第三章几何光学的基本原理1.

1、第三章 几何光学的基本原理1 证明反射定律符合费马原理。证明：设平面 为两种介质的分界面，光线从 A 点射向界面经反射 B 点，在分界面上的入射点为任意的 C 点；折射率分别为： n 1、n 2。（1）过 A 、B 两点做界面的垂直平面 ，两平面相交为直线X 轴，过 C 点做 X 轴的垂线，交 X 轴于 C 点，连接 ACC 、 BCC 得到两个直角三角形，其中： AC 、 BC 为直角三角形的斜边，因三角形的斜边大于直角边，根据费马原理，光线由 A 点经 C 点传播到 B 点时，光程应取最小值，所以在分界面上的入射点必为 C 点，即证明了入射光线 A C 和反射光线 B C 共面，并与分界面

2、垂直。（2）设 A 点的坐标为（ x 1，y 1）， B 点坐标为（ x 2，y 2）， C 点坐标为（ x ，0），入射角为 ，反射角为 ，则光线由 A 传播到 B 的光程：( (222221211y x x y x x n +-+-=?若使光程取极值，则上式的一阶导数为零，即：0(2222221211=+-+-=?yx x x x yx x x x dxd从图中得到： 21211 (sin yx x x x +-=22222 (sin yx x x x +-=' 也即： sin=sin，说明入射角等于反射角，命题得证。2 根据费马原理可以导出在近轴条件下，从物点这出并会聚到象点所有

3、光线的光程都相等。由此导出薄透镜的物象公式。解：3 眼睛 E 和物体 PQ 之间有一块折射率为1.5 的玻璃平板，平板的厚度d为 30cm ，求 PQ 的象 P Q 与物体之间的距离 d 2。解：方法一P Q 是经过两个平面折射所形成的象（1）PQ 经玻璃板前表面折射成象： 设 PQ 到前表面的距离为s 1，n=1、n =1.5 由平面折射成象的公式：11s nn s '='得到： 1123s s ='（2）PQ 经玻璃板前表面折射成象：从图中得到： s 2=s1+d、n=1.5、n =1 根据： 22s n n s '='解出最后形成的象P Q 到玻璃

4、板后表面的距离：ds s 3212+='物 PQ 到后表面的距离： s=s1+d物 PQ 与象 P Q 之间的距离 d 2：d 2 = s2-s =（321-）d=10cm方法二：参考书中例题的步骤，应用折射定律解之。方法三：直接应用书中例题的结论：d 2 =d（ 1-1/n）即得。4 玻璃棱镜的折射角 A 为 600，对某一波长的光其折射率为 1.6，计算 (1 最小偏向角； (2 此时的入射角； (3 能使光线从 A 角两侧透过棱镜的最小入射角。解：（ 1）根据公式： 2sinsin 0A An+=代入数据： A=600， n=1.6解出最小偏向角： 0= 46016（2）因： A

5、i -=102则入射角： 53352/ (001'=+=A i（3）若能使光线从 A 角两侧透过棱镜，则出射角i 1=900 有： n sini2= 1sin900 = 1 解出： i 2 =38.680 从图中得到： i 2 + i2 = A 得到： i 2 =21.320又有： sini 1 = nsini2 解出最小入射角： i 1 =350345 题图表示恒偏向棱镜，挑相当于两个300-600-900棱镜与一个 450-450-900棱镜按图示方式组合在一起。白光沿i 方向入射，我们旋转这个棱镜来改变1，从而使任意波长的光可以依次循着图中的路径传播，出射光线为r ，求证：如果

6、sin1=n/2，则 2=1，且光束 i 与 r 相互垂直。解：当光线以 1角在 A 点入射时，设折射角为，根据折射定律有： sin1 = nsin因：sin1 = n/2计算得到： = 300在 C 点的入射角为 ，从图中可看出： = 300有： sin2 = nsin得到： sin2 = n/2因： sin1 = sin 2 所=n/2以： 1 = 2在三角形 ADE 中， ADE=1800 -1- （ 900 -2）= 900 说明光束 i 与 r 相互垂直。6 高为 5cm 物体放在距凹面镜顶点12cm ，凹面镜的焦距是10cm ，求象的位置及高度，并作光路图。解：已知： s=-12c

7、m f =-10cm 根据：f s s '=+'111解出： s = -60cm 因： ss y y '-='= 解得： y = -25cm7 一个 5cm 高的物体放在球面镜前10cm 处成 1cm 高的虚象，求：（ 1）此镜的曲率半径；（ 2）此镜是凸面镜还是凹面镜？解：已知： y=5cm、s=-10cm、 y =1cm因形成的是虚象，物和象在镜面的两侧，物距和象距异号。根据： 51='-='=ss y ycmcm s s 2 10(5151=-=-='代入：rss 211=+'解出： r=5cm因 r=5cm > 0

8、，所以是凸面镜。8 某观察者通过一块薄玻璃板去看在凸面镜他自己的象，他移动着玻璃板，使得在玻璃板中与在凸面镜中所看到的他眼睛的象重合在一起。若凸面镜的焦距为10cm ，眼睛距凸面镜顶点的距离为40cm ，问玻璃板距观察者眼睛的距离是多少？解：已知：凸面镜成象时的物距：s=-40cm、焦距： f =10cm由：f s s '=+'111解出凸面镜成象的象距：s =8cm 此象到眼睛的距离： b=40+8=48cm又因薄玻璃板所成的象是虚象，与物对称，若使玻璃板中的象与凸面镜中所成的象重合在一起，则玻璃板应放在 P 与 P 的中间，即玻璃板到眼睛的距离：d=b/2=24cm9 物体

9、位于凹面镜轴线上焦点之外，在焦点与凹面镜之间放一个与轴线垂直的两表面互相平行的玻璃板，其厚度为 d ，折射率为 n ，试证明：放入该玻璃板后使象移动的距离与把凹面镜向物体移动 d （n-1）/n 的一段距离的效果相同。解:设物体到凹面镜的距离 s ，当把玻璃板放入后，物体首先经过玻璃板折射成象 P1，再经过凹面镜反射成象 P2，P1 即为凹面镜的物， P1 相对 P点移动的距离经前面的证明知道为d （n-1）/n，也即放入该玻璃板后使象移动的距离与把凹面镜向物体移动d （n-1）/n 的一段距离的效果相同。10 欲使由无穷远发出的近轴光线通过透明球体并成象在右半球面的顶点处，问该透明球体的折射

10、率应为多少？解：此问题是单球面的折射成象，根据题意有：物距： s=-、物空间： n=1设象空间球体折射率为n ，球面半径为 R由：rnn s n s n -'=-'' 得到： 1(2-'='n n从而解出透明球体的折射率：2='n11 有一折射率为 1.5、半径为 4cm 的玻璃球，物体在距球表面6cm 处，求：（ 1）从物体所成的象到球心之间的距离；（2）求象的横向放大率。解：物体经玻璃球的左、右球面两次成象。左球面成象： n 1=1、 n1=1.5、r1=-4cm、s 1=-6cm由：1111111r n n s n s n -'=-

11、''解得左球面成象的象距：s 1=-36cm，象在 P 点。 横向放大率： 411111=''=n n s s右半球面成象： n 2=1.5、 n2=1、 r2= 4cm、s 2=-44cm 再由：2222222r n n s n s n -'=-''解出第二次成的象P 到 O 2 点的距离： s 2=11cm 横向放大率： 8322222-=''=n n s s最后所成的象到球心之间的距离：d= s2 + r =（ 11+4） cm = 15cm 象的横向放大率： 5. 121-=12 一个折射率为 1.53、直径为 2

12、0cm 的玻璃球内有两个小气泡，看上去一个恰好在球心，另一个从最近的方向看去，好象在表面与球心连线的中点。求两个气泡的实际位置。解：（ 1）看去恰好在球心的气泡n 1=1.53、 n1=1、 r1=-10cm、s 1=-10cm由：1111111r n n s n s n -'=-''解得象对应的物距： s 1 =-10cm，说明气泡在球心处。图 A（2）好象在表面与球心连线中点的气泡n 2=1.53、 n2=1、 r2=-10cm、s 2=-5cm 再由：2222222r n n s n s n -'=-''解得象距： s 2 =- 6.047

13、cm气泡到球心的距离 :d =10 cm - 6.047cm = 3.953 cm图 B13 直径为 1m 的球形玻璃鱼缸的中心处有一条小鱼，若玻璃缸壁的影响可忽略不计，求缸外观察者所看到的小鱼的表观位置和横向放大率。解: n =1.33、 n =1,设球面曲率半径为 r, 象距 :s=r由：rnn s n s n -'=-''解得象对应的物距： s = r，说明鱼在缸的中心处。横向放大率： 33. 1=''=n n s s是一个正立放大的虚象 .14 玻璃棒一端成半球形，曲率半径为 2cm ，将它水平地浸入折射率为 1.33 的水中，沿着棒的轴线离球面

14、顶点 8cm 处的水中有一物体，应用计算法和作图法求象的位置及横向放大率。解：已知： n =1.33、 n=1.5、 r=2cm、 s=-8cm 根据：rnn s n s n -'=-''解出： s =18.5cm或由：rnn n f -''='rnn n f -''='计算得到物方、象方焦距：cmf 6. 17=' cm f 6. 15-=由：1=+''sf s f 解得象距： s =18.5cm横向放大率： 2''=n n s s15 有两块玻璃薄透镜的两表面均各为凸球面及凹球面

15、，其曲率半径为10cm 。一物点在主轴上距镜20cm 处，若物和镜均浸入水中，分别用作图法和计算法求象点的位置。设玻璃的折射率为1.5，水的折射率为1.33。解：因透镜放在同一种介质中，所以物方和象方焦距的绝对值相等。已知： n2=1.33 n1 =1. 5（1）凸透镜：两表面曲率半径：r 1=10cm、r 2=-10cm、物距： s=-20cm得到： cm r r n n n f f 3911(21121=-=-='由：f s s '=-'111 解得象距为： s =-41cm（2）凹透镜：两表面曲率半径：r 1=-10cm、 r 2=10cm、物距： s=-20cm

16、 得到： cmr r n n n f f 3911(21121-=-=-='由：f s s '=-'111 解得象距为： s =-13.2cm16 一凸透镜在空气中的焦距为40cm ，在水中的焦距为136.8cm ，问此透镜的折射率是多少 ? 设水的折射率为1.33。若将此透镜放置在CS 2 中(CS2的折射率为 1.62 ，其焦距又为多少？解：根据薄透镜焦距的计算公式，设透镜的折射率为n ，在折射率 n =1 的空气中时：cmr r n f 4011(1(1211=-='在 n =1.33 的水中：cmr r n f 8. 13611(33. 1(33. 12

17、12=-='两式相比 :8. 13640 1(33. 133. 12 1= -=''n n f f解出透镜的折射率为 :n=1.54若把透镜放在 n =1.62 的 CS 2 中：11(62. 1(62. 1213r r n f -='与空气的焦距相比：=-='3314062. 154. 1( 154. 1(62. 1f f f解出在 CS 2 中，其焦距为：cmf 4. 4373-='17 两片极薄的表玻璃，曲率半径分别为20cm 和 25cm ，将两玻璃片的边缘粘起来，形成一内含空气的双凸透镜，把它置于水中，求其焦距为多少？解：根据题意，透镜

18、的折射率：n=1，两表面的曲率半径： r 1=20cm、 r 2=-25cm，水的折射率为： n =1.33，代入：11(21r r n n n f -'-'='解出透镜的焦距为：cmf 78. 44-='，为一发散透镜。18 会聚透镜和发散透镜的焦距都是10cm ，求：（ 1）与主轴成 300角的一束平行光入射到每个透镜上，象点在何处？（ 2）在每个透镜左方的焦平面上离主轴 1cm 处各置一发光点，成象在何处？解：（ 1）根据题意做图如下。图（ 1） 图（ 2）图（ 1）是凸透镜成象图， P 是象点，在象方焦平面上，到焦点的距离为： cmtg f F P 8.

19、 5300='='' P点的坐标：（ 10， 5.8）图(2 是凹透镜成象图，象点 P 仍在象方焦平面上，但在透镜左方，到焦 点的距离为： cmtg f F P 8. 5300='='' P点的坐标：（ -10， -5.8）（2）在凸透镜物方焦平面上放一物，象成于无穷远处。把物放在凹透镜的象方焦平面上，已知： s=-10cm，由：f s s '=-'111解得象距为： s =-5cm，由： ss y y '= '=，解出： y =0.5cm象 P 点的坐标：（ -5，0.5）图（ 3） 图（ 4）19 如图（ 1）

20、、（ 2）所示， MM 分别为一薄透镜的主光轴，S 为发光点， S为象，用作图法求透镜中心和透镜焦点的位置。20 比累对切透镜是把一块凸透镜沿直径方向刨开成两半组成，两半块透镜垂直光轴拉开一点距离，用光阑挡住其间的空隙，这时在光屏上可观察到干涉条纹。已知点光源与透镜相距 300cm ，透镜的焦距 f=50cm，两透镜拉开的距离 t=1mm，光屏与透镜相距 450cm ，用波长为 632.8nm 的激光做光源，求干涉条纹的间距。解：点光源经两块透镜形成两个实象P1、P2，由物象公式：f s s '=-'111求得 P1、 P2 到透镜的距离：cm f s f s s 605030

21、050 300(=+-? -='+'='点光源到上半透镜主轴的距离y ： cm o y 5. =，P1 点到主轴的距离y '， 则： ss y y '='=解得： cm y 06. 0='cm y 5. 0=也即 P1、 P2 两点之间的距离： cm y d 12. 02='=，与光屏的距离： cm cm cm s l L 39060450=-='-= 干涉条纹的间距：mm dL y 06. 2=?21 把焦距为 10cm 的会聚透镜的中央部分 C 切去， C 的宽度为 1cm ，把余下的两部分粘起来，（见图）。如在其对称

22、轴上距透镜 5cm 处置一点光源，试求象的位置。解：把透镜按题意分切、对接后，在对物体成象时，可看做是两个透镜，上、下两半部分透镜的成象情况是对称的，上半部分透镜的成象光路如图所示，虚线为透镜主轴，点光源到主轴的距离为根据：f s s '=-'111 已知： cm s 5-=、cm f 10='解出象距： s = -10cm横向放大率： = y s = 解=2得y：s y = 1cm 22一折射率为 1.5 的薄透镜，其凸面的曲率半径为 5cm，凹面的曲率半 径为 15cm，且镀上银，如图，试证明：当光从凸表面入射时，该透镜的作用相当于一个平面镜。解：该系统的成象过程

23、是球面 O1 的折射、 O2 球面 的反射和 O1 球面的折射三 次成象。 设物体与 O1 面的距 离为 s。 O1 面的折射成象：物距为 - s 、 n = 1 、 n = 1.5 、 r = 5cm 根据： n - n = n - n s s r 1 = 解s得：n 23sn题图所示的是一个等边直角棱镜和两个透镜所组成的光学系统，棱镜 折射率为 1.5，凸透镜的焦距为20cm，凹透镜的焦距为10cm，两透镜间 的距离为 5cm，凸透镜距棱镜边的距离为10cm，求图中长度为 1cm 的物体 所成象的位置和大小。 24 显微镜由焦距为 1cm 的物镜和焦距为 3cm 的目镜组成，物镜与目镜之 间的距离为 20cm，问物体放在何处时才能使最后的象成在距离眼睛 25cm 处？作出光路图。 25 题图中 L 为薄透镜，水平横线 MM 为主轴， ABC 为已知的一条穿过这个透镜的光线的路径，用作图法求出另一条光线DE 穿过透镜后的路径。解： 1 过 O 点做 AB 的平行线（副轴） ， 交 BC 线于 L 点； 2 过 L 点做主轴的垂线，即为透镜的象 方焦平面； 3 过 O 点做 DE 的平行线，交象方焦平 面于 H 点； 4 连接 E、H，即得 DE 的共轭折射光线 EH。 26 题图是一厚透镜的主轴， H、 H y= 0.5cm 是透镜的主平面， S