空间中的距离(教师版)doc

1、课题：空间的距离教学目标：上正射影向量的模。d| a n | n |能用向量方法进行有关距离的计算教学重、难点：向量方法求点到面的距离教学过程一、创设情景1、空间中的距离包括：两点间的距离，点到直线的距离，点到平面的距离， 平行直线间的距离，异面直线直线间的距离，直线与平面的距离， 两个平行平面间的距离。 这些距离的定义各不相同， 但都是转化为平面上两点间的距离来计算的。2、距离的特征：距离是指相应线段的长度；此线段是所有相关线段中最短的；除两点间的距离外，其余总与垂直相联系。3、求空间中的距离有直接法，即直接求出垂线段的长度； 转化法， 转化为线面距或面面距，或转化为某三棱锥的高，由等积法或

2、等面积法求解；向量法求解。二、建构数学1、两点间的距离公式设空间两点A x1 , y1, z1 , B x2 , y2 , z2 ，则x1221z22d ABx1y 2 yz22、向量法在求异面直线间的距离设分别以这两异面直线上任意两点为起点和终点的向量为a ，与这两条异面直线都垂直的向量为n ，则两异面直线间的距离是 a 在 n 方 向 上 的 正 射 影 向 量 的 模 。| a n |d| n|4、向量法在求点到平面的距离中（1）设分别以平面外一点P 与平面内一点M 为起点和终点的向量为a ，平面的法向量为 n ，则 P 到平面的距离d 等于 a 在 n 方向（ 2）先求出平面的方程，然

3、后用点到平面的 距 离 公 式 ： 点P （ x0,y0,z0 ） 到 平 面AX+BY+CZ+D=0 的 距离d 为 ：d= A x0+B y 0+C z 0+DA 2+B2 +C2三、数学运用例1.ABCD 是正方形， SB面 ABCD，且 SA与面 ABCD 所成的角为 45 ，点 S到面 ABCD的距离为 1，求 AC与 SD的距离。zSAByCDx例 2、已知正方形 ABCD 的边长为 4， CG 平面 ABCD ，CG=2,E 、 F 分别是 AB 、AD 的中点，求点 B 到平面 GEF 的距离。zGx D C FAE B y例 3、在边长为 1 的正方体ABCD-A 1B1C

4、1D 1 中， M 、 N、 E 、 F 分别是棱 A 1B1、 A1D1、 B1C 1、 C1D1 的中点，求平面 AMN 与平面 EFDB 的距离。D1FC1NA1EMB1DCAB1 、 例1 直 三 棱 柱 ABC-A1B1C1 的 侧 棱AA1=3，底面ABC 中 ， C=90°，AC=BC=1 ，求点 B1 到平面 A1BC 的距离。zA1C1B1xACBy解 1：如图建立空间直角坐标系，由已知得直棱柱各顶点坐标如下：A（ 1,0,0 ）， B（ 0,1,0）， C （ 0,0,0） A1 （ 1,0, 3 ），B1（ 0,1, 3 ）， C1（ 0,0, 3 ） A1 B

5、 =（ 1,1, 3 ）， A1C =（1,0, 3） B1A1=（ 1,1,0）设平面 A1BC 的一个法向量为n( x, y, z)，则nA1 B0x y3z 0nA1C0x3z 0x 3y 0 z 1即 n ( 3,0,1)所以，点B1 到平面A1BC 的距离| n A1 B1 |3d2| n |解 2 建系设点同上（略） ，设平面 A1BC 的方程为 ax+by+cz+d=0(a,b,c,d 不全为零 )，把点 A1， B， C 三点坐标分别代入平面方程得d0a3cbd 0b平面 A1BC 的0方程为3 x+z=0又 B1（ 0,1, 3 ）设点 B1 到平面 A1BC 的距离为d，则

6、d= 3 x0+1 x 0+ 3 32=2( 3)+12、例 （2 2006 年福建卷）如图，四面体 ABCD 中，O、E 分别是 BD、BC 的中点，CACBCDBD2ABAD2（ I）求证：AO平面 BCD ；（ II ）求异面直线 AB 与 CD 所成角的大小；（ III ）求点 E 到平面 ACD 的距离。ADOCBE解：（ I ）略（ II ）解：以 O 为原点，如图建立空间直角坐标系，则EC.n321h.n773、例 3（ 2005 福建卷理第 20 题）如图，直二面角 D-AB-E 中，四边形 ABCD 是边长为 2 的正方形， AE EB ，F 为 CE 上的点，且 BF 平面

7、 ACE （）求证： AE 平面 BCE；（）求二面角 B-AC-E 的大小；（）求点 D 到平面 ACE 的距离。B(1,0,0), D ( 1,0,0),C(0, 3,0), A(0,0,1), E( 1,3 ,0), BA ( 1,0,1),CD ( 1, 3,0).22cos BA, CDBA.CD2 ,BA CD4解（）略异面直线 AB 与 CD 所成角的大小为（）以线段 AB 的中点为原点O，OE 所arccos 2 .在直线为 x 轴，AB 所在直线为 y 轴，过 O 点平行于 AD 的4直线为 z 轴，（ III ）解：设平面ACD的法向量为建立空间直角坐标系O xyz，如图

8、.n ( x, y, z), 则AE面 BCE，BE面 BCE，AE BE，n.AD( x, y, z).(1,0,1)0,在 RtAEB中, AB2,O为AB 的 中n.AC(x, y, z).(0, 3,1)0,点，xz0,OE1A(0,1,0), E(1,0,0), C(0,1,2).3 yz0.令 y1,得 n(3,1,3)是 平 面AE(1,1,0), AC(0,2,2).设 平 面ACD 的一个法向量， 又 EC ( 1 ,3 ,0),22AEC 的一个法向量为n(x, y, z) ，点E到平面ACD的距离AE n0,xy0,则即解 得AC n0,2y2x0.yx,zx,令 x1,