第2章第3节 (2)

1、第二章第三节1(2014·广东六校联考)若偶函数f(x)在(，0)内单调递减，则不等式f(1)f(lg x)的解集是()A(0,10)BCD(10，)解析：选D因为f(x)为偶函数，所以f(x)f(|x|)，因为f(x)在(，0)内单调递减，所以f(x)在(0，)上单调递增故|lg x|1，即lg x1或lg x1，解得x10或0x.2(2014·东北三校模拟)若偶函数f(x)在(，1上是增函数，则下列关系式中成立的是()Af<f(1)<f(2)Bf(1)<f<f(2)Cf(2)<f(1)<fDf(2)<f<f(1)解析：选D

2、因为函数f(x)是偶函数，所以f(2)f(2)，又f(x)在(，1上是增函数，且2<<1，所以f(2)<f<f(1)，选D.3(2014·东北三校联考)若f(x)是R上周期为5的奇函数，且满足f(1)1，f(2)2，则f(3)f(4)()A1B1C2D2解析：选A函数f(x)的周期为5，f(3)f(4)f(2)f(1)，又f(x)为R上的奇函数，f(2)f(1)f(2)f(1)211.4已知函数f(x)x|x|2x，则下列结论正确的是()Af(x)是偶函数，递增区间是(0，)Bf(x)是偶函数，递减区间是(，1)Cf(x)是奇函数，递减区间是(1,1)Df(x

3、)是奇函数，递减区间是(，0)解析：选Cf(x)，当x>0时，x<0，f(x)(x)22·(x)x22x(x22x)f(x)；当x<0时，x>0，f(x)(x)22(x)(x22x)f(x)；又f(0)0，故f(x)是奇函数画出图象知递减区间为(1,1)，递增区间为(，1)和(1，)，故选C.5(2014·合肥检测)已知函数yf(x)是定义在R上的奇函数，且当x>0时，f(x)2x13，则f(f(1)()A1B1C2D2解析：选A依题意得f(1)2032，f(f(1)f(2)f(2)(213)1，故选A.6(2014·沈阳模拟)已知偶

4、函数f(x)在区间0，)上单调递减，则满足不等式f(2x1)>f成立的x的取值范围是()ABCD解析：选B因为偶函数的图象关于y轴对称，在区间0，上单调递减，所以f(x)在(，0上单调递增，若f(2x1)>f，则<2x1<，故<x<，故选B.7已知函数f(x)是(，)上的偶函数，若对于x0，都有f(x2)f(x)，且当x0,2)时，f(x)log2(x1)，则f(2 011)f(2 012)()A1log2 3B1log2 3C1D1解析：选Cf(x)是(，)上的偶函数，f(2 011)f(2 011)当x0时，f(x4)f(x2)f(x)，则f(x)是以4

5、为周期的函数又2 0114×5023,2 0124×503，f(2 011)f(3)f(12)f(1)log2(11)1，f(2 012)f(0)log2 10，f(2 011)f(2 012)1，故选C.8(2014·长春调研)设f(x)是定义在R上的增函数，且对于任意的x都有f(x)f(x)0恒成立如果实数m、n满足不等式f(m26m21)f(n28n)<0，那么m2n2的取值范围是()A(9,49)B(13,49)C(9,25)D(3,7)解析：选A依题意得f(x)f(x)，因此由f(m26m21)f(n28n)<0得f(m26m21)<f

6、(n28n)f(n28n)又f(x)是定义在R上的增函数，于是有m26m21<n28n，即(m3)2(n4)2<4.在坐标平面mOn内该不等式表示的是以点(3,4)为圆心、2为半径的圆内的点，m2n2可视为该平面区域内的点(m，n)与原点间的距离的平方，结合图形可知m2n2的取值范围是(9,49)，选A.9(2014·宁波模拟)已知f(x)是定义在R上的奇函数，且当x>0时，f(x)exa，若f(x)在R上是单调函数，则实数a的最小值是_解析：1依题意得f(0)0.当x>0时，f(x)>e0aa1.若函数f(x)在R上是单调函数，则f(x)是R上的单调增

7、函数，则有a10，a1，因此实数a的最小值是1.10(2014·孝感调研)已知yf(x)是定义在R上周期为4的奇函数，且0x2时，f(x)x22x，则10x12时，f(x)_.解析：x222x120因为f(x)在R上是周期为4的奇函数，所以f(x)f(x)，f(x4)f(x)f(x12)f(x)设0x2，则0x2，f(x)f(x)x22x.当10x12时，2x120，f(x)f(x12)(x12)22(x12)x222x120.11(2012·上海高考)已知yf(x)x2是奇函数，且f(1)1，若g(x)f(x)2，则g(1)_.解析：1yf(x)x2为奇函数f(x)(x)

8、2f(x)x2f(x)f(x)2x20f(1)f(1)20f(1)1f(1)3g(x)f(x)2g(1)f(1)2321.12已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x4)f(x)，且在区间0,2上是增函数，则f(25)，f(11)，f(80)从大到小的顺序为_解析：f(11)>f(80)>f(25)因为f(x)满足f(x4)f(x)，所以f(x8)f(x)，所以函数f(x)是以8为周期的周期函数，则f(25)f(1)，f(80)f(0)，f(11)f(3)因为f(x)在R上是奇函数，f(0)0，得f(80)f(0)0，f(25)f(1)f(1)，而由f(x4)f(x)，得f(11)

9、f(3)f(3)f(14)f(1)，又f(x)在区间0,2上是增函数，所以f(1)>f(0)0.所以f(1)<0，即f(11)>f(80)>f(25)13(2014·潍坊模拟)已知定义在R上的偶函数满足：f(x4)f(x)f(2)，且当x0,2时，yf(x)单调递减，给出以下四个命题：f(2)0；x4为函数yf(x)图象的一条对称轴；函数yf(x)在8,10上单调递增；若方程f(x)m在6，2上的两根为x1，x2，则x1x28.以上命题中所有正确命题的序号为_解析：令x2，得f(2)f(2)f(2)，所以f(2)0，又函数f(x)是偶函数，故f(2)0；根据可

10、得f(x4)f(x)，则函数f(x)的周期是4，由于偶函数的图象关于y轴对称，故x4也是函数yf(x)图象的一条对称轴；根据函数的周期性可知，函数f(x)在8,10上单调递减，不正确；由于函数f(x)的图象关于直线x4对称，故如果方程f(x)m在区间6，2上的两根为x1，x2，则4，即x1x28.故正确命题的序号为.14已知函数f(x)x2(x0，常数aR)(1)判断f(x)的奇偶性，并说明理由；(2)若f(1)2，试判断f(x)在2，)上的单调性解：(1)当a0时，f(x)x2，f(x)f(x)，函数是偶函数当a0时，f(x)x2(x0，常数aR)，取x±1，得f(1)f(1)20

11、；f(1)f(1)2a0，即f(1)f(1)，f(1)f(1)故函数f(x)既不是奇函数也不是偶函数(2)若f(1)2，即1a2，解得a1，这时f(x)x2.任取x1，x22，)，且x1<x2，则f(x1)f(x2)(x1x2)(x1x2)(x1x2).由于x12，x22，且x1<x2.故x1x2<0，x1x2>，所以f(x1)<f(x2)，故f(x)在2，)上是单调递增函数1设f(x)是奇函数，且在(0，)内是增函数，又f(3)0，则x·f(x)<0的解集是()Ax|3<x<0，或x>3Bx|x<3，或0<x<

12、3Cx|x<3，或x>3Dx|3<x<0，或0<x<3解析：选D由x·f(x)<0，得或而f(3)0，f(3)0，即或所以x·f(x)<0的解集是x|3<x<0，或0<x<32函数f(x)的定义域为R，且满足：f(x)是偶函数，f(x1)是奇函数，若f(0.5)9，则f(8.5)()A9B9C3D0解析：选B因为f(x)是偶函数，所以f(x)f(x)，又f(x1)是奇函数，所以f(x1)f(x1)令tx1，可得f(t)f(t)f(t2)，所以f(t2)f(t4)所以可得f(x)f(x4)所以f(8.5)

13、f(4.5)f(0.5)9.3若偶函数yf(x)为R上的周期为6的周期函数，且满足f(x)(x1)(xa)(3x3)，则f(6)_.解析：1yf(x)为偶函数，且f(x)(x1)(xa)(3x3)，f(x)x2(1a)xa，1a0.a1.f(x)(x1)(x1)(3x3)f(6)f(66)f(0)1.4关于函数，给出下列命题：若函数f(x)是R上周期为3的偶函数，且满足f(1)1，则f(2)f(4)0；若函数f(x)满足f(x1)f(x)2 013，则f(x)是周期函数；若函数g(x)是偶函数，则f(x)x1；函数y的定义域为.其中正确的命题是_(写出所有正确命题的序号)解析：因为f(x3)f

14、(x)且f(x)f(x)，所以f(2)f(13)f(1)f(1)1，f(4)f(1)f(1)1，故f(2)f(4)0，正确因为f(x1)f(x)2 013，所以f(x1)，f(x2)f(x)所以f(x)是周期为2的周期函数，正确令x<0，则x>0，g(x)x1.又g(x)为偶函数，所以g(x)g(x)x1.即f(x)x1，不正确要使函数有意义，需满足即0<|2x3|1，所以1x2且x，即函数的定义域为，不正确5已知函数f(x)是奇函数，(1)求实数m的值；(2)若函数f(x)在区间1，a2上单调递增，求实数a的取值范围解：(1)设x<0，则x>0，所以f(x)(x)22(x)x22x.又f(x)为奇函数，所以f(x)f(x)，于是x<0时，f(x)x22xx2mx，所以m2.(2)要使f(x)在1，a2上单调递增，结合f(x)的图象知所以1<a3，故实数a的取值范围是(1,36已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且它的图象关于直线x1对称(1)求证：f(x)是周期为4的周期函数；(2)若f(x)(0<x1)，求x5，4时