数.(3)由f(x)+f(x-3)2及f(x)的性质,得fx(x-3)2f(2)=f(2)解得 3<x4.26.已知f(x)是定义在R上的函数，f(1)=1,且对任意xR都有f(x+5)f(x)+5,f(x+1)f(x)+1.若g(x)=f(x)+1-x,求g(2002)解:由g(x)=f(x)+1-x,得f(x)=g(x)+x

25、-1.所以g(x+5)+(x+5)-1g(x)+(x-1)+5,g(x+1)+(x+1)-1g(x)+(x-1)+1即 g(x+5)g(x), g(x+1)g(x).所以g(x)g(x+5)g(x+4)g(x+3)g(x+2)g(x+1),故g(x)=g(x+1)又g(1)=1,故g(2002)=1.27.设定义在R上的函数f(x),满足当x>0时,f(x)>1,且对任意x,yR,有f(x+y)=f(x)f(y),f(1)=2解:(1)先证f(x)>0,且单调递增，因为f(x)=f(x+0)=f(x)f(0),x>0时f(x)>1,所以f(0)=1.f(x)=f(

26、x-xo)+xo=f(x-xo)f(xo)=0,与已知矛盾，故f(x)>0任取x1,x2R且x1<x2,则x2-x1>0,f(x2-x1)>1,所以f(x1)-f(x2)=f(x2-x1)+x1-f(x1)=f(x2-x1)f(x1)-f(x1)=f(x1)f(x2-x1)-1>0.所以xR时,f(x)为增函数. 解得:x|1<x<2(2)f(1)=2,f(2)=2,f(3)=8,原方程可化为:f(x)2+4f(x)-5=0,解得f(x)=1或f(x)=-5（舍)由(1)得x=0.28.定义域为R的函数f(x)满足：对于任意的实数x，y都有f(x+y)

27、=f(x)+f(y)成立，且当x0时f(x)0恒成立.(1)判断函数f(x)的奇偶性，并证明你的结论；(2)证明f(x)为减函数；若函数f(x)在-3，3）上总有f(x)6成立，试确定f(1)应满足的条件；解:（1）由已知对于任意xR，yR，f（x+y）=f（x）+ f（y）恒成立令x=y=0，得f（0+0）= f（0）+ f（0），f（0）=0令x=-y，得f(x-x)= f(x)+ f(-x)=0对于任意x，都有f(-x)= - f(x)f(x)是奇函数.（2）设任意x1，x2R且x1x2，则x2-x10，由已知f（x2-x1）0（1）又f（x2-x1）= f（x2）+ f（-x1）= f

28、（x2）- f（x1）（2）由（1）（2）得f(x1)f(x2),根据函数单调性的定义知f(x0在(-，+)上是减函数.f(x)在-3，3上的最大值为f(-3).要使f(x)6恒成立，当且仅当f(-3)6，又f（-3）= - f（3）= - f（2+1）=- f（2）+ f（1）= - f（1）+ f（1）+ f（1）= -3 f（1），f（1）-2.（3） f（ax2）- f（x） f（a2x）- f（a）f（ax2）- f（a2x）nf（x）- f（a）f（ax2-a2x）nf（x-a）（10分）由已知得：fn（x-a）=nf（x-a）f（ax2-a2x）fn（x-a）f（x）在（-，+）

29、上是减函数ax2-a2xn（x-a）.即（x-a）（ax-n）0，a0，（x-a）（x-）0，（11分）讨论：（1）当a0，即a-时，原不等式解集为x | x或xa；（2）当a=0即a=-时，原不等式的解集为；（3）当a0时，即-a0时，原不等式的解集为x | xa或x29.已知是定义在R上的不恒为零的函数，且对于任意的都满足：（）求的值；（）判断的奇偶性，并证明你的结论；（）若，求数列的前项的和解：（）取a=b=0得f(0)=0,取a=b=1得f(1)=0, （）取a=b=-1得f(1)=-2f(-1),所以f(-1)=0, 取a=x,b=-1得f(-x)=-f(x)+xf(-1)=-f(x), 所以f(x)是奇函数； （）30（2005年广东省高考试题）设函数在上满足，且在闭区间0，7上，只有（）试判断函数的奇偶性；（）试求方程=0在闭区间-2005，2005上的根的个数，并证明你的结论解:由f(2-x)=f(2+x),f(7-x)=f(7+x)得函数的对称轴为,从而知函数不是奇函数,由,从而知函数的周期为又,故函数是非奇非偶函数;(II)由(II) 又故f(x)在0,10和-10,0上均有有两个解,从而可