杆件受力变形及其应力分析

1、-57 第三章杆件受力变形及其应力分析§3-1 概一、构件正常工作的基本要求为了保证机器或工程结构的正常工作，构件必须具有足够的承受载荷的能力简称承载能力）。为此，构件必须满足下列基本要求。1畅足够的强度;齿轮的轮齿正常工作时不应折断。它是构件首先应满足的要求图3-1构件刚度不够产生的影响例如，起重机的钢丝绳在起吊不超过额定重量时不应断裂 等。可见，所谓足够的强度是指构件具有足够的抵抗破坏的能力2畅足够的刚度在某些情况下，构件受载后虽未破裂 ，但由于变形过量 也会使机械不能正常工作。图3-1所示的传动轴 ，由于变形过大，将使轴上齿轮啮合不良，轴颈和轴承产生局部磨损从而引起振动和噪声，

2、影响传动精度。因此，所谓足够的刚度是指构件具有足够的抵抗弹性变形的能力。应当指出，也有某些构件反而要求具有一定的弹性变形 能力，如弹簧、仪表中的弹性元件等。3畅足够的稳定性例如千斤顶中的螺杆等类似的细长直杆，工作时当压力较小时 ，螺杆保持直线的平衡形式；当压力增大到某一数值时 ，螺杆就会突然变弯。这种突然改变原有平衡形式的现象称为失稳。因此，所谓足够的稳定性是指构件具有足够的保持原有平衡形式的能力。上述的基本要求均与构件的材料、结构、截面形状和尺寸等有关。所以，设计时在保证构件正常工作的前提下，还应合理地选择构件的材料和热处理方法，并尽量减小构件的尺寸，以做到材尽其用，减轻重量和降低成本。二、

3、变形固体及其基本假设自然界中的一切物体在外力作用下或多或少地总要产生变形。在本书第二章中，由于物体产生的变形对所研究的问题影响不大，所以在该章中把所有物体均视为刚体。而在图3-1中,如果轴上任一横截面的形心，其径向位移只要达到o畅oca（为轴的支承间的距离），尽管此时构件变形很小，但该轴已失去了正常工作的条件。因为这一微小变形是影响构件能否正常工作的主要因素。因此，在本章中所研究的一切物体都是变形固体。在对构件进行强度、刚度和稳定性的计算时，为了便于分析和简化计算，常略去变形固体的一些影响不大的次要性质。为此，就需对变形固体作如下的假设：1畅均匀连续假设认为构成变形固体的物质毫无空隙地充满其整

4、个几何容积，并且各处具有相同的性质2畅各向同性假设 认为材料在各个不同的方向具有相同的力学性能。即使将上述假设 （如轧钢、木材等），也可得到令人满意的结果。实践证明，根据上述假设所建立的理论和计算的精度是符合工程要求的 用于或有条件地用于某些具有方向性的材料三、杆件变形的基本形式在机器或工程结构中，构件的形式的，若构件的长度远大于横截面的尺寸 为杆件或杆。轴线横截面形心的连线称为直杆（图3 2 a）;轴线是曲线的杆称为曲杆是多种多样 ,则该构件称 ）是直线的杆图32 b）。各横截面的形状、:尺寸完全相同的杆称为 等截面杆（图3 2a），否则为变截面杆（图32b）。工程上比较常见的是等截面直杆，

5、简称等直杆，例如传动轴、销钉、拉紧的钢丝绳、立柱和梁等。本章以等直杆为主要研究对象。杆件在不同形式外力作用下将产生不同形式的变形，其中轴向拉伸（图33a）或压缩（图33b）、剪切（图33c）、扭转（图3 3d）与弯曲（图33e）是变形的四种基本形式 形都是上述几种基本变形的组合。轴践横截面(b)图32杆件。其他比较复杂的变-59 -# 图3 3杆件变形的基本形式-# 例如图3 4所示悬臂吊车的拉杆。图3 4悬臂吊车§32轴向拉伸和压缩一、轴向拉伸和压缩的概念机器和结构物中，很多构件受到拉伸或压缩的作用 图35所示内燃机的连杆，即是杆件受拉伸或压缩的实例-# -# 为轴这长力短件的共同

6、特气、b）:这种变或形式称合力向拉伸或用线与杆的轴此类杆件称为拉其主要变形、拉伸和压缩时的内力、截面法和轴力1畅3力的概念 对于所研究的构件来说，其他构件或物体作用于其上的力均为外力。构件在外力作用下而变形时，其内部各质点之间的相互作用力发生了改变。这种因外力作用而引起的构件内各质点之间的相互作用力的改变量，称为附加内力，简称为内力。在一定限度内，内力随外力的增大而增加。若内力超过了这一限度，则构件将被破坏。因此，为使构件安全正常地工作，必须研究构件的内力 。2|截面法和轴力图36所示为一拉杆。为了确定任一横截面m m上的内力，假想沿该截面将杆截开成两段。若弃去右段，保留左段来研究（图36b）

7、。这时，由于左段仍保持平衡，所以在截面m m上必然有一个力F连续分布内力的合力 ）的作用，它是杆件右段对左段的作用力，是一个内力。由平衡条件可得若取杆件右段来研究（图3 6c），其结果相同=F。若杆件为压杆，仍可得出上述结论轴向拉-# 伸或压缩时，横截面上的内力F是一个沿杆件轴线的力，故称为轴力。显然，轴力可以是拉力图36 ）也可以是压力。为便于区别，规定：拉力以正, 综上所述，应用截面法求内力的步骤是:段。】）在欲求内力的截面处，假想地将杆件截成两部分对它的作用一段，在截面上加上内力 曰弋替弃去3）运用平衡条件确定内力的大小和方向 例3 1】 F 2、F3的作用，其作用点分别为 段的轴力。解

8、由于杆上有三个外力，因此在 的横截面上将有不同的轴力。O图37a所示为一杆沿轴线同时受A、C、B、求杆各图36截面法求轴力AC段和BC段-61 -# F詁在图AC段7内任一横平衡条件知处将沿杆两段戋：取左段研究滞方向段对左段拉力用以内力平衡 方程得这就是AC段内任一横截面上的内力钞X =0 尸 N1 F 1 =0F N1 =F 1 =2 kNo2）在CB段内任一横截面方向一时不易确定，可将FN22 2处将杆截开 先设为拉力，如图，仍取左段研究。此时因截面2 2上内力F N2的37c所示，再由平衡方程结果中的负号说明钞 X =0 尸 N2 F 1 +F2 =02 =F 1 F 2 = （2 3）

9、 kN=1 kN，该截面上的轴力方向与原设的方向相反，即F N2为压力，其值为1 kN此即CB段内任一横截面上的内力以上的计算都是选取左段研究，如果选取右段为研究对象，可得到同样的结果三、应力的概念、拉 压）杆横截面上的应力1阪力概念在确定了拉压）杆的内力后，还无法判断杆件的强度是否足够。例如两根材料相同而粗细不同的拉杆，在同样拉力的作用下，它们的内力相同。但当拉力逐渐增大时 ，细杆先被拉断。-# 这说明杆件的强度不仅与内力有关，而且还与截面的面积有关 。因此，就需要引入应力的概念应力用来描述杆件截面上的分布内力集度，即内力分布的强弱。如果内力在截面上均匀分布，则单位面积上的内力称为应力。应力

10、的单位为Pa帕），IPa=l Nh2由于此单位较小常用 MP a兆帕）或GP a吉帕），MP尸l 09°'P，lGP&lOPa2懺压）杆横截面上的应力为了研究拉 压）杆横截面上的应力，可先观察实验现象。现取一等直杆，在其表面画出许多 与轴线平行的纵线和与它垂直的横线（图3 -8 a）。在两端施加一对轴向拉力F之后，可以发现所有纵向线的伸长都相等，而横向线仍保持为直线，并仍与纵向线垂直 图3-8b）。据此现 象可设想杆件由无数纵向纤维所组成，且每根纵向纤维都受到同样的拉伸。由此可以得知：杆件在轴向拉伸时横截面仍保持为平面，内力在横截面上是均匀分布的，它的方向与横截面垂直

11、。即横截面上各点的应力大小相等，方向皆垂直于横截面 图3-8c） a垂直于截面的应力称为正应力，以b表示。若拉杆的横截面积为A，则由以上分析可知，拉杆横截面上的正应力为(r= A(31)式中:F横截面的轴力，N; 横截面面积 ，m2对于轴向压缩的杆件，上式同样适用由于前面规定了轴力的正负号力为正，压应力为负 。四、材料在拉伸和压缩时的力学性质，F N有正负之别：拉应这说由经验可知，两根粗细相同，受同样拉力的钢丝和铜丝 ，钢丝不易拉断，而铜丝易拉断明不同的材料抵抗破坏的能力是不同的。因此，构件的强度与材料的力学性质有关。所以除了要分析构件受力时的应力外，还应了解材料受力时的力学性质。所谓力学性质

12、，主要是指材料在拉伸试验是研究材料力学性变曲线用、最基本的试验 。为了使不同材料的试验结果便于比外力作用下，变形与所受外力之间的关系。它必须通过各种实验来测定。下面介绍材料在常温、静 载条件下拉伸和压缩时的力学性质。这里的常温、静载，是指在室温下载荷由零逐渐缓慢地增加。较，须将材料按国家标准制成标准试件（图3-9）。试件的两端为装夹部分，标记m、n之间的等截面杆段为试验段 ，其长度L称为标距，对圆截面试件规定L =1 d或5d a d为试件的直径。试验时缓慢加载，随着轴向载荷 F的增加，试件被逐渐拉长，试验段的伸长量用 AL表示，试 验进行到试件断裂为止 。在试验机上一般都有自动绘图装置，能自

13、动绘岀载荷 F与伸长 AL间的关系曲线 F -AL曲线），称为试件的拉伸图 。低碳钢的拉伸图如图 3 -10所示。拉伸图既与材料的力学性质有关，又与试件的几何尺寸有关。例如，如果试件做得粗一些，产生相同的伸长所需的拉力就大一些；如果试件的标距长一些，则在同样的拉力作用下，伸长也-#会大一些。为了消除试件尺寸的影响，使试验结果能反映材料的性质截面积A,以应力a=F /A来衡量材料的受力情况 单位长度的变形（ZL /）来衡量材料的变形情况，将拉力F除以试件的原横;将标距的伸长 AL除以标距的原有长度L，以图39拉伸试件£表示，即 £=7Ll正应变是两个长度的比值，为量纲为一的量

14、 。这样就将试件的拉伸图改为以正应力和正应变为坐标的曲线曲线。低碳钢Q2 3的a £曲线如图3 11所示，形状与拉伸图单位长度的变形称为正应变或线应变，用(32)2 1低碳钢在拉伸时的力学性质（1拉伸试验过程的几个阶段低碳钢在工程上应用比较广泛，且拉伸试验时表现岀来的力学性质比较典型。图3 11所示为低碳钢分为四个阶段T曲线。从图中可以看岀'拉伸过程大致，称为应力一应变曲线或 a £ （图3 10相似。图311低碳钢Q2 3 的 a £曲线1）弹性阶段在OA段内材料的变形是弹性的。在该阶段内 若将载荷卸掉，使正应力a逐渐减小到 零，相应的应变 £

15、也随之完全消失 。卸掉载荷后能完 全消失的变形称为弹性变形，故称这一阶段为弹性阶段和正应变£成正比。A点所对应的应力称为材料的比例极限OA为一直线，说明在该阶段内正应力，以J表示。Q2 3钢的比例极限ap19（MP a2）屈服阶段超过比例极限后，在一个极小阶段内力与应变不再保持线性关系。当到达B点时，图线出现段），匕时应力几乎不增加，而应变却急剧增大 ，说明材料暂时失去了抵抗变形的能力称为屈服。BC段称为屈服阶段。屈服阶段内的最低应力称为屈服强度，用a表示S屈服强度 as=2 图3 12所示。谥接材料的变形仍然是弹性的，但是应（BC，这种现象Q2 3钢的3）强化阶段3 MP a材料屈

16、服时，试件表面岀现与试件轴线约成4 5的线纹，称为滑移线，如经过屈服阶段后，曲线又开始上升，表明使材料继续变形需增大拉力，这种现-63 象称为强化。强化阶段的最高点D所对应的应力，称为材料的强度极限，用 叭十一 宀冃4.才一表示，匕是材料所能承受的最大应力 。Q2 3钢的强度极限 (Thb =3 8 MP a4)局部变形阶段曲线过了 D点又向下弯曲，这是由于从 D点开始，在试件某一局部范围内，横截面显著收缩，产生所谓颈缩现象图3 - 13)使试件继续伸长所需的拉力逐渐变小，直到E点试件被拉断。图3-12滑移线点，点上的应力依次伸过程极限材料经过了弹和强度服限、强化和局部变形四个阶段，存在三个特

17、征如果将试件拉伸使其应力超过比例极限，例如在强化阶段某一点F逐渐卸载，此时应力应变关系将沿着与直线0A近乎平行的直线 这说明材料的变形已不能全部消失FO1 回到 01 图 3-14)，其中一部分变形的变形称为塑性变形。0如果卸载后再重弹性加载变弾性变形)消失了，残留下来 在应变坐标中料的塑性应变，0应力和材图3- 14冷作硬化变关系将沿着 OFDE曲线变化直至断裂 。与同样材料但未经卸载的应力 一应变曲线相比，材料的比例极限将得至到提曰高 /程上常利用冷作硬化来曰曰高构断裂时的残如变形则减丝绳等，这弹性范称为所变承强化或大作硬化(2材料的塑性材料能产生塑性变形的性质称为塑性工程上常用下列两个指

18、标来衡量材料的塑性-65 -# 1) 伸长率5以试件拉断后的相对伸长来表示，即5= L X10 0%(3-3)式中,L和L分别为试件标距的原长和拉断后的长度。2) 断面收缩率以试件拉断后断面面积的相对收缩来表示，即A -A 1= A X10 0%(3-4)式中，A和A】分别为试件的原横截面积和断面面积。5和山的数值越大，说明材料的塑性越好。工程上，通常将 55%勺材料称为塑性材料，如低合金钢、碳素钢、铜和铝等；将5 V 5%的材料称为脆性材料，如铸铁、混凝土、石料等。Q2 3钢的 5 = 2 0%3 0%, = 0%。塑材料拉伸时勺力学性质(T - £曲线与低碳钢有类似之处，但也有显

19、著的区别：有些塑性材料（性材料、硬国家标准规球球墨对应于试件低碳钢有明显的屈服阶应变时的应力这为其有义显服服度段的以f表示。脆性材料如铸铁和玻璃钢，受拉时直到断裂变形都很小,没有屈服阶段和颈缩现象，故没有屈服强度，而只有强度极限。其6 £曲线如图3 1折示 线没有直线部分，不过在实用的应力范围内，曲线的曲率很小即应力与应变近似成正比 。由图中可以看岀，铸铁的6£曲，常用直线 （图中虚线）代替曲线4畅料压缩时的力学性质为了避免试验时被压弯图3 1（所示。在屈服阶段以前 与拉伸时的屈服强度基本相同。不破裂，故测不出压缩时的强度极限金属材料压缩试件制成短圆柱形 ，压缩曲线和拉伸曲

20、线 但是，随着载荷的增大低碳钢压缩时的6 £曲线如（图中虚线）基本重合，压缩时的屈服强度 ，试件越压越扁，产生很大的塑性变形而图3 15灰口铸铁、玻璃钢拉伸时的6 £曲线图316低碳钢压缩6 £曲线高于扌铸铁压缩度及限6（曲线如图倍）3所以脆性材料拉伸时受压构件£曲线铸铁压但是其强度极口t轴线约成45各种材料在拉伸和压缩时的力学性质可查阅有 关手册。五、拉压）杆的强度计算1畅用应力和安全系数 由前述的试验知道：当应力达到强度极限6hb时, 会引起断裂；当应力达到屈服强度 6时，将出现显著7S7的塑性变形。显然，构件工作时发生断裂或显著的塑性变形一般都是不

21、允许的。所以，6和6S统称为材图3 17铸铁压缩的6£曲线裂时无明显变形，故以强度极限b为极限应力；对于料的极限应力。对于脆性材料，因没有屈服阶段，断即构件工作时由载荷引起的应力低于材料塑性材料'因则通常以屈服强度/为极限应力为了保证构件安全可靠地工作，应使其工作应力,的极限应力，而且还要留有充分的余地。这是因为载荷的估计难以准确，计算公式带有一定的近似性，材料也并不像假设的那样绝对均匀等因素的影响。此外，构件工作时可能遇到意外的超载情况或其他不利的工作条件，要求构件需有必要的强度储备，以保证正常工作 。一般将极限应力除以大于1的系数n,作为构件工作时所允许的最大应力，称为许

22、用应力，以门表示，系数n称为安全系数。对应于屈服强度b的安全系数用 n表示；对应于强度极限的安全系数用n表示。因此，拉 压)杆的许用应力可由下列两式表示：塑性材料(35)-67 -# (36)，故其许用拉应力和许用压应力脆性材料门=(Tb门b应该注意，脆性材料在拉伸和压缩时的强度极限是不相等的 也是不相等的。安全系数取得过小 ，则构件的强度储备很小 ，构件工作的安全可靠程度低 ;若安全系数取得 过大，构件工作时安全可靠程度高 ，但设计岀来的构件尺寸过大 ，这不仅浪费材料，还会造成机器 或结构物粗笨。安全系数的确定取决于诸多因素 ，如构件的工作条件 、制造工艺、载荷和应力计算的准确程度、材料的均

23、匀性等。各种材料在不同工作条件下的安全系数或许用应力值可从有关规范或设计手册中查到一般取=2畅3畅-# -# 为了保证拉杆的强杆安全可靠地工作 ，杆内的实际工作应力不得超过材料的许用应力，即(37)上式称为拉压)杆的强度条件应用此条件，可以进行下述三方面的强度计算-# -# (1)强度校核已知杆件的材料、截面尺寸及所承受的载荷。应用式(3-7)可校核杆件是否满足强度要求。若bW 刃，则强度足够；若b> 胡5则强度不够。设计截面尺寸荷及材料的许用应力，把强度条件式(37)改写成由此可确定杆件所需的横截面面积A>，然后确定截面尺寸已知)确定许用面尺寸和材料的许用应力 从而确定构件或结构

24、的许用载荷。，可按式(3- 7)计算杆件所允许的轴力为FNW A : b例3 2】图3 1也所示发动机连杆用4 MnB制成，小，其值为21 89阪m ,卩=3 8kN试校核连杆的强度。bH = 2 0 (MPA A截面面积最解 如图3-1 5）所示，应用截面法和平衡条件求得AA截面上的轴力为因连杆各横截面FN =F = 3 8kN（压力）上的轴力相同，所以最大应力发生在横截面面积最小的A A截面，根据式（3 1）,其值为F N(r= A所以连杆强度足够3I106 P=12 189X1067 6 畅 10Pa= 1 7 36MPa<例3 3】成,截面尺寸h Jb 钢杆的尺寸 h、b。图3

25、18发动机连杆n图319起重吊环图3 1 %所示为一起重用吊环 =3材料的许用应力,其侧臂 AB和AC各由一矩形截面的锻钢杆制 0MP %吊环的最大起重量2 0 kN试确定锻d = 8，取上部分研究，其受力如图 3 1 9b所示。由于对称关系，两侧臂轴力相等解用截面法沿两侧臂的横截面假想地截开 设为F ，设为 "，则由平衡方程钞 Y = 0 尸一2F N coas= 0F FN =2coas-# -# 式中coas=9 6 029 6 0+42 =0畅 1 62 0由式（37）得F N =212 0 0X0畅A> F N因 A =hb =3b2,故门23b >8 13=6

26、 5 610N2 =8 0X 10 N/fo28 Shm。贝 U6 2 28 18X10 m = 8 18 8nmb>5 2 mm-# 取 b =5 2mm,W h =3b =15 <fnn。例3 4】图32 0所示支架，在节点F 已知杆 AB、BC的横截面积均为A = 1B处受铅垂载荷2mm，许用拉应力F作用，试计算厂=20F的最大允许值（MP，许用压应力"解=115）取节点1 B为研究对象并画岀受力图图32 0）由平衡方程钞X =0，钞 Y =0，F N1 解得杆AB、BC的轴力为N2N1F co 4 5 = 0i 4 5 -F =0FN1 = 2F拉力2）确定F的最

27、大允许值 _F N1 将Fn代入上式得、2f < A :,F N2 =F 压力) 根据式(37)可知< A ：+A 咋-6-61010 密20 以 10“=N(b)图3 20支架受力分析23=14 畅4X10 N 同理，由式（37）可得F =1N2< A " 在求得的许用载荷的两个值中六、拉压）杆的变形杆件在轴向拉伸或压缩时63=10 滋 10X15%10N=15X10N，应该取较小值，所以支架的许用载荷F = 14畅4 kN6者称为纵向变形 力后，杆长变为横向绝对变形为，沿轴线方向伸长或缩短，与此同时，横向尺寸还会缩小或增大，前，后者称为横向变形。如图321所示，

28、设杆件原长为L,横向尺寸为 b,轴向受-打横向尺寸变为AL =L 1 L下面主要研究纵向变形的规律由前面的实验可知：在比例极限内，正应力与正 应变成正比，即图3 2 1拉伸变形Ab =b1 bo引进比例系数 E，则（T= E £此关系式称为胡克定律o比例系数E称为材料的弹性模量是一量纲一的量，所以弹性模量 E与正应力 b有相同的量纲式（38）同样适用于轴向压缩。由于"=F NXA，其值随材料而异。因正应变8 £E的常用单位为GP或MPa£= AL X-，所以式（3-8）又可写成FAL = E(39)上式为胡克定律的变形形式-69 由上式可以看岀 形能力的

29、一个指标 EA代表杆件抵抗拉伸，弹性模量E越大，杆的变形越小。所以，弹性模量是衡量材料抵抗弹性变 同时还可以看岀，对长度相等、受力相同的杆，EA越大，杆的变形越小，所以 或压缩）的能力，称为杆件的抗拉压）刚度。-71 3 2 2所示的杆件，材料的弹性模量 2kLF横截面积均为 A = 10crn求解 AB段和BC段的轴求例3 5】如图E =2 0 （&P，已知 F 12=3kNL 1 =2 畅m, L2 松别伸长。A3C怎L'L2 m,图322杆件受力分析FN1 = 一 kNF N2 = 2 kN由于杆两段的轴力不同，为了计算杆件的总伸长求岀每段杆的轴向变形。根据式（39）可知

30、，AB与BC段的轴向变形分别为F N1L1EA，需先所以，杆AC的总伸长为LAB LBCzLF N2L2EAF N2' 2F N1 ' 1 +卩 N2 ' 2+ eA" =' EAF3 1X10X?畅十 2X1一(X22 0 % 10X 10X 1037 畅 X10 mmAB +ZLbC LF N1 L 1eA'7m = 7 5X 10 m-# -# §33剪 切、剪切的概念工程上一些连接件 ，例如常用的销 （图32 3）螺栓（图32 4）平键等都是主要发生剪切变形的构件，称为剪切构件。这类构件的受力和变形情况可概括为如图3 2 5所

31、示的简图。其受力特点是：作用于构件两侧面上的横向外力的合力，大小相等，方向相反，作用线相距很近 。在这样外力作用下，其变形特点是：两力间的横截面发生相对错动，这种变形形式称为剪切。发生相对错动的截面称为剪切面。(b)图3 2 3销的受力情况二、剪切的实用计算为了对构件进行剪切强度计算，必须先计算剪切面上的内力。现以图32 4所示的螺栓为Il(b)也）图32 4螺栓受力情况例进行分析。当两块钢板受拉时 ，螺栓的受力如图 3 2 4所示。若力F过大，螺栓可能沿剪切 面m m被剪断。为了求得剪切面上的内力，运用截面法将螺栓沿剪切面假想截开并取其中任一部分研究。由于任一部分均保持平衡，故在剪切面内必然

32、有与外力向相反的内力存在，这个内力称为剪力，以 程式钞F =0得表示。它是剪切面上分布内力的合力（图 32 4）, 大小相等、方FQ =f剪力在剪切面上的分布情况是比较复杂的经验为基础的实用计算法。在实用计算中布。前面轴向拉伸和压缩一节中，曾用正应力，工程上通常采用以试验，假定剪力在剪切面上均匀分（T表示单位面积上垂直于截面的内力。同样，对剪切构件，也可以用单位面积上平行截面的内力来衡 量内力的聚集程度 ，称为切应力，以t表示，其单位与正应力一样 。按假定 算岀的平均切应力称为名义切应力，一般简称切应力 ，切应力在剪切面上的分布如图 3 2 4所示。所以，剪切构件的切应力可按下式计算：t =

33、A图3 2 5剪切。由平衡方(310)式中：A 剪切面面积，m2,要求其工作时的切应力不得超过某一许用值因此，螺栓的为了保证螺栓安全可靠地工作剪切强度条件为材料许用切应力(311)式中：:k材料许用切应力 ，P a，但也适用于其他剪切构件。M和许用拉应力刃有如下关系：T = （0 畅0 畅）方T = （0 畅l 1 畅）口6式（311虽然是以螺栓为例得岀的实验表明，一般情况下，材料的许用切应力塑性材料脆性材料三、切应变、剪切胡克定律在构件的受剪部位，围绕A点取一直角六面体（图3 2 &），将它放大如图3 2血所示。剪切变形时，直角六面体左、右两侧面发生相对平行错动，直角六面体变成平行六

34、面体，如图般为2汁线所示。原来的直角改变了一微小角度Y,这个直角的改变量丫称为切应变，其单位一-73 实验证明：当切应力不超过材料的剪切比例极限T时，切应力T与切应变Y成正比（图(312)这就是剪切胡克定律单位与T的单位相同四、挤压概念及实用计算式中比例系数 G称为剪切弹性模量，它表示材料抵抗剪切变形的能力一般钢材的剪切弹性模量G = 8 0GP a，其构件在受到剪切作用的同时，往往还伴随着挤压作用。例如图32 4中的下层钢板孔右侧，由于与螺栓圆柱面的相互压紧，在接触面上产生较大的压力，致使接触处的局部区域产生塑性变形（图3-2 7）这种现象称为挤压。此外，连接件的接触表面上也有类似现象。构件

35、上产生挤压变形的接触面称为挤压面；作用于挤压面上的压力称为挤压力，用F表示；挤压面上的压强习惯上称为挤压应力，以表示。挤压应力只存在于挤压面附近的区域，故其分布比较复杂。工程上为简化计算，同样也假设挤压应力在挤压面上均匀 分布，于是有FJ(Tj =A J(313)式中 F：J 挤压力，N;AJ挤压面积，m(b)图32 7挤压破坏-# -# 图3 2 8挤压面积对于螺栓、铆钉等连接件，挤压时接触面为半圆柱面图3-2 0）。但在计算挤压应力时，挤 -# 压面积采用实际接触面在垂直于挤压力方向的平面上的投影面积，如图32 &所示的 ABCD面32鸟所示，最大挤压应为了保证构件安全正常地工作

36、压强度条件为，则构件的挤压应力（T不得超过许用挤压应力因此挤许用挤压应力可从有关规范中查得FJ（rJ =A.丹j l 根据实验，材料的许用挤压应力（314）Rj与许用拉应力塑性材料系脆性材料如果两个接触构件的材料不同J = （1畅畅）胡打=（0畅 1畅）飞，应以抵抗挤压能力弱的构件来进行挤压强度计算例3 试图323忡为拖嚅钩用许用挤压应力匕已知挂钩部分钢板厚的材料为2 0冈，许用切应力t = 8 mm,销钉10 MP又知拖车的拉力F =15唧试1十剪切强度计算。面，用截面法将销钉沿剪切面假想地截开剪切面面积为以销钉为研究对象，其受力如图 3 2 3所示。销钉上有两个剪切（图3 2 ±

37、），由平衡条件可知，销钉剪切面上的剪力为 Fq=F 0=7畅 kN将上述二式代入式（3- 11得A =nd /<积。这是因为，从理论分析得知，在半圆柱挤压面上挤压应力分布如图 力在半圆弧的中点处，其值与按正投影面积计算结果相近。-75-#4F Qn T2）挤压强度计算销钉所受的挤压力4 X 7 5 0丄m = 0畅1 m3 畅 4X 6 0X 10F J =F 0,挤压面积 AJ =dt，代入式(314得 FF 0(rJ = A j = dt 盯Fd > =10006 m = 0 畅 0 m2 丹2X8X10 X 10 X 101 4mm。综合考虑剪切和挤压强度，并根据标准直径选取

38、销钉直径为-#-#例3 7】 铸铁带轮用平键与轴连接 的直径d =4 0mm,平键尺寸b Xh =1用切应力T =60MP 3许用挤压应力 核键连接的强度。解以轴（包括平键）为研究对象，如图3 2 3所示<2mmX 8 mm,初步确定键长传递的力偶矩 T =3 5 N m,轴l =3 5mm,键的材料为 4 5冈，许10 MP 3铸铁的许用挤压应力刃=8OMP3试校,其受力如图3 2 所示，根据平衡条件可得 .o = 0 , Fd 0=0钞mF =2T 2 X 3 5 03a =4 N = 17 5X10N0畅4-#(b)(c)(d)图32 9键连接受力分析1)校核键的剪切强度平键的受力

39、情况如图329所示，此时剪切面上的剪力(图3 2 91)为剪切面面积为F q =f=137 畅 X10 NA =b X| = 12mm X 3 5 mm = 4 2 hm2所以，平键的工作切应力为满足剪切强度条件31/ 畅X 1y4 2X106=4 1 畅 X1 0 P=41畅MPa< : T据。带轮挤挤压强I压力由于铸铁的许用挤压应力小,所以取铸铁的许用挤压应力作为核算的依带轮的挤压面积与键的挤压面积相同F .亠J =F =17 畅 X10 N，设带轮与键的接触高度为lh3h /2则挤压面面积为2 25X 8mm = 14 0nm2故带轮的挤压应力为FJ* = A.j不满足挤压强度条件

40、317 畅X10 P 14X10现需根据挤压强度条件重新确定键的长度FJ6a= 12 X 10 Pa= 12MPa> 盯。根据式(314有得键的长度为最后确定键的长度刃3l > 2F J2 X 1 7 畅X 10=, m =5 4*Jh 8 0X 10 X 0 畅08=5 5mm。3畅X 10m-77 §34扭 转-79 -# 、扭转的概念工程上有许多构件承受扭转变形，如汽车方向盘的转向轴动轴等。把这些构件的受力情况抽象为一个共同的力学模型图330）丝锥（图331）#，如图33断示。从图可以看岀构件扭转时的受力特点是：作用在直杆两端的一对力偶大小相等、转向相反，且力偶作用

41、面垂直于杆的轴线。其变形特点是：杆件的轴线保持不变 ，各横截面绕轴线作相对转动。工程中常把以扭转变形为主要变形的构件称为轴圆轴扭转时的变形以横截面间绕轴线相对转过的角度即扭转角来表示。如图33 2中的矱角即为B截面相对A截面的扭转角图3 31丝锥受力情况-# -# 图3 3 2扭转变形二、外力偶矩、扭矩和扭矩图1畅卜力偶矩的计算工程上作用于轴上的外力偶矩很少直接给岀，而往往给出轴的转速 n和轴所传递的功率P，通过功率的有关公T =9 5 5 0n（315）式及推导，得岀计算外力偶矩又称转矩）的公式为式中：T的单位为 Nm;P的单位为 kW；n的单位为 fi。2刪矩和扭矩图如同拉压和剪切一样，构

42、件扭转时，也是用截面法求内力，再研究应力的分布和计算，从而推导出强度条件这样的思路进行分析和研究的。现研究扭转时轴横截面上的内力。设一轴在一对大小相等、转向相反的外力偶作用下产生扭转变形，如图33 3所示。在轴的任意横截面n n处将轴假想截开图3-3bc）。由于整个轴是平衡的，所以每一段轴都处于平衡状态，这就使得nn截面上的分布内力必然构成一个力偶，并以横截面为其作用面，这个内力偶矩称为扭矩，以M表示。n根据左段或右段的平衡条件，均可得nn截面上的扭矩为M n =T 如图33丑所示。但由左、右两段所求得扭矩的转向相反，这是因为它们是作用与反作用的关系。Tn图33 3截面法求扭矩为使无论取左段还

43、是取右段所求得的扭矩不但在数值上相等而且符号也一样，对扭矩符号作如下规定：用右手螺旋法则，即以右手四指沿着扭矩的转向，若拇指的指向离开截面，则扭矩为正，反之为负，如图33 4所示。由图可以看岀，无论扭矩为正或为负，截面左、右两段扭转变形的转向是一致的。按此规定，图33 4中所示扭矩为正；图33 4中扭矩为负。-81 -# 图3 3 4扭矩的符号规定当轴上作用有多个外力偶矩时，需以外力偶作用的截面将轴划分几个自然段，逐段求岀其扭矩。为了确定轴上最大扭矩的位置，找岀危险截面，常用一种图形表示各横截面的扭矩随截面位置变化的规律，这种图形称为扭矩图。作图时，以平行于轴线的坐标表示各横截面的位置，垂直于

44、轴线的坐标表示扭矩的大小。图33 3d所示即为AB轴的扭矩图。=3 0 CMhi ,i主动轮 A的输入功率= 7 3kW，试求轴上各截面的扭矩例3 8】 一等圆传动轴如图 3 3 5a所示，其转速n P =2 2 IkW从动轮B、C的输岀功率分别为 Pbc=14 a：wp 并画岀扭矩图。解 1）计算外力偶矩由式（115可知，作用在A、B、C轮上的外力偶矩分别为PaTa =95502 21n =955°0N 0m 二=703NPbT B =9550148n =95500N-0m 二=471NPcTc =95507 3n =9550N-m 二=232Nmmm3 0 0其中Ta的转向和轴的

45、转向相同，Tb、Tc的转向和轴的转向相反2）计算扭矩在轴AC段的任意横截面 1 1处将轴切开，取左段为研究对象(图 3 3 5)，111表示截面的扭矩，并假想其转向为正 ，根据平衡条件得 .x = 0,Tc M 1钞m= 0M 1 C = 2 3 2N m11 =T-# 同理，在AB段的任意横截面段为研究对象 （图335）,由平衡条件得负号说明截面的扭矩为负。2324 N.m4 711 N in图3 32 2将轴截开，以M “2表示截面的扭矩，假设其转向为正，取右传动轴受力分析x =0 Tb +M-=o钞mMBn2 = T = 4 7 1 N- m3）画扭矩图 根据所得扭矩作扭矩图M “三、圆

46、轴扭转时横截面上的应力（图3 3 d），可见max=4 7 1 N- m圆轴扭转时，在确定了横截面上的扭矩后，还应进一步研究横截面上内力分布的规律求得横截面上的应力 。实验表明，圆轴扭转时横截面上只有垂直于半径方向的切应力，而没有正应力横截面上的分布规律为：截面上各点切应力的大小 ，与该点到圆心的距离成正比（图33 a） o空心圆轴横截,以便O其切应力在O在圆心处的切应力为零；圆周边缘上各点的切应力最大 面上切应力的分布如图 3 3 a所示。圆轴扭转时横截面上距离圆心为p处的切应力TP的一般公式为TPMnIP式中：Mn扭矩,N - mm;1P截面的极惯性矩关的量，mm或cm在距截面圆心最远处1

47、2dA,是只与截面形状和尺寸有x有最大的切应力M p-P为了计算方便，可以将截面的两个几何量量WP，即maxT（31图3 3 6圆轴扭转时横截面上切应力分布Tmax，可得公式为pma0并为一个几何因此，式（3-16可写成IW _PP maxP-83 -(317)Tnax=Wp由式（317可以看岀，W越大，则最大切应力t越小，它是表示圆轴抵抗扭转破坏能力的pmax截面几何量，称为抗扭截面模量，其单位为 mm3或cm上述公式只适用于最大切应力-四、极惯性矩和抗扭截面横量的计算O不超过材料剪切比例极限的实心圆轴和空心圆轴首先来计算圆形截面的极惯性矩 在图33 7所示的直径为 取厚为dp的微分圆环，其

48、面积 惯性矩为I和抗扭截面模量 Wppd的圆截面中，在距圆心为p处,dA =2npdp从而可得圆截面的极Ip = A P dA 而其抗扭截面模量#d2 2o厂p 2npdp4nd3 240 畅d(31IW -pp _43maxp用类似的方法可以计算岀内径为O8)33 7圆截面极惯性矩的计算的极惯性矩I和抗扭截面模量p3一0畅d（31d、外径为D的空心圆截面9)图W分别为P五、圆轴扭转时的强度条件1 p nD (14)"32(1a)3冗D /4、16(1a)(32 0)(321)为保证圆轴扭转时具有足够的强度而不破坏，必须限制轴的最大切应力不得超过材料的扭转许用切应力。对于等截面圆轴，其最大切应力发生在扭矩值最大的横截面（称为危险截面）的外缘处，故圆轴扭转的强度条件为式中，扭转许用切应力M n imaxTmax= W p：TT是根据扭转试验，并考虑安全系数确定的（32 2）在静载荷条件下，它与许用拉应力"有如下关系塑性材料:T = （0畅L0畅）方脆性材料T = (0 畅L 1 畅