杨显清《电磁场与电磁波》(第四版)课后习题答案

1、li y 1 ¥> T ! 1J|f,i 14 八( x f )( rt c l r 3 ) (<X i eKS 4 c 2() -42(zt x /I) C = ( - e, 10 - e J - e;4) .( e<5 - ex2) = - 42(X) (A xZT) xC =-10- 150-4 ' =ef2 -ew40 + e:52；A x (£? x C) = i 2-3 = e.55 一 e,44 - ej 1j 85201.2 三角形的三个顶点为P,(0,1, -2)、匕(4,1,3)和P3(6,2.5)o(1) 判断NPP、是否为一

2、直角三角形；(2) 求三角形的面积。M (1)三个顶点PJ0丄2)、巴(4.-3)和匕(6,2,5)的位置矢董分八=J -乙2, ri = “4 + - et3, r3 =耳6 + er2 + e.5'"l儿2 = r2 - r> = "4 - e：,尺23 = r3 - r2 = e,2 + ey + e：8,二八-心=-"6 j - elihiM 见 /?w = (ea4 - ef) (e.2 + et + e) = 0 岀匚匕匕为一直角三角形。2)三角形的面积S = y X/?;J I = y|z?12 | X |Kn I = 1- /T7 X

3、 yS9 = 17. 13 1.3求F( -3J.4)点到P(2, -2,3)点的距离矢戢尺及K的方向。 解 = 一耳3 +«,4t rF =et2 -et2 +耳3wiR -心夕=r,. - rr = et5 - e,3 - efh j 轴的夹角分别为A-QEnJS Rpp -(5a rnr>fia 1 一 l 32.31。1 15丨丿氣-arccosf心")二V 1 Rpp 1)/ _ 3 120. 47°arccosil y/35 /e,:=arccosf = 1 賂 | /arccos/ )V /35 /=99. 73°3杯ht场-点的梯度

4、垂直于过该点的等值而，且指向叭)瞎加 的方向O1. 1给定三个矢吊和C如下：A = eA + e2 - e23二-ev4 + e2C = e,5 e:2求：(】)5；(2) A B ；(3) A - fl；(4)九；(5) A 住B 上的分址；(6) A x C；(7) A (B xC )和(AxB ) C；(8) (4 xfl) xC 和 Ax(xC*)。4+ e 2 e.3123/14 a /14解気严芮“(2) | 4 - B | = | (e, +e,2 -et3) - ( -e,4 +et) I=et 4- et6 - e.4 | = >/53(3) 4 B = (e, +e,

5、2 -e;3) ( -e 4 +ej = - 11A B-1111 牛由c。,九-prnyr=声刁苻八离'偈arccos(-") = 13550(5) A在B上的分址A B 11(6) A xC= 1250-3-2-e 4 - e 13 - e.10J(7)由于 BxC-401-2= eB8 + et5 + e,20li y 1 ¥> T ! 1J|li y 1 ¥> T ! 1J|-ef10 一 c410 T I工 M 伽IE10>/2e E = 3 一10/23近20-沽 r；x -4 xrA Al.« 6.1MHI半标系屮

6、一点的位置由（4晋,3）定出求该点在：（1） it ft T杯系中的坐标；（2）球坐标系中的坐标。解（1）金直角坐标系中x = 4cor(2 7t/3) = 2. y = 4sin( 2 tc/3 )=2 也、z = 3从仏点的曲角坐标为（-2,2 0,3）。（2）在球坐标系中f = JX + 3 = 5. 0 二 arctan(4/3) = 53. 1°.(f> = 2 兀/3 rad = 120° 加 U.的球坐标为(5,53. 1°,l20°)o19用球坐标表示的场E=e,孕。求花直角坐标系中（-3.4, -5）点处的|E|和 g求在瓦角坐标

7、系中（-3,4, - 5）点处E与矢站ff=e,2-et2e,构成IH I 1(| .（I）在住角坐标系屮（一3.4. - 5）点处厂二/（ -3）2 +42 + （ -5）2 =2511I人2-' H "l 常标系中(-3 ,4, -5)点处,r = -e.3 + e4 一e,5 ,所以r 2525e.3 + e,4 - et5E = e.、二r 二10 T I工 M 伽10 T I工 M 伽+ (2尸 + FRN H Ml 1 I小系中（一3,4-5）点处-e 3 + e 4 - e 5“19I： B=2 (<2 - ew2 + e )=-10/2 10./2M 1

8、 1 n阿成的夹角为L4 给世曲矢址4 =e,2-e,4和B=e4-e5 +e,6t求它们之间的火角和A在B上的分就。解=QVK+T二蠢|B | = WTW = y/TJ4 B = (et2 + “3 - e.4) (e.4 - ev5 + efi) = - 31 故A与之间的夹角为10 T I工 M 伽10 T I工 M 伽&在 11的分世为BFb|=-3 53210 T I工 M 伽1.5 给定两矢最 A =匕2+匚3-耳 4 和二-e.6 - e 4e; A xB 在 C二 et -ey +e,上的分fit。解A xff 23-4 = -e.13 +ew22 +eJ0-6-41(

9、A x B) C = ( - eJ3 + e922 + eJO) (et - et + ej = - 25|c| = /i1 +( - 1)2 +ly = #所以A xB在C上的分就为(A X B) C 25“ “(人 x )c = -=_ 帀=-14. 431.6 证明：如果4 C和 A x«=A xC,Wi|fi=Ca证 由 A xB=A xC,则有 A x (4 xB) =4 x (A xC) t 即(A - B)A -(A - A)B = (A - C)A - (A A)C由于ABAC，于是得到(A A)fl = (A A)C故B=C1.7如果给定一个未知矢損与一个已知矢凰的

10、标屋枳和矢鼠积，那么便可 以确定该末知矢境，设A为一已知矢竜,p=AX而P=A xX.p利PC知，试 求X。解由PA xX,有I ：i i他斛忙 i：i解 ill IV "=匚'；* e, +匕与1 Vu, =2V（7）+（） +（7）2故椭球表面上任意点的单位法向矢绘为“曲=（违+咔“ 7）/ TiJmJmJ）1.14利用育角坐标系，证明V ( uv) = uVv + vVw证在r角坐标系中v + vVm=u(£du / dv+ v 1 + v U + V毗丿y ay3( “u)3( m) d( uv)=et+ 管.+ e.dx r dydzdv udx£

11、;)Ilf (ft o=V (uv)一个球面S的半径为5,球心在原点上计算：6 （er3sin 8） dS(er3sin 0) d£ = © (er3sin 0) erdSin 0 X 5"sin=75*已知欠量 E =eM(x2 + axz) + er(xy2 + 6y) + ex(z J + czx -2xyz) 试 删工常数a、6、c使E为无源场。解 由 V E = (2x +az) + (2xy + b) + ( 1 -2z + ex -2xy) =0,得I. 16a = 2 t 6 =-l.c 二一 21.17 在由p=5.z= 0和z=4閑成的圆柱形区

12、域对矢=ey + 验 Ml歆朋定理。证在圆柱坐标系中V 4 =丄)+ ( 2s) = 3p + 2p dpdzI? r r i “ th，” =uwcos( | 占：| ) = arcco8(-丄2；労丁2)j = 153. 6'1-10球坐标系中的两个点（匚和（色如）定出两个位罢矢量R、 和证明R、和&间夹角的余弦为cos y 二 cos jCor 0: + sin (sin 2cos()证 山 出=ejjSin tfjcos <f>t + ejx sin sin 如 + e.fjCos& = etr2Mn 0,cos 如 + etr2sin fftsin

13、 如 + e.GCos 02 得到 cosr =Tfl%T=sin cos <f>jsin 02cos(t>: + sin 6l sin(f>in 2sin 机 + cos 8】gs 伏=sin t«in 02 ( cos cos <f> + sin 4>t sin (/>2) + cos cos 02=sin &$in /?2cos( (/> 一</>?) + cos jcos ff.111求标 = x2yz的梯度及W在一个指定方向的方向#数，此方 向由单位矢+er +e:定出；求(2.3.I)点的方向序v/

14、50/5050数值。厂的方向导数为 750= V * 二陞 +- + 亘引50/5050点（2,3,1）处沿勺的方向导数值为v W " (x2yz) +er +e.詈(Jyz) =e ,2x)2 + exzz + e:x2y 故沿方向s=“一二+右丄二5/50/5000361660112dl750洌v/50 7501.12 已知标it丙数 m = x2 + 2y2 + 3z: + 3x -2y -6ze (1) RV u；(2)在哪 些点上V "等于0?解(1) V u=e,g+ey+erg = er(2x+3) +er(4y-2) +ex(6z-6) (2)由 V u =

15、et(2r +3) +e/4y - 2) +e.(6z -6)二0御x = - 3/21 y = l/2f z = 1113方程“W +益+2给出一椭球族"求椭球表面上任意点的单位法 a b cI ：i Iwiiw r： isdS = J d<f> J </a sin d川杯系中"尸*歆® J所以=J J J 3r2sin /?dr(l<i(/>=4 7T</I 20 在球坐标系中已知欠駁4 "川+JG其中o J和住均为常数。 I |何矢呈A是否为常矢址？(2)求V A和V xA。解(I )4 = | 4 | = y药

16、 A = y/a2 + U叩，卅A =e,e+e+e.c的模为常数。俗矢里:A =©a +e.b +e4c用直角坐标表示有=ef(aain ffcob <f> + 6cos 0cos © - csin </>) +"(asin sin (/> + /cos 0sin </> + C(>b (/>) + er( acos B 一 6sin 0) 山川刖见.矢址A的方向随&和少变化，故矢址A不是席矢皤。山上述结果可妙，一个常矢斌住在球坐标系中不能表示为C = F(2)在球坐标系中4 _13 / .2 4.i

17、Q ( ain Aa x 1de2a 6cos一 / drr a/十rsin &ad8,n 6rsin &M :-十一厂一rrsinrsin fie.V X 4 = -r-!2dccos 0=e,:-eacb+pr sin 6drdf)3<f>rsin 8r r2A,M.rsin 6A4I 21求矢虽A = e,x 4 erx2 + ety2z xy平面上的-个边氏为2的正方形 |苛11勺线枳分，此正方形的两边分别与*轴和y轴相乘介l»f；R v x4对此回 几叫W闌的曲面积分，验证斯托克斯定理。解如图題1.21所示可得 e.dy +所以V Adv = f

18、 <kde |(3p + 2)pdp = I 200 it故冇A dS =4 dS + A dSa 丨 *-» * *皿忆 + L /,? i «-o (I A | e.5dzde-e, )pdpd(/> +=J P 2 x 4p(lpd</> + J J 52 x 5dzd<f) = 1 200穴V 4dV = 1 2007t = A 4 dS1.18(1)求矢+e,24zV?的散度；(2)求 V - A 对中心在原点的一个单位立方体的积分；(3)求A对此立方体表面的积分，验证散 度定理。解(i)人=也 +吃也+ 3( 24 JyT人2, +

19、 2彷+ 72.心今 dxdyHz(2) V A对中心在原点的一个单位立方体的积分为v A<iy :' J J -1/2严 fl/2 A/21=J J J (2x + 2x y + 11.x y1 z ) dxdydz =(3) 4对此立方体农面的积分r r小-1)J -1/2 J -1/22 /dxdz +1/21/2M ."idx (y) dxds -1/2 f -1/2 1 f4 心爲护£爲加畀如""# 1 . 3-1/2 A/l. i v 3<k(lyD严珂詁)124故有J V Aciy = £ = # A dS1.

20、19 计算矢呆r对一个球心在原点、半径为Q的球衣面的积分并求 V /对球体枳的积分。I 3 I J* 触耳 1/v x/e =od 2 dy dz y z i7 4 =e/. + eyAt + etA八则 A R =Atx +4yy + Atz.故（人 X） =eM 吕（久兀 + Ay + A:z） + ey ?（久尤 + 人y + 儿z） + dxdy+ A,y + 心）=+ « 人 + 也I 24 一径向矢址场用F=e/(r)表示，如果VF=0.那么函数/(r)会有 fl竹点呢？副在圆柱坐标系中，由V F =丄 4pf(p) = 0P切>1 円 Hl/(P)= *f tn

21、(5:数。H球坐标系中由V F = * 辛/(r) 1 = 0hl I*： »>|f(r) =125给定欠钛函数+试求从点匕(2,1,-丨)到点P2(8,2,(M线积分E<!/：(!)沿抛物线x=2y2；(2)沿连接该两点的宵线。这个 f 7 IV *f 场吗？+ Erdy - J ydx + xdy=14I 3 I J* 触耳 1/=14I 3 I J* 触耳 1/=”d（2/） + 2y2dy=1416£ 1 » a 0 u Vi丨（-"）血+=J xdx + f 2，dy - J xdx - J=8图題1.21a a ad* dy dz

22、=e 2yz + ex2x所以V x A dS = p J2(e,2yz + et2x) etdxdy = f J 2xdxdy = 8故有A <IZ = 8 = J V x A d.S1. 22求矢A = etx + 沿侧周x: + y2 =«'的线积分，再计算V xA对 此闘面积的积分。A -(1/=# xdx + xy2 dy证（1）证（1）(-a2cos 4>sin(|> + a4cos? <f>sin" 4>) d</>Vx卜(炉冷皿=J y:dS = J J* p：»irf 如d©dpT

23、V。1.23 证明：(1) V /?=3；(2) V x/?=0；(3) V(4 R) =AO Jt中R 二 eKx + J, + e.z.A 为一常矢量。V7竺+也+空=3 dx ffy dz证（1）13 制A 19心 xpdpd©十心严-J J. £ I妣-a【£(pg.z + x)-人(pg* swagdAt A ,64 =AFriiii.XM：场a穿出该六Ifti体衣面的通fit为=0d4>=0d4>V. *制関柱坐标系中的散度农达式01 B(pAp)M.dA9v A = Inn z =+ + o A rp dpp(i<t>dz12

24、7现右三个矢斌A / «分别为A = efsin &cos Q + ecos 伙:os(f> 一 e4»in <f>B = ez2sin © + ez cos (/> + eg2pzsin ©C = S( 3y 2x) + ex2 + e22z(1) 试问哪些矢量可以由一个标啟函数的梯度衣示？哪些矢址可以由一个 冷臥数的旋度表示？(2) 求出这些矢址的源分布。解(1)在球坐标系中7 ir：Af + 金昇(sin 仇4.)+亠婆 rsin o a©=0d4>=0d4>d_ sin(f>)Jrsiu

25、 ff dd+ - (sin 0cos Ocos </>) + "in 0 d02 “. cog cb 2sm 0cos 6 cos <b=sin WcoR 0 + 七:一"二rrsin 0rrsin ftV x 4 二 一 sin 0drddf)rArsin 0Arsin 0c©=0d4>IH I * 期 “ ”i(2)连接点化(2.1, - 1)到点儿(82 - I)的也线h用为= 2LZ-? 即 x = 6y - 4y - 1 y - 2E d/ = J Etdx Eydy 三 J yd% + xdy=J yd(6y - 4 ) +

26、(6y - 4) dy = J (12y - 4) <1y =14由此可见积分与路径无艾故是保守场C 1，41.26试采用与推导直角坐标系中V A =于+ 一 相似的方法推导 dx dy az圆柱坐标系中的公式vA *診叽）罟;+警。解 在圆杖坐标系中取小体积元如图题126所示。欠量场A沿方向穿出该六而体衣血的通址为 4A“ :兀卜（卩 + Ap）dzd</）-J J人莎日川</>q (p + Ap)4p(p + Ap4.z)- pAp(p4Q J A</>AzQ兰叫2& “Azp同理九 i Jp<k"(。“氛门-心(“冷“)ApAz

27、 dApApA(/>Ad</>dA.=A VpB$V 二V x /I 02p>iii(/>,V C = 0, V x C = e. (2x - 6y)I " 仙川M角坐标系证明v (；4) =/V 4 + A V/nl 6 d巾坐标系中咚+致+四+m警+久詈書)dx dy dzdA=(燈心防(碍+熾+唱也£)<?y嗚()诗S)哼S八")». 29 证明V (4 x H) =：/-Vx4-A-VxHbi根据算了的微分运算性质JiV (4 X /) = V4 (4 x “)+ V;/ (4 x H)*屮 '(表示只

28、对矢啟/1做微分运算，衣示只对矢址R做微分运算 ill a (bxc) =c (axb),可得V(A x H) = / - ( V4 x A) = / ( V x A ) (4 x /) = - A ( x H) = - A ( V x H)V (4 x /) = H- VxA-4-VxH1.30利川宜角坐标系证明V x (/G) =/V xG + V/xGul在直角坐标系中,f V x G =dzr sin 0rcos 6/cos </)rsin 幺.2一 rsin 0sin </>=0故XM A既可以由亍杯甩两数的梯度衣示，也可以山一个矢址臥数的旋皮丄3(旳)+丄退+退 p ap pa© dz在圆柱坐标系中1= p訓5 ©)1 + p云</>) + " (2pzii 0) dzzin ©z2sin &l