全国中学生物理竞赛22：电磁感应面面观

1、全国中学生物理竞赛22：电磁感应面面观 动生电动势与感生电动势动生电动势与感生电动势BqvlBlvq Bv-动生电动势动生电动势+FEBEq lElq 感生电动势感生电动势BStt .B SEtl 如图所示，一长直导线中通有电流如图所示，一长直导线中通有电流I10 A，有一长，有一长l0.2 m 的金属棒的金属棒AB，以，以v2 m/s的速度平行于长直导线做匀速运动，若棒的近导线的的速度平行于长直导线做匀速运动，若棒的近导线的一端与导线距离一端与导线距离a0.1 m，求金属棒，求金属棒AB中的动生电动势中的动生电动势 解解: :I直线电流磁场分布有直线电流磁场分布有02BIr 距直线电流距直线

2、电流ri处元动生电动势处元动生电动势v 012iiiiI rrvr 设棒中总动生电动势为设棒中总动生电动势为,1021iirrnvI 102limlim 1nninnirrnvI ri02nvIalea 0ln2Ivala 012iiiI rrvrn 解解: :通电螺线圈内磁场分布有通电螺线圈内磁场分布有0BnI 圆盘产生转动动生电动势圆盘产生转动动生电动势 20012BnIr 电流表读数电流表读数: 2002BnIrIR 由由20202r BIRn r IO202Rnr 00Bn 如图所示是单极发电机示意图，金属圆盘半径为如图所示是单极发电机示意图，金属圆盘半径为r，可以无，可以无摩擦地在一

3、个长直螺线圈中，绕一根沿螺线圈对称轴放置的导电杆转动，线圈导摩擦地在一个长直螺线圈中，绕一根沿螺线圈对称轴放置的导电杆转动，线圈导线的一端连接到圆盘的边缘，另一端连接到杆上，线圈的电阻为线的一端连接到圆盘的边缘，另一端连接到杆上，线圈的电阻为R，单位长度有，单位长度有n匝，它被恰当地放置而使它的对称轴和地球磁场矢量匝，它被恰当地放置而使它的对称轴和地球磁场矢量B0平行，若圆盘以角速度平行，若圆盘以角速度转动，那么流过图中电流表的电流为多少？转动，那么流过图中电流表的电流为多少？ AB0B0Oa0nI 0nI 返回返回 在磁感应强度为在磁感应强度为B，水平方向的均匀磁场内，有，水平方向的均匀磁场

4、内，有一个细金属丝环以速度做无滑动的滚动，如图所示环上有长度为一个细金属丝环以速度做无滑动的滚动，如图所示环上有长度为l的很小的缺口，磁场方向垂直于环面求当角的很小的缺口，磁场方向垂直于环面求当角AOC为为时环上产生的时环上产生的感应电动势感应电动势 .解解: :开口的细金属丝环在滚动过程开口的细金属丝环在滚动过程“切割切割”磁感线而产生动生电动势磁感线而产生动生电动势. .如图如图: :v v sinBlv AOC0tanln2BCIvdld 解解: :无限长直线电流周围磁感应强度的分布规律为无限长直线电流周围磁感应强度的分布规律为 Ivd02BIr 直角三角形线圈直角三角形线圈ABC的的A

5、B边在距直线电流边在距直线电流d时的动生电动势为时的动生电动势为 01tatan2ndB vlIvld lAC直角三角形线圈的直角三角形线圈的BC边各段处在不同磁场边各段处在不同磁场,取第取第i段段:有效切割长度有效切割长度: 1taniirr 1tanBCiiiBrr vn 则则 10tan2iiBCirrIvrn 02tanBCIvdled 12 0tanln2Ivdlldd fB 如图所示，在电流为如图所示，在电流为I的无限长直导线外有与它共面的直角的无限长直导线外有与它共面的直角三角形线圈三角形线圈ABC，其中，其中AB边与电流平行，边与电流平行，AC边长边长l，BCA=，线圈以速度，

6、线圈以速度v向右向右做匀速运动，求当线圈与直线电流相距做匀速运动，求当线圈与直线电流相距d时，线圈中的动生电动势时，线圈中的动生电动势.B 如图所示，一根永久性圆磁棒，在它的磁极附近套上一环如图所示，一根永久性圆磁棒，在它的磁极附近套上一环形线圈，摆动线圈，使线圈沿轴做简谐运动，振幅形线圈，摆动线圈，使线圈沿轴做简谐运动，振幅A=1 mm（这比磁铁和线圈的尺（这比磁铁和线圈的尺寸小得多），频率寸小得多），频率f=1000 Hz于是，在线圈里产生感应电动势，其最大值于是，在线圈里产生感应电动势，其最大值m=5V，如果线圈不动，线圈通以电流如果线圈不动，线圈通以电流I=200 mA，求磁场对线圈的

7、作用力，求磁场对线圈的作用力 .解解: :设线圈所在处磁场辐向分量为设线圈所在处磁场辐向分量为Bx，线圈摆动时，线圈摆动时“切割切割”Bx而而产生动生电动势，线圈简谐运产生动生电动势，线圈简谐运动最大速度动最大速度:此时有最大电动势：此时有最大电动势：max2vfA max2xfAB L max2xLBfA 线圈通电时受所在处磁场辐向分量线圈通电时受所在处磁场辐向分量Bx安培力安培力:xFB LI max2LIfAL N N30.2523.14 1000 10 N N0.16 返回返回 一个一个“扭转扭转”的环状带子（称为莫比乌斯带）是由长度为的环状带子（称为莫比乌斯带）是由长度为L，宽，宽度

8、为度为d的纸条制成一根导线沿纸带的边缘了一圈，并连接到一个电压表上，如图的纸条制成一根导线沿纸带的边缘了一圈，并连接到一个电压表上，如图所示当把绕在纸带上的导线圈放入一个均匀的垂直于纸带环所在面的磁场中，所示当把绕在纸带上的导线圈放入一个均匀的垂直于纸带环所在面的磁场中，且磁场随时间均匀变化，即且磁场随时间均匀变化，即 ，电压表记录的数据为多少？，电压表记录的数据为多少？ 解解1 1: :磁场随时间均匀变化磁场随时间均匀变化Bkt 变化的磁场引起感生电场变化的磁场引起感生电场: :22LSEkkLL 电压表读数电压表读数:2EL 由由4Lk 22kL 2解解 : :由法拉弟电磁感应定律由法拉弟

9、电磁感应定律,每个每个线圈中的电动势为线圈中的电动势为:2EL 由由202Lk Sk 24Lk 22kL B tkt 解解: : 一个长的螺线管包括了另一个同轴的螺线管，它的半径一个长的螺线管包括了另一个同轴的螺线管，它的半径R是外是外面螺线管半径的一半，两螺线管单位长度具有相同的圈数，且初时都没有电面螺线管半径的一半，两螺线管单位长度具有相同的圈数，且初时都没有电流在同一瞬时，电流开始在两个螺线管中线性地增长，任意时刻，通过里边螺流在同一瞬时，电流开始在两个螺线管中线性地增长，任意时刻，通过里边螺线管的电流为外边螺线管中电流的两倍且方向相同，由于增长的电流，一个处于线管的电流为外边螺线管中电

10、流的两倍且方向相同，由于增长的电流，一个处于两个螺线管之间初始静止的带电粒子开始沿一条同心圆轨道运动，如图所示，求两个螺线管之间初始静止的带电粒子开始沿一条同心圆轨道运动，如图所示，求该圆轨道半径该圆轨道半径r.变化电流在螺线管上产生变化的匀强变化电流在螺线管上产生变化的匀强磁场，变化的磁场产生感生电场。带磁场，变化的磁场产生感生电场。带电粒子在磁场及感生电场中受洛伦兹电粒子在磁场及感生电场中受洛伦兹力与电场力；在向心力与速度相适配力与电场力；在向心力与速度相适配的确定轨道做圆周运动的确定轨道做圆周运动.r10BnI rE202BnI 粒子绕行一周时间设为粒子绕行一周时间设为T,则则20022

11、2rnInIrRETTr由动量定理，感生电场使静止粒子获得速度：由动量定理，感生电场使静止粒子获得速度：rqETmv 粒子运动的一个动力学方程为：粒子运动的一个动力学方程为：21vqB vmr 220022nIrRqTrTqnIr 2rR 2200222RnIRn I R 200224222nI RBnIRR 12B RBBS EeEFm222BRB REtRt 由动量定理，感生电场使电子增加速度由动量定理，感生电场使电子增加速度v为：为：eEtm v 当电子速度为当电子速度为v 时时,有：有：20vevBmR 0mvBeR 0BmvteRt 0BmeEteRm 2B RR t 02BB 返回

12、返回轨道所在处的磁场磁感应强度为轨轨道所在处的磁场磁感应强度为轨道内磁场平均磁感应强度的一半道内磁场平均磁感应强度的一半! ! 在半径为在半径为R的圆柱形体积内充满磁感应强度为的圆柱形体积内充满磁感应强度为B的均匀磁场有一的均匀磁场有一长为长为l的金属棒放在磁场中，如图所示，设磁场在增强，其变化率为的金属棒放在磁场中，如图所示，设磁场在增强，其变化率为k求棒中求棒中的感生电动势，并指出哪端电势高；的感生电动势，并指出哪端电势高；如棒的一半在磁场外，其结果又如何？如棒的一半在磁场外，其结果又如何？ 解解: :回路中的感生电动势回路中的感生电动势BBSt 感感O22122lklR 感感2244kl

13、Rl 棒一半在磁场外时棒一半在磁场外时22212 22llkRR 感感1122222tantan44llRlRl 其其中中22211222242tantan8244lRlRllkRlRl 右端电势高右端电势高 一个很长的直螺线管半径为一个很长的直螺线管半径为R，因线圈通过交流电而在线圈内，因线圈通过交流电而在线圈内引起均匀的交变磁场引起均匀的交变磁场B=B0sint，求螺线管内、外感生电场，求螺线管内、外感生电场E的分布规律的分布规律. 解解: :把螺线管理想化为无限长通电直把螺线管理想化为无限长通电直螺线管，其磁场均匀且只分布在螺线管，其磁场均匀且只分布在管内由于磁场按正弦规律变化，管内由于

14、磁场按正弦规律变化，必会引起感生电场必会引起感生电场.BO在管内在管内,距轴心距轴心r处处 2.22BrB rEtrt 其中其中 00sinsinlimtttBtttB 00cossin2lim2ttttBt 0cosBt 0cos2rBtE 內內在管外在管外,距轴心距轴心r处处 22.22BRB REtrtr 20cos2RBEtr 外外 自感电动势自感电动势NtILt 自自自感系数自感系数电感电感线圈面积线圈面积单位长度匝数单位长度匝数总匝数总匝数有无铁芯有无铁芯 自感线圈中的磁场能自感线圈中的磁场能产生自感电动势的过程是电源电流做功将电能转变成磁场产生自感电动势的过程是电源电流做功将电能

15、转变成磁场能的过程能的过程!,iIt Iin若若某某电源移送元电量为电源移送元电量为,Iitn 元功为元功为电流由电流由0增至增至I做的总功为做的总功为:1limnniIWitn 自自ILnt212mELI ,Iitn 自自解解: : 有一个有一个N匝的螺旋状弹簧如图所示，线圈半径为匝的螺旋状弹簧如图所示，线圈半径为R、弹簧自然长、弹簧自然长度为度为x0 (x0 R ) ，劲度系数为，劲度系数为k，当电流，当电流I0通过弹簧时，求弹簧的长度改变了多通过弹簧时，求弹簧的长度改变了多少？少？ 先计算螺线管的自感系数先计算螺线管的自感系数20nI RNNtt 自自由由I20INn Rt 20LNn

16、R 达到稳定时达到稳定时,磁通量不变磁通量不变:220000ttNNIRIRxx 00ttxIIx 220ttNRLx 由能量守恒由能量守恒: 22200 0111222tttk xxL IL I 2222000020ttNRk xxIxxx 20220020txRkxNIx 解解: :闭合开关稳定时闭合开关稳定时RESRrLrUrERr 这也是开关刚打开时电感的端电压！这也是开关刚打开时电感的端电压！开关打开过程，电源电流为开关打开过程，电源电流为0，通过，通过电表的是自感电流电表的是自感电流电感上电流从原来的电感上电流从原来的 0LEIRr 2qtr 自自2LItrt 2LEr Rr 开关

17、闭合过程，电源电流与自感电流叠加，通过电表的开关闭合过程，电源电流与自感电流叠加，通过电表的是自感电流是自感电流电感上电流从原来的电感上电流从原来的 0LEIRr 2qtr 自自2LItrt 2LEr Rr 如图所示电路，直流电源的电动势为如图所示电路，直流电源的电动势为E，内阻不计，两个电阻值，内阻不计，两个电阻值为为R，一个电阻值为，一个电阻值为r，电感的自感系数为，电感的自感系数为L，直流电阻值为，直流电阻值为r闭合开关闭合开关S，待电路，待电路电流稳定后，再打开开关电流稳定后，再打开开关S（电流计（电流计G内阻不计）内阻不计）打开开关时，电阻值为打开开关时，电阻值为r的电阻的电阻两端电

18、压为多少？两端电压为多少？ 打开开关后有多少电量通过电流计？打开开关后有多少电量通过电流计？ 闭合开关到电流稳闭合开关到电流稳定时，有多少电量通过电流计？定时，有多少电量通过电流计？ 电磁涡流制动器由一电阻为电磁涡流制动器由一电阻为、厚度为、厚度为的金属圆盘为主要部件，如的金属圆盘为主要部件，如图所示圆盘水平放置，能绕过中心图所示圆盘水平放置，能绕过中心O的竖直轴转动，在距中心的竖直轴转动，在距中心O为为r 处，一边长处，一边长为为a的正方形区域内有垂直于圆盘平面的匀强磁场，磁感应强度为的正方形区域内有垂直于圆盘平面的匀强磁场，磁感应强度为B，若，若r a，试，试写出圆盘所受的磁制动力矩与圆盘

19、转动角速度之间的关系式写出圆盘所受的磁制动力矩与圆盘转动角速度之间的关系式. 处在磁场中的小金属块电阻为：处在磁场中的小金属块电阻为：aRa 由法拉弟电磁感应定律，小金属块中的由法拉弟电磁感应定律，小金属块中的感应电动势为：感应电动势为：2B aEtt 小金属块中产生的感应电流（涡流）为：小金属块中产生的感应电流（涡流）为：2EB aIRt ,aBa rratIr 磁制动力矩：磁制动力矩：MBIa r解解: :222B a r 释放后棒在重力与安培力共同作用下做加速度减小的加速释放后棒在重力与安培力共同作用下做加速度减小的加速运动，由于线圈自感及棒的切割运动，产生与电源电动势相反运动，由于线圈

20、自感及棒的切割运动，产生与电源电动势相反的感应电动势，使通过的感应电动势，使通过ABAB棒的电流逐渐减小，当感应电动势与棒的电流逐渐减小，当感应电动势与电源电动势相等时，棒上无电流，棒加速度为电源电动势相等时，棒上无电流，棒加速度为g，此后感应电，此后感应电动势大于电源电动势，安培力与重力方向相反，当电流达到恒动势大于电源电动势，安培力与重力方向相反，当电流达到恒定，棒速度达到最大时，线圈自感电动势为零，通过电流定，棒速度达到最大时，线圈自感电动势为零，通过电流 mv lBEIRr mv lBEmglBRr 又又122.5mv m m/ /s s 如图，在竖直面内两平行导轨相距如图，在竖直面内

21、两平行导轨相距l1 m，且与一纯电感线圈，且与一纯电感线圈L、直流电源直流电源E（，r）、水平金属棒）、水平金属棒AB联为一闭合回路，开始时，金属棒静止，尔联为一闭合回路，开始时，金属棒静止，尔后无摩擦地自由下滑（不脱离轨道）设轨道足够长，其电阻可忽略，空间中磁后无摩擦地自由下滑（不脱离轨道）设轨道足够长，其电阻可忽略，空间中磁场场B的大小为的大小为0.4 T，其方向垂直于轨道平面，已知电源电动势为，其方向垂直于轨道平面，已知电源电动势为9 V，内电阻，内电阻r，金属棒质量，金属棒质量m1 kg，其电阻，其电阻R，线圈自感系数，线圈自感系数L12 H，试求金属棒下落，试求金属棒下落可达到的最大

22、速度可达到的最大速度 ELABl解解: :OBa解解: :空洞处视作变化率相同的两反空洞处视作变化率相同的两反向匀强磁场向匀强磁场Ba、Bb叠加叠加:aa1Er2k bb1Er2k abEEEA O raAEaEAEbrbdBb12AEkd 即即两变化磁场在空洞中两变化磁场在空洞中A处引起感生电处引起感生电场场Ea、Eb:sin60EL ab1rr2k 空腔内为一匀强电场！空腔内为一匀强电场！34kdL 一无限长圆柱，偏轴平行地挖出一个圆柱空间，两圆柱轴间距一无限长圆柱，偏轴平行地挖出一个圆柱空间，两圆柱轴间距离，图所示为垂直于轴的截面设两圆柱间存在均匀磁场，磁感应强度离，图所示为垂直于轴的截

23、面设两圆柱间存在均匀磁场，磁感应强度B随时间随时间t线性增长，即线性增长，即 B=kt 现在空腔中放一与现在空腔中放一与OO成成60角、长为角、长为L的金属杆的金属杆AB，求杆，求杆中的感生电动势中的感生电动势 感应电流电路计算感应电流电路计算0I 0IR 在半径为在半径为a的细长螺线管中，均匀磁场的磁感应强度随时间均的细长螺线管中，均匀磁场的磁感应强度随时间均匀增大，即匀增大，即B=B0+bt一均匀导线弯成等腰梯形闭合回路一均匀导线弯成等腰梯形闭合回路ABCDA，上底长为，上底长为a，下底长为下底长为2a，总电阻为，总电阻为R，放置如图所示：试求：，放置如图所示：试求：梯形各边上的感生电动势

24、，梯形各边上的感生电动势，及整个回路中的感生电动势；及整个回路中的感生电动势；B、C两点间的电势差两点间的电势差 解解: :梯形回路处于感生电场中梯形回路处于感生电场中0AB BOBACD0CD 21sin602ADba 234ba 2123BCba 26ba AB BCD2364ba 由全电路欧姆定律由全电路欧姆定律:由一段含源电路欧姆定律由一段含源电路欧姆定律:2256BCRbaUI 2310ba 2364baIR 两个同样的金属环半径为两个同样的金属环半径为R，质量为，质量为m ，放在均匀磁场中，磁，放在均匀磁场中，磁感应强度为感应强度为B0，其方向垂直于环面，如图所示两环接触点，其方向

25、垂直于环面，如图所示两环接触点A和和C有良好的电接触，有良好的电接触，角角=/3若突然撤去磁场，求每个环具有的速度构成环的这段导线的电阻为若突然撤去磁场，求每个环具有的速度构成环的这段导线的电阻为r，环的电感不计，在磁场消失时环的移动忽略不计，没有摩擦环的电感不计，在磁场消失时环的移动忽略不计，没有摩擦 解解: :磁场消失过程中磁场消失过程中, ,两环中产生的感应电流两环中产生的感应电流受磁场安培力冲量受磁场安培力冲量, ,因而获得动量因而获得动量. .B1O2O2B Rt 磁场消失的磁场消失的t时间内每环平均电动势时间内每环平均电动势由基尔霍夫定律由基尔霍夫定律212566B RrrIIt

26、2332BRt 223323BRrIt 21103310IBRt r 222332BRt rI 2I1I2F1F由动量定理由动量定理: 12FFtmv 218 3210BBRRmvr 239 310B Rvrm 如图所示，由均匀金属丝折成边长为如图所示，由均匀金属丝折成边长为l的等边三角形，总电阻的等边三角形，总电阻为为R，在磁感应强度为，在磁感应强度为B的均匀磁场中，以恒定角速度的均匀磁场中，以恒定角速度绕三角形的高绕三角形的高ac轴转动，轴转动，求线圈平面与求线圈平面与B平行时，金属框的总电动势及平行时，金属框的总电动势及ab、ac的电势差的电势差Uab、Uac 解解: :线圈平面与线圈平

27、面与B平行时，金属框的平行时，金属框的总电动势总电动势由由B21sin602BsBl 234B l 线圈等效电路如图线圈等效电路如图abcdbadc由一段含源电路欧姆定律由一段含源电路欧姆定律:32abRUI 2324B l IR I22acRUI 0 解解: :开关闭合后，电源电流通过开关闭合后，电源电流通过电路，达到稳定时，金属小电路，达到稳定时，金属小球在适当位置沿球面做匀速球在适当位置沿球面做匀速圆周运动圆周运动;杆绕球面球心转动杆绕球面球心转动产生与电源相反的电动势，产生与电源相反的电动势，回路中电流为零回路中电流为零 :B 221sin2B RE mgN2tansinmgmR co

28、sgR 221sin2cosgEBRR 代入数据代入数据:328EBRgR 1.68V 在轻的导电杆的一端固定一个金属小球，球保持与半径为在轻的导电杆的一端固定一个金属小球，球保持与半径为R1.0 m的导电球面接触杆的另一端固定在球心处，并且杆可以无摩擦地沿任何的导电球面接触杆的另一端固定在球心处，并且杆可以无摩擦地沿任何方向转动整个装置放在均匀磁场中，磁场方向竖直向上，磁感应强度方向转动整个装置放在均匀磁场中，磁场方向竖直向上，磁感应强度B1.0 T球面与杆的固定端通过导线、开关与电源相联，如图所示试描述当开关球面与杆的固定端通过导线、开关与电源相联，如图所示试描述当开关闭合后，杆如何运动？

29、如果杆与竖直线之间的夹角稳定在闭合后，杆如何运动？如果杆与竖直线之间的夹角稳定在60，求电源的，求电源的电动势电动势 BSRE 如图所示，无限长密绕螺线管半径为如图所示，无限长密绕螺线管半径为r，其中通有电流，在，其中通有电流，在螺线管内产生一均匀磁场螺线管内产生一均匀磁场B在螺线管外同轴套一粗细均匀的金属圆环，金属在螺线管外同轴套一粗细均匀的金属圆环，金属环由两个半环组成，环由两个半环组成，a、b为其分界面，半环的电阻分别为为其分界面，半环的电阻分别为R1和和R2，且，且R1R2，当螺线管中电流按当螺线管中电流按 均匀增大时，求均匀增大时，求a、b两处的电势差两处的电势差Uab 解解: :螺

30、线管内磁场变化规律为螺线管内磁场变化规律为0BBt 金属圆环所在处金属圆环所在处22Brrt 金属圆环等效电路如图金属圆环等效电路如图abDR1R22 b2 I由一段含源电路欧姆定律由一段含源电路欧姆定律:12abUI R 12IRR 212122RRrRR aOrb0IIt 解解: :设导线的线电阻率为设导线的线电阻率为,则两回路电阻则两回路电阻 :12MNMN112Rr 222Rr 两回路电动势大小两回路电动势大小 :2101Br 2202Br MR1NR2等效电路如图等效电路如图 :由一段含源电路欧姆定律由一段含源电路欧姆定律:11MNUIR 2201220111222BrrBrrrr

31、01 2Br r MR1NR222MNUIR 2201220221222BrrBrrrr 1201 212rrBr rrr 由绝缘均匀导线做成的闭合回路如图由绝缘均匀导线做成的闭合回路如图 所示弯成所示弯成字形，交叉字形，交叉处处M点在点在N点之上，回路点之上，回路1的半径为的半径为r1，回路，回路2的半径为的半径为r2，当磁感应强度按，当磁感应强度按B=B0t规规律穿入回路时，确定律穿入回路时，确定M与与N两点间电压；若将回路两点间电压；若将回路2向左翻折在回路向左翻折在回路1上，上，M与与N间间电压又是多少？电压又是多少？ 环形金属丝箍围在很长的直螺线管的中部，箍环形金属丝箍围在很长的直螺

32、线管的中部，箍的轴与螺线管的轴重合，如图所示箍由两部分组成，每部分的的轴与螺线管的轴重合，如图所示箍由两部分组成，每部分的电阻电阻R1、R2不同且未知三个有内阻的伏特表接到两部分接头处不同且未知三个有内阻的伏特表接到两部分接头处A点和点和B点，并且导体点，并且导体AV3B严格地沿箍的直径放置，而导体严格地沿箍的直径放置，而导体AV1B和和AV2B沿螺线管任意两个不同方位放置，交变电流通沿螺线管任意两个不同方位放置，交变电流通过螺线管，发现这时伏特表过螺线管，发现这时伏特表V3的读数的读数u05 V，伏特表，伏特表V1的读数的读数u110 V问伏特表问伏特表V2的读数是多少？螺线管外的磁场以及回

33、路电的读数是多少？螺线管外的磁场以及回路电感不计感不计 BR1V2AR2V1V3解解: :螺线管通交流电螺线管通交流电, ,感生电场的感生电场的方向可能为顺时针或逆时针方向可能为顺时针或逆时针顺时针时顺时针时V2ABR1R2V11110VRVUU 10V10VV3 5V132RVUU 52V 232RVUU 20RU 20VU 1302RVUU 152V 23220VRVUU 220VVU 逆时针时逆时针时BV2AR1R2V110VV3 5V10V 20V解解: :粒子过粒子过C点的速度决定所受洛伦兹点的速度决定所受洛伦兹力力,当洛伦兹力全部作向心力时当洛伦兹力全部作向心力时,粒粒子与轨道无作

34、用子与轨道无作用!xyOB1B2AECEAqvcB2A、C点间的电势差为点间的电势差为 230,1,24ACUkrnn 涡旋电场力做功使粒子动能增加：涡旋电场力做功使粒子动能增加：223142cqkrnmv C点动力学方程为：点动力学方程为：22cccmvqB v 2cab 而而 22342Bn mkbraq 如图所示，一椭圆形轨道，其方程为如图所示，一椭圆形轨道，其方程为 ，在中心处有，在中心处有一圆形区域，圆心在一圆形区域，圆心在O点，半径为点，半径为r，rb圆形区域中有一均匀磁场圆形区域中有一均匀磁场B1，方向垂，方向垂直纸面向里，直纸面向里，B1以变化率以变化率k均匀增大在圆形区域外另

35、有一匀强磁场均匀增大在圆形区域外另有一匀强磁场B2，方向与，方向与B1相同在初始时，相同在初始时，A点有一带正电点有一带正电q、质量为、质量为m的粒子，粒子只能在轨道上运动，的粒子，粒子只能在轨道上运动，把粒子由静止释放，若要其通过把粒子由静止释放，若要其通过C点时对轨道无作用力，求点时对轨道无作用力，求B2的大小的大小 222210 xyabab C 如图所示，半径为如图所示，半径为R的无限长圆柱形匀强磁场区域的磁感应强的无限长圆柱形匀强磁场区域的磁感应强度为度为B，方向竖直向上，半径为，方向竖直向上，半径为R的绝缘光滑细环水平放置，正好套住磁场的绝缘光滑细环水平放置，正好套住磁场区在细环上

36、串有一质量为区在细环上串有一质量为m、电量为、电量为q的带正电小珠的带正电小珠t时，磁场时，磁场B；0tT时，时，B随时间随时间t均匀增大；均匀增大；tT时，时，BB0；此后保持；此后保持B0不变试定量讨论不变试定量讨论tT时小珠的运动状态及小珠对圆环的径向正压力（小珠所受重力与圆环支持时小珠的运动状态及小珠对圆环的径向正压力（小珠所受重力与圆环支持力平衡）力平衡） 解解: :磁场均匀增大时有涡旋电磁场均匀增大时有涡旋电场场; ;磁场恒定时电场消失磁场恒定时电场消失! !B0有涡旋电场有涡旋电场时时,场强为场强为02BRqTmvT珠子受电场力而加速珠子受电场力而加速,由动量定理由动量定理:02

37、BRET 磁场稳定时珠子的速度为磁场稳定时珠子的速度为:02vB Rqm 珠子匀速圆周运动的动力学方程为珠子匀速圆周运动的动力学方程为:20vqB vFmR 0B Rqm qvB0F2220022Nq B RqB RmFmRm 2204q B Rm= =两类感应电流稳态电路两类感应电流稳态电路“电源电源”受有一恒定外力，初受有一恒定外力，初速度为零；回路初始态电流为零，速度为零；回路初始态电流为零，“电源电源”电动势为零电动势为零 B B“电源电源”不受外力（安培力除不受外力（安培力除外）外） ，具有初速度；回路初始态有，具有初速度；回路初始态有电流，电流，“电源电源”有电动势有电动势 mgR

38、B“电源电源”为受有一恒力的导体为受有一恒力的导体棒产生动生电动势棒产生动生电动势BLvmgBLR电流达到恒定时电流达到恒定时22mmgRvB L,棒匀速运动棒匀速运动,速度速度电流达到稳定的电流达到稳定的过程过程中中22B LmgvmaRBLxqR22B LagvmRmgIBLCB“电源电源”为受有一恒力为受有一恒力的导体棒产生动生电动势的导体棒产生动生电动势mg电流恒定电流恒定C BL vmgBLmat22mgamB L C,棒匀加速运动棒匀加速运动,加速度加速度mgmaIBL返回返回v0RB“电源电源” 动生电动势减动生电动势减小小BBLvFBLR电流为零时达到稳定态电流为零时达到稳定态

39、电流减为零的电流减为零的过程过程中中0BLxBLmvmvR220B LvvxmR22220BB LB LFvxRmR22220B LB LavxmRmR022mmv RxB L0B q Lmv 022mmv RxB L0mvqBLBCv0v“电源电源” 动生电动势恒动生电动势恒定定电流稳定电流稳定022mvvmCB L0BqLmvmvqC BLv 022CBLmvqB L Cm 解解: : 本题三个感应电流电路中本题三个感应电流电路中,“电源电源”均为受有恒定外力均为受有恒定外力（重力之（重力之“下滑下滑”分力）分力）的金属杆在匀强磁场中做切割运动产生动生电动势，的金属杆在匀强磁场中做切割运动

40、产生动生电动势，通过开关转换，构成纯电阻电路、纯电容电路及纯电感电路初始通过开关转换，构成纯电阻电路、纯电容电路及纯电感电路初始状态相同的三个电路，在不同的电路条件下，其暂态过程及稳定态状态相同的三个电路，在不同的电路条件下，其暂态过程及稳定态迥异。迥异。 S1 经加速度减小的加速过程，达到稳定态经加速度减小的加速过程，达到稳定态 sinmBLvmgBlR 2 2sinmvmgRB l S2 稳定态时电流恒定，导体棒做匀加速运动稳定态时电流恒定，导体棒做匀加速运动 sinC BL vmgBLmat 22sinmgmBCaL 如图所示，一个磁感应强度为如图所示，一个磁感应强度为B的均匀磁场，垂直

41、于一轨距为的均匀磁场，垂直于一轨距为l的导轨平面，轨道平面与水平面有的导轨平面，轨道平面与水平面有的倾角一根无摩擦的导体棒，质量为的倾角一根无摩擦的导体棒，质量为m，横跨在两根金属导轨上若开关依次接通横跨在两根金属导轨上若开关依次接通1、2 、3 ，使阻值为，使阻值为R（其余电阻均（其余电阻均不计）、电容为不计）、电容为C或电感为或电感为L L的元件与棒构成电路，当从静止放开导体棒后，的元件与棒构成电路，当从静止放开导体棒后，求棒的稳定运动状态求棒的稳定运动状态 BR12C lL3S3 iILBlvt sing BBI 线圈产生自感电动势线圈产生自感电动势Lsing iBlIvtL BlsL0

42、0tI时BlIsL导体棒的运动方程为导体棒的运动方程为ivsinmg BIl2 2sinB lmgsmaL 取下滑取下滑02 2sinmgLsB l 加速度为零的平衡位置为坐标原点加速度为零的平衡位置为坐标原点2 22 2sinsinB lmgLmaFmgxLB l 0 x0s2 2B lxL 纯电感电路无稳定状态，导体棒和电流均做周期性变化纯电感电路无稳定状态，导体棒和电流均做周期性变化 2 22mLTB l 振动方程为振动方程为2222sincosLmgl BxtLml B 解解: :右棒以初速度右棒以初速度v0平行导轨运动时产生电动势平行导轨运动时产生电动势: :E=Blv0,此后左此后

43、左棒开始加速棒开始加速, ,右棒则减速，至两棒速度相同即达到稳定态右棒则减速，至两棒速度相同即达到稳定态; ;Bl对两棒由动量守恒：对两棒由动量守恒： 012iimvmvmv 12iiB vvl 设右棒经时间设右棒经时间t达稳态，元过程达稳态，元过程0122vvv 过程中两棒产生的动生电动势互为反电动势，则：过程中两棒产生的动生电动势互为反电动势，则： tnn 122iiilB vvvlBmRt 中运动方程为中运动方程为 221022iiivvl BtvvRm 111iivv 102ivv 22100212iivvl B tvvRmn 220112l BtRmvve 右棒速度公式为右棒速度公式

44、为 左棒速度公式为左棒速度公式为 220212l BtRmvve 如图所示，在与匀强磁场区域垂直的水平面上有两根足够长如图所示，在与匀强磁场区域垂直的水平面上有两根足够长的平行导轨，在它们上面放着两根平行导体棒，每根长度均为的平行导轨，在它们上面放着两根平行导体棒，每根长度均为l、质量均为、质量均为m、电阻均为电阻均为R，其余部分电阻不计导体棒可在导轨上无摩擦地滑动，开始时左，其余部分电阻不计导体棒可在导轨上无摩擦地滑动，开始时左棒静止，右棒获得向右的初速度棒静止，右棒获得向右的初速度v0试求试求右导体棒运动速度右导体棒运动速度v1随时间随时间t的变化；的变化；通过两棒的电量；通过两棒的电量；

45、两棒间距离增量的上限两棒间距离增量的上限 通过两棒的电量相同，对任一棒运用动量定理导出式：通过两棒的电量相同，对任一棒运用动量定理导出式：02vBqlm 02qmvBl 设两棒间距离的最大增量为设两棒间距离的最大增量为x：22B lxqItttRR 02mvBl 02 2mv RBxl 半径为半径为R的金属丝圆环，有一个沿直径方向放置的金属跨接线，的金属丝圆环，有一个沿直径方向放置的金属跨接线，左、右两半圆上分别接上电容器左、右两半圆上分别接上电容器C1和和C2，如图所示将环放置在磁感应强度随时，如图所示将环放置在磁感应强度随时间而线性增大的磁场中，间而线性增大的磁场中， ，磁场方向垂直于环面

46、某一时刻撤去跨接线，磁场方向垂直于环面某一时刻撤去跨接线，接着磁场停止变化，求每个电容器上带的电量接着磁场停止变化，求每个电容器上带的电量 解解: :金属跨接线两端电压即原来各电容金属跨接线两端电压即原来各电容器电压器电压, ,亦即环上感生电动势的一半亦即环上感生电动势的一半: :1C2C - -2022BRTU 撤去跨接线并停止磁场变化撤去跨接线并停止磁场变化, ,两电容器相互两电容器相互充、放电直至平衡充、放电直至平衡: : 20112222BRCQCCCT 211201212CCCBRCCQT 221201222CCCBRCCQT 0B tB tT SbaBl10QCU 2mQv lBC

47、 0mmCUv lBClBtmvt 022maxlBCUmlCvB 2201212mmvCU 电容器上原电量为电容器上原电量为当棒的速度达最大时电容器电量当棒的速度达最大时电容器电量设此过程历时设此过程历时t,由动量定理由动量定理: 22222ml B Cml B C 22222142ml B Cml B C解解: : 如图所示为一如图所示为一“电磁枪电磁枪”，它有一轨距为，它有一轨距为l、电阻可以忽略的、电阻可以忽略的水平导轨，导轨另一端与一个电容为水平导轨，导轨另一端与一个电容为C、所充电压为、所充电压为U0的电容器相连接，该装置的电容器相连接，该装置的电感可以忽略，整个装置放入均匀的竖直的磁感应强度为的电感可以忽略，整个装置放入均匀的竖直的磁感应强度为B的磁场中，一根无的磁场中，一根无摩擦的质量为摩擦的质量为m、电阻为、电阻为R的导体棒垂直于轨道放在导轨上，将开关翻转到的导体棒垂直于轨道放在导轨上，将开关翻转到b，求，求导体棒获得的最大速度导