第九章统计与概率（教案）

1、§9.1 统计及统计案例教学目的：1.理解三种抽样方法的特点；2.会用样本的频率去估计总体分布；3.了解正态分布的意义、主要性质及应用；4.了解线性回归的方法，会求线性回归方程。教学重点：三种抽样方法的特点; 正态分布的意义、主要性质及应用教学难点：会用样本的频率去估计总体分布教学过程：一、知识梳理1.三种常用抽样方法:（1）简单随机抽样：设一个总体的个数为N。如果通过逐个抽取的方法从中抽取一个样本，且每次抽取时各个个体被抽到的概率相等，就称这样的抽样为简单随机抽样。简单随机抽样的常用方法：抽签法，随机数表法用随机数表进行抽样的步骤：将总体中的个体编号；选定开始号码；获取样本号码。（

2、2）系统抽样（也称为机械抽样）：当总体的个数较多时，采用简单随机抽样较为费事。这时可将总体分成均衡的几个部分，然后按照预先定出的规则，从每一部分抽取一个个体，得到所需要的样本，这种抽样叫做系统抽样（也称为机械抽样）。系统抽样的步骤：采用随机的方式将总体中的个体编号；整个的编号分段（即分成几个部分），要确定分段的间隔k。当N/n（N为总体中的个体的个数，n为样本容量）是整数时，k=N/n;当N/n不是整数时，通过从总体中剔除一些个体使剩下的总体中个体的个数N能被n整除，这时k=N/n；在第一段用简单随机抽样确定起始的个体编号1；按照事先确定的规则抽取样本（通常是将1加上间隔k得到第2个编号1+k

3、,第3个编号1+2k，这样继续下去，直到获取整个样本）。（3）分层抽样：当已知总体由差异明显的几部分组成时，为了使样本更充分地反映总体的情况，常将总体分成几个部分，然后按照各部分所占的比例进行抽样，这种抽样叫做“分层抽样”，其中所分成的各部分叫做“层”。三种抽样方法的比较类别共同点各自特点相互联系适用范围简单随机抽样抽样过程中每个个体被抽取的概率相等从总体中逐个抽取总体中的个数较少系统抽样将总体均分成几部分，按事先确定的规则分别在各部分中抽取在起始部分抽样时采用简单随机抽样总体中的个数较多分层抽样将总体分成几层，分层进行抽取各层抽样时采用简单随机抽样或系统抽样总体由差异明显的几部分组成2、总体

4、分布的估计：随着试验次数的不断增加,试验结果的频率值在相应的概率值附近摆动.当试验次数无限增大时,频率值就变成相应的概率了.此时随着样本容量无限增大其频率分布也就会排除抽样误差,精确地反映总体取的概率分布规律,通常称为总体分布.用样本的频率分布去估计总体分布：由于总体分布通常不易知道,我们往往用样本的频率分布去估计总体分布,一般地,样本容量越大,估计越精确.总体分布的估计的两种方式(1)频率分布表 (2)频率分布直方图。3、正态分布的概念及主要性质：正态分布的概念：如果连续型随机变量的概率密度曲线为，其中为常数，并且，则称服从正态分布，简记为。正态分布的期望与方差：若，则。正态分布的主要性质：

5、）曲线在x轴上方，并且关于直线x=对称；）曲线在x=时处于最高点，由这一点向左右延伸时，曲线逐渐降低；）曲线的对称轴位置由确定；曲线的形状由确定，越大，曲线越：“矮胖”；反之曲线越“高瘦”。标准正态分布：当=0，=1时，可以写成，这时称服从标准正态分布，简记为。标准正态分布的函数表：由于标准正态分布应用十分广泛，已制成专门的标准正态函数表，供人们查阅。在标准正态分布表中，相应于每一个的函数值是指总体取小于的值的概率（函数实际上是正态总体N(0,1)的累积分布函数），即=。若，则，4、线性回归：(1)相关关系：自变量取值一定时，因变量的取值带有一定随机性的两个变量之间的关系。注：与函数关系不同，

6、相关关系是一种非确定性关系。(2)回归分析：对具有相关关系的两个变量进行统计分析的方法。(3)散点图：表示具有相关关系的两个变量的一组数据的图形。(4)回归直线方程：，其中， 。相应的直线叫回归直线，对两个变量所进行的上述统计叫做回归分析。(5)相关系数：相关系数的性质：（1）|r|1。（2）|r|越接近于1，相关程度越大；|r|越接近于0，相关程度越小二、典型例题：例1：某批零件共160个，其中一级品有48个，二级品64个，三级品32个，等外品16个从中抽取一个容量为20的样本请说明分别用简单随机抽样、系统抽样、分层抽样法抽取时总体中的每个个体被取到的概率相同解：（1）简单随机抽样法：可采用

7、抽签法，将160个零件按160编号，相应地制做160号的160个签，从中随机抽个。显然每个个体被抽到的概率为。（2）系统抽样法：将160个零件按160编号，按编号顺序分成20组，每组8个。先在第一组用抽签法抽得号，则在其余组中分别抽得第号，此时每个个体被抽到的概率为。（3）分层抽样法：按比例，分别在一级品，二级品，三级品，等外品，是抽取个，个，个，个。每个个体被抽到的概率分别为，即都是。综上所述，无论采取哪种抽样，总体和每个个体被抽到的概率都是。说明：三种抽样方法的共同点就是每个个体被抽到的概率相同，这样样本的抽取体现了公平性和客观性。例2：将温度调节器放置在贮存着某种液体的容器内，调节器设定

8、在，液体的温度（单位：）是一个随机变量，且。（1） 若，求的概率（2） 若要保持液体的温度至少为的概率不低于0.99，问至少是多少？（其中若）。剖析：（1）要求P（）F（89），因为不是标准正态分布，而给出的是，故需转化为标准正态分布的数值。（2）转化为标准正态分布下的数值求概率，再利用解：（1）（2）由已知满足说明：（1）若（2）标准正态分布的密度函数是偶函数，时，为增函数，时，为减函数。例3：已知测量误差，必须进行多少次测量，才能使至少有一次测量误差的绝对值不超过的频率大于0.9？解：设表示次测量中绝对误差不超过的次数，则其中由题意，因此，至少要进行3次测量，才能使至少有一次误差的绝对值不

9、超过的概率大于0.9。例4：有一个容量为100的样本，数据的分组及各组的频数如下：（1）列出样本的频率分布表；（2）画出频率分布直方图；（3）估计数据小于30.5的概率。解：（1）样本的频率分布如下：分组频数频率12.515.560.0615.518.5160.1618.521.5180.1821.524.5220.2224.527.5200.2027.530.5100.1030.533.580.08合计100100（2）频率分布直方图如图（3）数据大于等于30.5的频率是0.08，所以，小于30.5的频率是0.92. 所以，小于30.5的概率约是0.92.例5：一个工厂在某年里每月产品的总成

10、本y（万元）与该月产量x（万件）之间有如下一组数据：x1.081.121.191.281.361.481.591.681.801.871.982.07y2.252.372.402.552.642.752.923.033.143.263.363.50(1) 画出散点图(2) 求月成本与月产量之间的回归直线方程。解：（1）画出散点图如图所示：（2）列出下表，并用科学计算器进行有关计算i123456789101112xi1.081.121.191.281.361.481.591.681.801.871.982.07yi2.252.372.402.552.642.752.923.033.143.263

11、.363.50xiyi2.432.6542.8563.2643.5904.074.6435.0905.6526.09666537.245 ,于是由公式可得：，因此所求的回归直线方程是说明：求线性回归直线方程的步骤：（1）画散点图观察相关性（2）列出表格，求出某些数据（3）代入公式求得a,b，进而得到直线方程。§9.2 随机事件的概率教学目的：使学生了解一个随机事件的发生既有随机性，又在大量重复试验中存在着一种客观规律性频率的稳定性，以引出随机事件概率的意义和计算方法。教学重点：深刻理解随机事件在试验中发生的可能性大小的刻划方法，是用客观存在着的一个小于1的正数来表示。教学难点：深刻理

12、解随机事件在试验中发生的可能性大小的刻划方法，是用客观存在着的一个小于1的正数来表示。教学过程：一、知识梳理1.从这节开始，大约用12课时来学习一个新的数学分支“概率论”初步。“概率论”是研究随机现象规律性的科学，随着现代科学技术的发展，“概率论”在自然科学、社会科学和工农业生产中得到了越来越广泛的应用。在现实世界中，随机现象是广泛存在的，而“概率论”正是一门从数量这一侧面研究随机现象规律性的数学学科。学习这一章之后对有些事件的发生或不发生或发生的可能性是百分之几有个估计和推算。这对是否能完成某一任务有一定的了解。从而增强在工作中的主动性，减少在工作中的盲目性，使工作能达到预想的最好结果。2.

13、在实际生活中，往往在完全相同的综合条件下出现的结果是不相同的。为了叙述的方便，我们把条件每实现一次，叫做进行一次试验，试验的结果中所发生的现象叫做事件。由于在一定的条件下某些结果是一定发生或一定不发生或可发生也可不发生，所以事件被分为必然事件、不可能事件和随机事件三种。这节课要通过几个实例说明现实生活中确实存在着以上三种事件；这节课还要通过实例说明一个随机事件的发生是存在着统计规律性的，一个随机事件发生的频率总是在某个常数附近摆。我们给这个常数取一个名字，叫做这个随机事件的概率。它从数量上反映了这个事件发生的可能性的大小。3.（1）事件：在一定的条件下所出现的某种结果叫做事件。事件共分三种：必

14、然事件记作U（在一定的条件下必然要发生的事件），不可能事件记作V（在一定的条件下不可能发生的事件）、随机事件记作A、B等（在一定的条件下可能发生也可能不发生的事件）。（2）随机事件在一次试验中是否发生不能事先确定，但是在大量重复试验的情况下，它的发生具有一定的规律性，或称随机事件频率的稳定性，现在引出概率的统计定义：在n次重复进行同一试验时，事件A发生的次数为m次，则称事件A发生的频率m/n为事件A的概率，记作P（A）。由于随机事件A在各次试验中可能发生，也可能不发生，所以它在n次试验中发生的次数（称为频数）m可能等于0（n次试验中A一次也不发生），可能等于1（n次试验中A只发生一次），也可能

15、等于n（n次试验中A每次都发生）。我们说，事件A在n次试验中发生的频数m是一个随机变量，它可能取得0、1、2、n这n+1个数中的任一个值。于是，随机事件A的频率P（A）=m/n也是一个随机变量，它可能取得的值介于0与1之间，即0P（A）1。特别，必然事件的概率为1，即P（U）=1；不可能事件的概率为0，即P（V）=0。这里说明随机事件的频率究竟取得什么值具有随机性。然而，经验表明，当试验重复多次时随机事件的频率又具有稳定性。（3） 利用概率的统计定义，在计算每一个随机事件概率时都要通过大量重复的试验，列出一个表格，从表格中找到某事件出现频率的近似值作为所求概率。二、典型例题：例：进行这样的试验

16、：从0、1、2、9这十个数字中随机取一个数字，重复进行这个试验10000次，将每次取得的数字依次记下来，我们就得到一个包括10000个数字的“随机数表”。在这个随机数表里，可以发现0、1、2、9这十个数字中各个数字出现的频率稳定在0.1附近。归纳小结：随机事件在现实世界中是广泛存在的。在一次试验中，事件是否发生虽然带有偶然性，但在大量重复试验下，它的发生呈现出一定的规律性，即事件发生的频率总是接近于某个常数，在它附近摆动，这个常数就叫做这一事件的概率，记作P（A）。且0P（A）1。§9.3 古典概型教学目的：通过等可能事件概念的讲解，使学生得到一种较简单的、较现实的计算事件概率的方法

17、。教学重点：熟练、准确地掌握有关排列、组合的知识是顺利求出等可能事件概率的重要方面。教学难点：熟练、准确地掌握有关排列、组合的知识是顺利求出等可能事件概率的重要方面。教学过程：一、知识梳理1.等可能事件的意义：对于有些随机试验来说，每次试验只可能出现有限个不同的试验结果，而出现所有这些不同结果的可能性是相等的（或叫机会均等原理）。2.等可能性事件概率的计算方法（概率的古典定义）：如果一次试验中共有n种等可能出现的结果，其中事件A包含的结果有m种，那么事件A的概率P（A）是m/n（mn）。这里再介绍一种概率古典定义的叙述方法：若事件A1，A2，A3，An发生的机会是相同的，则称它们为等可能性事件

18、，其中Ai（i=1，2，n）称为基本事件（n为基本事件总数），如果事件A中包含的结果有其中的m种，那么事件A的概率P（A）=m/n，即二、典型例题例1:从52张扑克牌中任意抽取一张（记作事件A），那么不论抽到哪一张都是机会均等的，也就是等可能性的，不论抽到哪一张花色的红心的牌（记作事件B）也都是等可能性的；又不论抽到哪一张印有“A”字样的牌（记作事件C）也都是等可能性的。下面我们给出事件A、B、C发生的概率的概念和计算方法。P（A）=52/52=1，P（B）=13/52=1/4，P（C）=4/52=1/13。例2：(2008山东卷,理)在某地的奥运火炬传递活动中，有编号为的18名火炬手若从中任

19、选3人，则选出的火炬手的编号能组成以3为公差的等差数列的概率为（ ） A BCD解：B. 古典概型问题，基本事件总数为。选出火炬手编号为，时，由可得4种选法；时，由可得4种选法；时，由可得4种选法。例4：(2008江西卷,理，文)电子钟一天显示的时间是从0000到2359，每一时刻都由四个数字组成，则一天中任一时刻显示的四个数字之和为23的概率为 A B C D解：C. 一天显示的时间总共有种,注意到,分钟的两个数字的和最大为,所以只能有因此,和为23总共有4种,故所求概率为.例5：(2008海南,宁夏卷,文)为了了解中华人民共和国道路交通安全法在学生中的普及情况，调查部门对某校6名学生进行问

20、卷调查6人得分情况如下： 5，6，7，8，9，10把这6名学生的得分看成一个总体（）求该总体的平均数；（）用简单随机抽样方法从这6名学生中抽取2名，他们的得分组成一个样本求该样本平均数与总体平均数之差的绝对值不超过0.5的概率解：（）总体平均数为（）设表示事件“样本平均数与总体平均数之差的绝对值不超过0.5”从总体中抽取2个个体全部可能的基本结果有：，共15个基本结果事件包括的基本结果有：，共有7个基本结果所以所求的概率为例6：(2008广东卷,文)某初级中学共有学生2000名，各年级男、女生人数如下表：初一年级初二年级初三年级女生373男生377370已知在全校学生中随机抽取1名，抽到初二年

21、级女生的概率是0.19（1）求的值；（2）现用分层抽样的方法在全校抽取48名学生，问应在初三年级抽取多少名？（3）已知，求初三年级中女生比男生多的概率解：（1），（2）初三年级人数为，现用分层抽样的方法在全校抽取48名学生，应在初三年级抽取的人数为：名（3）设初三年级女生比男生多的事件为，初三年级女生男生数记为；由（2）知，且，基本事件空间包含的基本事件有：，共11个事件包含的基本事件有：，共5个 例7：(2008山东卷,文)现有8名奥运会志愿者，其中志愿者通晓日语，通晓俄语，通晓韩语从中选出通晓日语、俄语和韩语的志愿者各1名，组成一个小组（）求被选中的概率；（）求和不全被选中的概率解：（）从

22、8人中选出日语、俄语和韩语志愿者各1名，其一切可能的结果组成的基本事件空间，,，由18个基本事件组成由于每一个基本事件被抽取的机会均等，因此这些基本事件的发生是等可能的用表示“恰被选中”这一事件， 事件由6个基本事件组成，因而（）用表示“不全被选中”这一事件，则其对立事件表示“全被选中”这一事件，由于，事件有3个基本事件组成，所以，由对立事件的概率公式得例8：(2004浙江卷,文)某地区有5个工厂，由于用电紧缺，规定每个工厂在一周内必须选择某一天停电（选哪一天是等可能的）.假定工厂之间的选择互不影响.()工厂均选择星期日停电的概率；（）至少有两个工厂选择同一天停电的概率. 解：()设5个工厂均

23、选择星期日停电的事件为A,则.()5个工厂选择的停电时间各不相同的事件为B,则因为至少有两个工厂选择同一天停电的事件是, 所以 例9：(2007安徽卷,文)在医学生物试验中，经常以果蝇作为试验对象一个关有6只果蝇的笼子里，不慎混入了两只苍蝇（此时笼内共有8只蝇子：6只果蝇和2只苍蝇），只好把笼子打开一个小孔，让蝇子一只一只地往外飞，直到两只苍蝇都飞出，再关闭小孔（I）求笼内恰好剩下1只果蝇的概率；（II）求笼内至少剩下5只果蝇的概率解：（I）以表示恰剩下只果蝇的事件以表示至少剩下只果蝇的事件可以有多种不同的计算的方法解法1（组合模式）：当事件发生时，第只飞出的蝇子是苍蝇，且在前只飞出的蝇子中有

24、1只是苍蝇，所以解法2（排列模式）：当事件发生时，共飞走只蝇子，其中第只飞出的蝇子是苍蝇，哪一只？有两种不同可能在前只飞出的蝇子中有只是果蝇，有种不同的选择可能，还需考虑这只蝇子的排列顺序所以由上式立得；（II）笼内至少剩下5只果蝇的概率为例11：有5副不同的手套，甲先任取一只，乙再任取一只，然后甲又任取一只，最后乙再取一只求甲正好取到两只配对手套的概率解：基本事件总数是包含的事件数为 取一双，方法数为， 到1、3位，方法数为2 剩下的8只中取两只放到2、4位，方法数为由乘法原理，包含的事件数为，由每种取法均是等可能的，得到归纳小结：用这节中的观点求随机事件的概率时，首先对于在试验中出现的结果

25、的可能性认为是相等的；其次是通过一个比值的计算来确定随机事件的概率，并不需要通过大量重复的试验。因此，从方法上来说这一节所提到的方法，要比上一节所提到的方法简便得多，并且更具有实用价值。§9.4 几何概型教学目的：了解几何概型的意义及其概率计算公式 教学重点：计算事件发生的概率教学难点：计算事件发生的概率教学过程：一、知识梳理（1）几何概率模型：如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型；（2）几何概型的概率公式：=；（3）几何概型的特点：1）试验中所有可能出现的结果（基本事件）有无限多个；2）每个基本事件出现的可能性相等二、

26、典型例题：例1：方程有实根的概率为（ ）A、 B、 C、 D、解：由一元二次方程有实根的条件，而，由几何概率得有实根的概率为答案：例2：某人欲从某车站乘车出差，已知该站发往各站的客车均每小时一班，求此人等车时间不多于分钟的概率解：假设他在060分钟之间任何一个时刻到车站等车是等可能的,但在0到60分钟之间有无穷多个时刻,不能用古典概型公式计算随机事件发生的概率.可以通过几何概型的求概率公式得到事件发生的概率.因为客车每小时一班,他在0到60分钟之间任何一个时刻到站等车是等可能的,所以他在哪个时间段到站等车的概率只与该时间段的长度有关,而与该时间段的位置无关,这符合几何概型的条件.设事件等待的时

27、间不多于10分钟,我们所关心的事件恰好是到站等车的时刻位于50,60这一时间段内,因此由几何概型的概率公式,得即此人等车时间不多于10分钟的概率为在本例中，到站等车的时刻X是随机的，可以是0到60之间的任何一刻，并且是等可能的，我们称X服从0,60上的均匀分布，X为0,60上的均匀随机数例3：(2007海南和宁夏卷,文) 设有关于的一元二次方程（）若是从四个数中任取的一个数，是从三个数中任取的一个数，求上述方程有实根的概率（）若是从区间任取的一个数，是从区间任取的一个数，求上述方程有实根的概率解：设事件为“方程有实根”当，时，方程有实根的充要条件为（）基本事件共12个：其中第一个数表示的取值，

28、第二个数表示的取值事件中包含9个基本事件，事件发生的概率为（）试验的全部结束所构成的区域为构成事件的区域为所以所求的概率为例4：(2008江苏卷)在平面直角坐标系xOy中，若D表示横坐标与纵坐标的绝对值均不大于2的点构成的区域，E表示到原点的距离不大于1的点构成的区域，向D内随机地投一点，则落在E中的概率解：.区域表示边长为的正方形的边界和内部,区域表示单位圆的边界和内部,则例5：（CB对讲机问题）（CB即CitizenBand市民波段的英文缩写）两个CB对讲机持有者，莉莉和霍伊都为卡尔货运公司工作，他们的对讲机的接收范围为25公里，在下午3:0O时莉莉正在基地正东距基地30公里以内的某处向基

29、地行驶，而霍伊在下午3：00时正在基地正北距基地40公里以内的某地向基地行驶，试问在下午3：0O时他们能够通过对讲机交谈的概率有多大？解：设x和y分别代表莉莉和霍伊距某地的距离，于是则他俩所有可能的距离的数据构成有序点对(x,y),这里x，y都在它们各自的限制范围内，则所有这样的有序数对构成的集合即为基本事件组对应的几何区域，每一个几何区域中的点都代表莉莉和霍伊的一个特定的位置， 他们可以通过对讲机交谈的事件仅当他们之间的距离不超过25公里时发生（如右图）因此构成该事件的点由满足不等式的数对组成，此不等式等价于右图中的方形区域代表基本事件组，阴影部分代表所求事件，方形区域的面积为1200平方米

30、公里，而事件的面积为，于是有.例6：(意大利比萨问题)山姆的意大利馅饼屋中设有一个投镖靶 该靶为正方形板边长为18厘米，挂于前门附近的墙上，顾客花两角伍分的硬币便可投一镖并可有机会赢得一种意大利馅饼中的一个，投镖靶中画有三个同心圆，圆心在靶的中心，当投镖击中半径为1厘米的最内层圆域时可得到一个大比萨；当击中半径为1厘米到2厘米之间的环域时，可得到一个中比萨；如果击中半径为2厘米到3厘米之间的环域时，可得到一个小比萨，如果击中靶上的其他部分，则得不到比萨，我们假设每一个顾客都能投镖中靶，并假设每个圆的周边线没有宽度，即每个投镖不会击中线上，试求一顾客将嬴得：（1）一张大比萨，（2）一张中比萨，（

31、3）一张小比萨，（d）没得到比萨的概率解：我们实验的样本空间可由一个边长为18的正方形表示。右图表明R和子区域r1、r2、r3和r,它们分别表示得大馅饼、中馅饼、小馅饼或没得到馅饼的事件。；.例7：如图,在等腰直角三角形中,过直角顶点在内部任作一条射线与边交于点,求的概率.解:在边上,作,则落在内,则例8:把长为米的线段分成三段，能组成三角形的概率是多少？解:设分成的三段为则如果这三段能组成三角形，则满足 解得所以，所求的概率为§9.5 计数原理教学目的：正确理解和掌握加法原理和乘法原理;能准确地应用它们分析和解决一些简单的问题;发展学生的思维能力，培养学生分析问题和解决问题的能力教

32、学重点：加法原理，乘法原理教学难点：加法原理，乘法原理的区分教学过程：新课导入随着社会发展，先进技术，使得各种问题解决方法多样化，高标准严要求，使得商品生产工序复杂化，解决一件事常常有多种方法完成，或几个过程才能完成。 排列组合这一章都是讨论简单的计数问题，而排列、组合的基础就是基本原理，用好基本原理是排列组合的关键一、知识梳理我们先看下面两个问题(l)从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘汽车，还可以乘轮船一天中，火车有4班，汽车有 2班，轮船有 3班，问一天中乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有多少种不同的走法？ 因为一天中乘火车有4种走法，乘汽车有2种走法，乘轮船有3种走法，每一种走法都可以从甲

33、地到达乙地，因此，一天中乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有 4十2十3=9种不同的走法 一般地，有如下原理： 加法原理：做一件事，完成它可以有n类办法，在第一类办法中有m1种不同的方法，在第二类办法中有m2种不同的方法，在第n类办法中有mn种不同的方法那么完成这件事共有Nm1十m2十十mn种不同的方法(2) 我们再看下面的问题：由A村去B村的道路有3条，由B村去C村的道路有2条从A村经B村去C村，共有多少种不同的走法？ 这里，从A村到B村有3种不同的走法，按这3种走法中的每一种走法到达B村后，再从B村到C村又有2种不同的走法因此，从A村经B村去C村共有 3X2=6种不同的走法 一般地，有如下原理

34、：乘法原理：做一件事，完成它需要分成n个步骤，做第一步有m1种不同的方法，做第二步有m2种不同的方法，做第n步有mn种不同的方法那么完成这件事共有Nm1 m2mn种不同的方法二、典型例题 例1：书架上层放有6本不同的数学书，下层放有5本不同的语文书 1）从中任取一本，有多少种不同的取法？ 2）从中任取数学书与语文书各一本，有多少的取法？解：（1）从书架上任取一本书，有两类办法：第一类办法是从上层取数学书，可以从6本书中任取一本，有6种方法；第二类办法是从下层取语文书，可以从5本书中任取一本，有5种方法根据加法原理，得到不同的取法的种数是6十5=11答：从书架L任取一本书，有11种不同的取法（2

35、）从书架上任取数学书与语文书各一本，可以分成两个步骤完成：第一步取一本数学书，有6种方法；第二步取一本语文书，有5种方法根据乘法原理，得到不同的取法的种数是 N6X530答：从书架上取数学书与语文书各一本，有30种不同的方法例2：(1)由数字l，2，3，4，5可以组成多少个数字允许重复三位数？(2)由数字l，2，3，4，5可以组成多少个数字不允许重复三位数？(3)由数字0，l，2，3，4，5可以组成多少个数字不允许重复三位数？ 解：要组成一个三位数可以分成三个步骤完成：第一步确定百位上的数字，从5个数字中任选一个数字，共有5种选法；第二步确定十位上的数字，由于数字允许重复，这仍有5种选法，第三

36、步确定个位上的数字，同理，它也有5种选法根据乘法原理，得到可以组成的三位数的个数是N=5X5X5=125 答：可以组成125个三位数 归纳小结：要解决某个此类问题，首先要判断是分类，还是分步？分类时用加法，分步时用乘法；其次要注意怎样分类和分步，以后会进一步学习§9.6 排列与组合教学目的：掌握排列、排列数的概念以及排列数的两个计算公式，会用排列数公式计算和解决简单的实际问题理解组合的意义，掌握组合数的计算公式深刻理解排列与组合的区别和联系，掌握组合数的性质，并且能够运用它解决一些简单的应用问题教学重点：会用排列数公式、组合数的公式及性质计算和解决简单的实际问题教学难点：深刻理解排列

37、与组合的区别和联系教学过程：一、 知识梳理1.从n个不同元素中，任取m()个元素（这里的被取元素各不相同）按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列 2.定义：从n个不同元素中，任取m()个元素的所有排列的个数叫做从n个元素中取出m元素的排列数，用符号表示.排列数公式：=n(n-1)(n-2)(n-m+1)或 （其中mn m,nÎZ）3.组合的概念：一般地，从n个不同元素中取出m（mn）个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合 注：1不同元素 2“只取不排”无序性 3相同组合：元素相同 4.组合数的概念：从n个不同元素中取出m（mn）个元素的

38、所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数用符号表示推广： 一般地，求从n个不同元素中取出m个元素的排列数，可以分如下两步： 先求从n个不同元素中取出m个元素的组合数； 求每一个组合中m个元素全排列数，根据分布计数原理得： 组合数的公式： 或 5.组合数的 性质1：理解： 一般地，从n个不同元素中取出m个元素后，剩下n - m个元素因为从n个不同元素中取出m个元素的每一个组合，与剩下的n - m个元素的每一个组合一一对应，所以从n个不同元素中取出m个元素的组合数，等于从这n个元素中取出n - m个元素的组合数，即：在这里，我们主要体现：“取法”与“剩法”是“一一对应”的思想证明：

39、 又 注：1° 我们规定 2° 等式特点：等式两边下标同，上标之和等于下标3° 此性质作用：当时，计算可变为计算，能够使运算简化例如：=2002 4° 或组合数的 性质2：+ 证明： + 注：1° 公式特征：下标相同而上标差1的两个组合数之和，等于下标比原下标多1而上标与高的相同的一个组合数 2° 此性质的作用：恒等变形，简化运算在今后学习“二项式定理”时，我们会看到它的主要应用二、 典型例题例1： 7位同学站成一排，共有多少种不同的排法？ 解：问题可以看作：7个元素的全排列5040 7位同学站成两排（前3后4），共有多少种不同的排法

40、？ 解：根据分步计数原理：7×6×5×4×3×2×17！5040 7位同学站成一排，其中甲站在中间的位置，共有多少种不同的排法？ 解：问题可以看作：余下的6个元素的全排列=720 7位同学站成一排，甲、乙只能站在两端的排法共有多少种？ 解：根据分步计数原理：第一步 甲、乙站在两端有种；第二步 余下的5名同学进行全排列有种 则共有=240种排列方法 7位同学站成一排，甲、乙不能站在排头和排尾的排法共有多少种？ 解法一（直接法）：第一步 从（除去甲、乙）其余的5位同学中选2位同学站在排头和排尾有种方法；第二步 从余下的5位同学中选5位进行

41、排列（全排列）有种方法 所以一共有2400种排列方法解法二：（排除法）若甲站在排头有种方法；若乙站在排尾有种方法；若甲站在排头且乙站在排尾则有种方法所以甲不能站在排头，乙不能排在排尾的排法共有=2400种 小结一：对于“在”与“不在”的问题，常常使用“直接法”或“排除法”，对某些特殊元素可以优先考虑例2 ： 7位同学站成一排 甲、乙两同学必须相邻的排法共有多少种？解：先将甲、乙两位同学“捆绑”在一起看成一个元素与其余的5个元素（同学）一起进行全排列有种方法；再将甲、乙两个同学“松绑”进行排列有种方法所以这样的排法一共有1440种甲、乙和丙三个同学都相邻的排法共有多少种？ 解：方法同上，一共有7

42、20种甲、乙两同学必须相邻，而且丙不能站在排头和排尾的排法有多少种？ 解法一：将甲、乙两同学“捆绑”在一起看成一个元素，此时一共有6个元素，因为丙不能站在排头和排尾，所以可以从其余的5个元素中选取2个元素放在排头和排尾，有种方法；将剩下的4个元素进行全排列有种方法；最后将甲、乙两个同学“松绑”进行排列有种方法所以这样的排法一共有960种方法解法二：将甲、乙两同学“捆绑”在一起看成一个元素，此时一共有6个元素，若丙站在排头或排尾有2种方法，所以丙不能站在排头和排尾的排法有种方法解法三：将甲、乙两同学“捆绑”在一起看成一个元素，此时一共有6个元素，因为丙不能站在排头和排尾，所以可以从其余的四个位置

43、选择共有种方法，再将其余的5个元素进行全排列共有种方法，最后将甲、乙两同学“松绑”，所以这样的排法一共有960种方法小结二：对于相邻问题，常用“捆绑法”（先捆后松）例3： 7位同学站成一排甲、乙两同学不能相邻的排法共有多少种？解法一：（排除法）解法二：（插空法）先将其余五个同学排好有种方法，此时他们留下六个位置（就称为“空”吧），再将甲、乙同学分别插入这六个位置（空）有种方法，所以一共有种方法甲、乙和丙三个同学都不能相邻的排法共有多少种？ 解：先将其余四个同学排好有种方法，此时他们留下五个“空”，再将甲、乙和丙三个同学分别插入这五个“空”有种方法，所以一共有1440种小结三：对于不相邻问题，常

44、用“插空法”（特殊元素后考虑）例4:4名男生和6名女生组成至少有1个男生参加的三人实践活动小组，问组成方法共有多少种？ 解法一：（直接法）小组构成有三种情形：3男，2男1女，1男2女，分别有，所以一共有+100种方法 解法二：（间接法）例5:100件产品中有合格品90件，次品10件，现从中抽取4件检查 都不是次品的取法有多少种？ 至少有1件次品的取法有多少种？ 不都是次品的取法有多少种？ 解： ； ； 例6:从编号为1，2，3，10，11的共11个球中，取出5个球，使得这5个球的编号之和为奇数，则一共有多少种不同的取法？ 解：分为三类：1奇4偶有 ；3奇2偶有；5奇1偶有 所以一共有+例7:现

45、有8名青年，其中有5名能胜任英语翻译工作；有4名青年能胜任德语翻译工作（其中有1名青年两项工作都能胜任），现在要从中挑选5名青年承担一项任务，其中3名从事英语翻译工作，2名从事德语翻译工作，则有多少种不同的选法？解：我们可以分为三类： 让两项工作都能担任的青年从事英语翻译工作，有； 让两项工作都能担任的青年从事德语翻译工作，有； 让两项工作都能担任的青年不从事任何工作，有 所以一共有+42种方法例8:甲、乙、丙三人值周，从周一至周六，每人值两天，但甲不值周一，乙不值周六，问可以排出多少种不同的值周表 ？ 解法一：（排除法） 解法二：分为两类：一类为甲不值周一，也不值周六，有；另一类为甲不值周一

46、，但值周六，有所以一共有+42种方法例9:6本不同的书全部送给5人，每人至少1本，有多少种不同的送书方法？ 解：第一步从6本不同的书中任取2本“捆绑”在一起看成一个元素有种方法；第二步将5个“不同元素（书）”分给5个人有种方法根据分步计数原理，一共有1800种方法归纳小结：1对有约束条件的排列问题，应注意如下类型： 某些元素不能在或必须排列在某一位置；某些元素要求连排（即必须相邻）；某些元素要求分离（即不能相邻）；2基本的解题方法： 有特殊元素或特殊位置的排列问题，通常是先排特殊元素或特殊位置，称为优先处理特殊元素（位置）法（优限法）； 某些元素要求必须相邻时，可以先将这些元素看作一个元素，与

47、其他元素排列后，再考虑相邻元素的内部排列，这种方法称为“捆绑法”； 某些元素不相邻排列时，可以先排其他元素，再将这些不相邻元素插入空挡，这种方法称为“插空法”； 在处理排列问题时，一般可采用直接和间接两种思维形式，从而寻求有效的解题途径，这是学好排列问题的根基3. 解决实际问题时首先要看是否与顺序有关，从而确定是排列问题还是组合问题，必要时要利用分类和分步计数原理§9.7 二项式定理教学目的：1二项式定理及有关概念，公式；二项式系数性质2.了解二项式定理在整除性的判断等方面的应用；掌握解决与二项式定理有关的综合问题的思想方法3.提高综合素质，培养应用能力教学重点：二项式定理及有关概念

48、，公式的应用教学难点：二项式定理与其他学科知识综合问题的分析与求解教学过程：一、知识梳理二项式定理：(ab)nCanCan-1b1Can-rbrCbn通项公式：Tr1Can-rbr 二项式系数：C二项式系数性质：CC，即对称性当n为偶数时，最大当n为奇数时，且最大各项系数之和：CCCC2n二、典型例题例1：已知()n展开式中第五项的系数与第三项的系数比是101，求展开式中含x的项分析：先根据已知条件求出二项式的指数n，然后再求展开式中含x的项因为题中条件和求解部分都涉及指定项问题，故选用通项公式解：T5C·()n-4·()4C·24·，T3C·

49、()n-2·()2C·22·，即：C·2210C化简，得n2-5n-240n8或n-3(舍)Tr1C()8-r·()rC·2r·由题意：令1，r2展开式中含x的项为第3项T3C·22x112x例2：如果12C22C2nC2187，求CCC的值分析：12C22C2nCC·1n2C·1n-122·C·1n-22n·C(12)n3n解：12C22C2nC3n，3n218737n7CCCC2n，CCC2n-1原式CCC27-1127评述：要注意观察二项式系数的特征例3：求(

50、12x-3x2)5展开式中x5的系数分析：由于三项式的展开式无现成公式，因此应把它转化为二项式的展开式，然后再求x5的系数解法一：(12x-3x2)51(2x-3x2)515(2x-3x2)10(2x-3x2)210(2x-3x2)35(2x-3x2)4(2x-3x2)515x(2-3x)10x2(2-3x)210x3(2-3x)35x4(2-3x)4x5(2-3x)5x5的系数为上式各项中含x5的项系数和即：10C·21·(-3)25C·23·(-3)12592解法二：(12x-3x2)5(1-x)5·(13x)5(1-5x10x2-10x3

51、5x4-x5)·(115x90x2270x3405x4243x5)展开式中x5的系数为243-5·405270·10-10·905·15-192例4：求(-)9的展开式中的有理项分析：因为只需求出展开式中的有理项，所以可运用通项公式求解解：Tr1C()9-r(-)r(-1)rC·x，其中r0，1，2，9由题意得应为整数，r0，1，2，9经检验，知r3和r9，展开式中的有理项为T4-C·x4-84x4；T10-C·x3-x3例5:已知(1-2x)7a0a1xa2x2a7x7，求(1)a1a2a7； (2)a1a3a5

52、a7； (3)a0a2a4a6分析：由(1-2x)7a0a1xa2x2a7x7对于x而言是一个恒等式，于是通过x的取值可进行求解解：(1)(1-2x)7a0a1xa2x2a7x7，令x1，得a0a1a2a7-1令x0得a01，a0a1a2a7-2(2)令x-1，得a0-a1a2-a3a6-a7372187由上式得a1a3a5a71094；a0a2a4a61093评述：在解决与系数有关的问题时，常用“赋值法”，这种方法是一种重要的数学思想方法归纳小结：应熟练掌握二项式定理及有关公式、性质的应用基本掌握解决与此有关的问题的思想方法 §9.8 离散形随机变量及其分布列教学目的：1了解随机变量、离散型随机变量、连续型随机变量的意义，并能说明随机变量取的值所表示的随机试验的结果2通过本课的学习，能举出一些随机变量的例子，并能识别是离散型随机变量，还是连续型随机变量3.会求某些简单的离散型随机变量的分布列掌握离散型随机变量的分布列的两个基本性质，并会用它来解决一些简单的问题教学重点：随机变量，离散型随机变量，连续型随机变量的概念的。理解离散型变量的分布列及其求法教学难点：