《选修11：抛物线的标准方程和几何性质》教案

1、.适用学科高中数学适用年级高二适用区域苏教版区域课时时长（分钟）2课时知识点抛物线的标准方程和几何性质教学目标1.掌握抛物线的标准方程，会求抛物线的标准方程(重点)2掌握抛物线的标准方程和几何性质(重点)教学重点1抛物线标准方程与定义的应用(难点)2会用抛物线的几何性质处理简单问题(难点)教学难点1抛物线标准方程、准线、焦点的应用(易错点)2直线与抛物线的公共点问题(易错点)【教学建议】本节课是在学习了椭圆和双曲线之后，学生在学习方法上已经有了一定的经验，所以教师可以让学生尝试自主学习，探究抛物线的定义和方程的推导过程。自己来总结几何性质。【知识导图】教学过程一、导入1.教材整理抛物线的标准方

2、程2.教材整理1抛物线的几何性质阅读教材P52表格的部分，完成下列问题.3. 抛物线标准方程的推导4. P的几何意义二、知识讲解考点1 抛物线的标准方程和几何性质类型y22px(p>0)y22px(p>0)x22py (p>0)x22py(p>0)图象性质焦点准线xxyy范围x0，yRx0，yRxR，y0xR，y0对称轴x轴y轴顶点O(0,0)离心率e1开口方向向右向左向上向下考点2 抛物线的焦点弦阅读教材P52例1上面的部分，完成下列问题抛物线的焦点弦即为过焦点的直线与抛物线所成的相交弦弦长公式为，在所有的焦点弦中以垂直于对称轴的焦点弦的弦长最短，称为抛物线的通径三

3、、例题精析类型一 求抛物线的焦点及准线例题1(1)抛物线的焦点坐标是_准线方程是_(2)若抛物线的方程为，则抛物线的焦点坐标为_，准线方程为_【解析】(1)抛物线2y23x0的标准方程是y2x，2p，p，焦点坐标是，准线方程是x.(2)抛物线方程yax2(a0)化为标准形式：x2y，当a>0时，则2p，解得p，焦点坐标是，准线方程是y.当a<0时，则2p，.焦点坐标是，准线方程是y，综上，焦点坐标是，准线方程是y.【答案】(1)x；(2)y求抛物线的焦点及准线步骤1把解析式化为抛物线标准方程形式2明确抛物线开口方向3求出抛物线标准方程中p的值4写出抛物线的焦点坐标或准线方程类型二

4、：求抛物线的标准方程例题2根据下列条件确定抛物线的标准方程(1)关于y轴对称且过点(1,3)；(2)过点(4,8)；(3)焦点在x2y40上【精彩点拨】(1)用待定系数法求解；(2)因焦点位置不确定，需分类讨论求解；(3)焦点是直线x2y40与坐标轴的交点，应先求交点再写方程【解析】(1)法一：设所求抛物线方程为x22py(p>0)，将点(1，3)的坐标代入方程，得(1)22p·(3)，解得p，所以所求抛物线方程为x2y.法二：由已知，抛物线的焦点在y轴上，因此设抛物线的方程为x2my(m0)又抛物线过点，所以1m·(3)，即m，所以所求抛物线方程为x2y.(2)法一

5、：设所求抛物线方程为y22px(p>0)或x22py(p>0)，将点(4，8) 的坐标代入y22px，得p8；将点(4，8)的坐标代入x22py，得p1.所以所求抛物线方程为y216x或x22y.法二：当焦点在x轴上时，设抛物线的方程为y2nx(n0)，又抛物线过点(4，8)，所以644·n，即n16，抛物线的方程为y216x；当焦点在y轴上时，设抛物线的方程为x2my(m0)，又抛物线过点(4，8)，所以168m，即m2，抛物线的方程为x22y.综上，抛物线的标准方程为y216x或x22y.(3)由得由得所以所求抛物线的焦点坐标为(0，2)或(4,0)当焦点为(0，2)

6、时，由2，得p4，所以所求抛物线方程为x28y；当焦点为(4,0)时，由4，得p8，所以所求抛物线方程为y216x.综上所述，所求抛物线方程为x28y或y216x.【总结与反思】求抛物线的标准方程求抛物线方程都是先定位，即根据题中条件确定抛物线的焦点位置；后定量，即求出方程中的p值，从而求出方程(1)定义法：先判定所求点的轨迹是否符合抛物线的定义，进而求出方程(2)待定系数法：先设出抛物线的方程，再根据题中条件，确定参数值对于对称轴确定，开口方向也确定的抛物线，根据题设中的条件设出其标准方程：进行求解，关键是能够依据抛物线的几何性质首先确定出抛物线方程的形式，然后采用待定系数法求出其标准方程对

7、于对称轴确定，而开口方向不确定的抛物线：当焦点在x轴上时，可将抛物线方程设为；当焦点在y轴上时，可将抛物线方程设为，再根据条件求.类型三 抛物线的标准方程及定义的应用例题3(1)设P是曲线y24x上的一个动点，求点P到点B(1,1)的距离与点P到直线x1的距离之和的最小值(2)已知抛物线y22x的焦点是F，点P是抛物线上的动点，又有点A(3,2)，求PAPF的最小值，并求出取得最小值时点P的坐标【解析】(1)抛物线的顶点为O(0,0)，p2，准线方程为x1，焦点F坐标为(1,0)，点P到点B(1,1)的距离与点P到准线x1的距离之和等于PBPF.如图，PBPFBF，当B，P，F三点共线时取得最

8、小值，此时BF.(2)将x3代入抛物线方程y22x，得y±.>2，A在抛物线内部设抛物线上点P到准线l：x的距离为d，由定义知PAPFPAd.由图可知，当APl时，PAd最小，最小值为，即PAPF的最小值为，此时点P的纵坐标为2，代入y22x，得x2，点P的坐标为(2,2)【总结与反思】 (1)把点P到准线的距离转化为点P到焦点F的距离，利用PBPFBF求解(2)把点P到焦点F的距离转化为点P到准线的距离，利用垂线段时最短求解类型四：抛物线的几何性质例题4(1)已知双曲线：的离心率为2.若抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离为2，则抛物线的方程为_(2)已知抛物线的焦点F在x轴正

9、半轴上，直线l过F且垂直于x轴，l与抛物线交于A，B两点，O是坐标原点，若OAB的面积等于4，则此抛物线的标准方程为_【自主解答】(1)双曲线:的离心率为2，双曲线的渐近线方程为，抛物线：的焦点到双曲线的渐近线的距离为2，p8.所求的抛物线方程为.(2)不妨设抛物线的方程为，如图所示，AB是抛物线的通径，AB2p，又OFp，所以抛物线的方程为【答案】(1) ；(2) 类型五 抛物线的最值问题例题1例题求抛物线yx2上的点到直线4x3y80的最小距离. 【精彩点拨】本题的解法有两种：法一，设P(t，t2)为抛物线上一点，点P到直线的距离为d，再利用二次函数求最小距离；法二，设直线4x3ym0与直

10、线4x3y80平行且与抛物线相切，求出m的值后，再利用两平行线间的距离公式求最小距离【解析】法一：设P(t，t2)为抛物线上的点，它到直线4x3y80的距离d当t时，d有最小值.法二：如图，设与直线4x3y80平行的抛物线的切线方程为4x3ym0，由消去y得3x24xm0，1612m0，m.最小距离为.类型六 抛物线的焦点弦例题6已知过抛物线y22px(p>0)的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，且ABp，求AB所在的直线方程【精彩点拨】求AB所在直线的方程的关键是确定直线的斜率k，利用直线AB过焦点F，ABx1x2pp求解【解析】由题意可知，抛物线y22px(p>0)的准线为x.

11、设A(x1，y1)，B(x2，y2)，A，B到抛物线准线的距离分别为dA，dB.由抛物线的定义，知AFdAx1，BFdBx2，于是ABx1x2pp，x1x2p.当x1x2时，AB2p<p，故直线AB与x轴不垂直设直线AB的方程为由，故直线AB的方程为或类型七 直线和抛物线的位置关系例题7求过定点P(0,1)且与抛物线y22x只有一个公共点的直线方程【教学点拨】当直线和抛物线只有一个公共点时，应该有两种情况：一是直线和抛物线相切；二是直线与抛物线的对称轴平行，容易忽略的是第二种情况，还有第一种情况中应考虑斜率不存在的情形【解析】若直线的斜率不存在，则过点P(0,1)的直线方程为x0.由得直

12、线x0与抛物线只有一个公共点；若直线的斜率存在，则由题意，设直线的方程为ykx1.由消去y得k2x22(k1)x10.当k0时，有即直线y1与抛物线只有一个公共点；当k0时，有4(k1)24k20，k，即方程为yx1的直线与抛物线只有一个公共点综上所述，所求直线的方程为x0或y1或yx1.四 、课堂运用基础1.设抛物线的顶点在原点，准线方程x2，则抛物线的方程是_2抛物线yax2的准线方程是y2，则a的值是_.3.过抛物线y24x的焦点作直线与抛物线相交于P(x1，y1)，Q(x2，y2)两点，若x1x28，则PQ的值为_. 4.直线l：yxb与抛物线C：x24y相切于点A，则实数b的值为_答

13、案与解析1.【答案】y28x【解析】由准线方程x2，顶点在原点，可得抛物线焦点为F(2,0)，p4.故所求抛物线方程为y28x.2. 【答案】a.【解析】抛物线的标准方程为x2y.则a0且2，得a.3. 【答案】10【解析】PQx1x2210.4. 【答案】-1【解析】由得x24x4b0，因为直线l与抛物线C相切，所以(4)24×(4b)0，解得b1.巩固1.若抛物线y24x的焦点为F，过F且斜率为1的直线交抛物线于A，B两点，动点P在曲线y24x(y0)上，求PAB的面积的最小值2.已知抛物线的方程为y28x.(1)求它的焦点坐标和准线方程；(2)若该抛物线上一点到y轴的距离为5，

14、求它到抛物线的焦点的距离；(3)该抛物线上的点M到焦点的距离为4，求点M的坐标3.已知抛物线y4x2上一点M到焦点的距离为1，则点M的坐标是_4.抛物线y24x的弦AB垂直于x轴，若AB4，则焦点到弦AB的距离为_答案与解析1.【答案】2. 【解析】由题意，得p2，直线AB过抛物线的焦点(1,0)，所以直线AB的方程为yx1，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由可得x26x10，所以x1x26，x1x21，则=8设P，则点P到直线AB的距离为d，PAB的面积SAB·d2，即PAB的面积的最小值是2. 2. 【答案】【解析】(1)焦点坐标为(2,0)，准线方程为x2.(2)设M(x

15、0，y0)是抛物线y28x上一点，F是它的焦点，由抛物线定义知，|MF|x0527.它到抛物线焦点的距离为7.(3)M到焦点的距离为4，M到准线的距离为4，即M到y轴的距离为2，M的横坐标为2.M的坐标为(2，±4)3. 【答案】.【解析】设M(x0，y0)，把抛物线y4x2化为标准方程，得x2y.则其准线方程为y，由抛物线的定义，可知y01，得y0，代入抛物线的方程，得x×，解得x0±，则M的坐标为.4. 【答案】2【解析】由题意我们不妨设A(x,2)，则(2)24x，x3，直线AB的方程为x3，抛物线的焦点为(1,0)，焦点到弦AB的距离为2.拔高1.在抛物线

16、y216x内，过点(2,1)且被此点平分的弦AB所在直线的方程是_. 2.已知抛物线的顶点在原点，焦点在x轴上，抛物线上的点M(3，m)到焦点的距离等于5，求抛物线的标准方程和m的值3.如图2­4­1所示，一隧道内设双行线公路，其截面由长方形的三条边和抛物线的一段构成，为保证安全，要求行驶车辆顶部(设为平顶)与隧道顶部在竖直方向上高度之差至少要有0.5米图2­4­1(1)以抛物线的顶点为原点O，其对称轴所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系(如图)，求该抛物线的方程；(2)若行车道总宽度AB为7米，请计算通过隧道的车辆限制高度为多少米？(精确到0.1米)4

17、.已知抛物线y22px (p>0)有一个内接直角三角形，直角顶点在原点，两直角边OA与OB的长分别为1和8，求抛物线的方程答案与解析1.【答案】y8x15【解析】显然斜率不存在时的直线不符合题意设直线斜率为，则直线方程为，由消去得，代入得.2. 【答案】抛物线方程为y28x；m±2.【解析】法一：由题意可设抛物线方程为y22px(p>0)，则焦点为F，因为点M在抛物线上，且MF5，所以有解得或故所求的抛物线方程为y28x，m的值为±2.法二：由题可设抛物线方程为y22px(p>0)，则焦点为F，准线方程为x，根据抛物线的定义，点M到焦点的距离等于5，也就是

18、M到准线的距离为5，则35，p4，抛物线方程为y28x.又点M(3，m)在抛物线上，m224，m±2.3. 【答案】4.1米【解析】如图所示：(1)依题意，设该抛物线的方程为x22py(p0)，因为点C(5，5)在抛物线上，所以p.所以该抛物线的方程为x25y.(2)设车辆高h，则DBh0.5，故D(3.5，h6.5)，代入方程x25y，解得h4.05，所以车辆通过隧道的限制高度为4.1米.4. 【答案】抛物线方程为y2x.【解析】设直线OA的方程为ykx，k0，则直线OB的方程为yx，由得x0(舍)或x，A点坐标为，B点坐标为(2pk2，2pk)，由|OA|1，|OB|8，可得解方

19、程组得，即.则，又p>0，则p，故所求抛物线方程为y2x.五 、课堂小结1. 抛物线的标准方程和几何性质2. 抛物线的几何性质的应用3. 焦点弦长公式4. 抛物线中的最值问题六 、课后作业基础1抛物线x22y上的点M到其焦点F的距离MF，则点M的坐标是_2已知F是拋物线y2x的焦点，A，B是该拋物线上的两点，AFBF3，则线段AB的中点到y轴的距离为_3若动圆与圆(x2)2y21外切，又与直线x10相切，则动圆圆心的轨迹方程为_4在平面直角坐标系xOy中，有一定点A(2,1)若线段OA的垂直平分线过抛物线y22px(p>0)的焦点，则该抛物线的准线方程是_答案与解析1.【答案】(&

20、#177;2,2)【解析】设点M(x，y)，抛物线准线为y，由抛物线定义， y，y2，所以x22y4，x±2，所以点M的坐标为(±2,2)2. 【答案】【解析】如图，由抛物线的定义知，AMBNAFBF3，CD，所以中点C的横坐标为，即C到y轴的距离为.3. 【答案】y28x【解析】设动圆半径为r，动圆圆心O(x，y)到点(2,0)的距离为r1.O到直线x1的距离为r，O到(2,0)的距离与O到直线x2的距离相等，由抛物线的定义知动圆圆心的轨迹方程为y28x.4.【答案】x【解析】由题意可求出线段OA的垂直平分线交x轴于点，此点为抛物线的焦点，故准线方程为x.巩固1.（苏北三

21、市三模）6已知点为抛物线的焦点，该抛物线上位于第一象限的点到其准线的距离为5，则直线的斜率为 2在平面直角坐标系中，若抛物线经过点 ，则实数 3.(南京盐城一模)6在平面直角坐标系中，已知抛物线的顶点在坐标原点，焦点在轴上，若曲线经过点，则其焦点到准线的距离为 . 4.（苏北四市期末）7抛物线的焦点到双曲线渐近线的距离为 答案与解析1.【答案】【解析】联立方程求A点坐标，再求斜率。2. 【答案】【解析】代入方程求解3. 【答案】【解析】代入方程求解4. 【答案】【解析】点到直线的距离公式的运用.拔高 1.(2019·南京、盐城、徐州二模)在平面直角坐标系中，已知抛物线C：的焦点为F，

22、定点A(，0)，若射线FA与抛物线C相交于点M，与抛物线C的准线相交于点N，则FMMN=.2.(1)已知M为抛物线上一动点，F为抛物线的焦点，定点P(3，1)，求MP+MF的最小值.(2)给定抛物线，设，P是抛物线上的一点，且PA=d，试求d的最小值.3. (2019·苏北四市期末)在平面直角坐标系中，已知抛物线(p>0)的准线方程为x=-，过点M(0，-2)作抛物线的切线MA，切点为A(异于点O).直线l过点M，与抛物线交于B，C两点，与直线OA交于点N.(1)求抛物线的方程.(2)试问：+的值是否为定值?若是，请求出该定值；若不是，请说明理由.4.已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点弦(经过焦点的弦)AB的两端点坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则的值一定为.答案与解析1.【答案】13【解析】方法一：由题意得F(0，1)，所以直线AF的方程为+=1，将它与抛物线方程联立解得或依题意知交点在第一象限，故取M.准线方程为，故易求得点N(4，-1)，