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文档简介

1、;.高三单元滚动检测卷·数学考生注意:1本试卷分第卷(填空题)和第卷(解答题)两部分,共4页2答卷前,考生务必用蓝、黑色字迹的钢笔或圆珠笔将自己的姓名、班级、学号填写在相应位置上3本次考试时间120分钟,满分160分4请在密封线内作答,保持试卷清洁完整 单元检测三导数及其应用第卷一、填空题(本大题共14小题,每小题5分,共70分请把答案填在题中横线上)1(2015·赣州联考)函数f(x)3ln xx2x在点(,f()处的切线斜率是_2设f(x)xln x,若f(x0)2,则x0的值为_3(2015·黑龙江双鸭山一中期中)若函数yf(x)的图象在点(1,f(1)处的

2、切线方程为y3x2,则函数g(x)x2f(x)的图象在点(1,g(1)处的切线方程为_4函数f(x)x33x1,若对于区间3,2上的任意x1,x2,都有|f(x1)f(x2)|t,则实数t的最小值是_5曲线yx3在点(1,1)处的切线与x轴及直线x1所围成的三角形的面积为_6(2015·辽宁丹东五校协作体期末)若曲线yx2与曲线yaln x在它们的公共点P(s,t)处具有公共切线,则实数a_.7已知函数f(x)的定义域为(4a3,32a2),aR,且yf(2x3)是偶函数又g(x)x3ax2,存在x0,kZ,使得g(x0)x0,则满足条件的实数k的个数为_8(2015·淄博

3、一模)曲线f(x)exx2x1上的点到直线2xy3的距离的最小值为_9若函数f(x)loga(x3ax) (a>0且a1)在区间内单调递增,则a的取值范围是_10(2015·广东阳东一中摸底)曲线C:f(x)sin xex2在x0处的切线方程为_11已知函数f(x)的导数f(x)a(x1)(xa),若f(x)在xa处取得极大值,则a的取值范围是_12(2015·百色模拟)已知aR,函数f(x)exa·ex的导函数yf(x)是奇函数,若曲线yf(x)的一条切线的斜率为,则切点的横坐标为_13(2015·豫东、豫北十所名校联考)若0<x<1

4、,a,b,c,则a,b,c的大小关系为_14已知函数yf(x)是R上的偶函数,且当x0时,f(x)2x2x,又a是函数g(x)ln(x1)的零点,则f(2),f(a),f(1.5)的大小关系是_第卷二、解答题(本大题共6小题,共90分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15(14分)(2015·河北保定第一中学模拟)已知函数f(x)ax3x2f(1)1,且f(1)9.(1)求曲线f(x)在x1处的切线方程;(2)若存在x(1,)使得函数f(x)<m成立,求实数m的取值范围16(14分)(2015·重庆)已知函数f(x)ax3x2(aR)在x处取得极值(1)确定a

5、的值;(2)若g(x)f(x)ex,讨论g(x)的单调性17.(14分)(2015·赣州联考)已知函数f(x)x2aln x.(1)求f(x)的单调区间;(2)设g(x)f(x)2x,若g(x)在1,e上不单调且仅在xe处取得最大值,求a的取值范围18(16分)(2015·南宁联考)已知函数f(x)aln x(a1)xx2(x>0)(1)若x1是函数f(x)的极大值点,求函数f(x)的单调递减区间;(2)若f(x)x2axb恒成立,求实数ab的最大值19.(16分)(2015·内蒙古巴彦淖尔第一中学期中)已知f(x).(1)求函数yf(x)的单调区间;(2)

6、若关于x的方程f(x)x22xk有实数解,求实数k的取值范围;(3)当nN*时,求证:nf(n)<2.20(16分)(2015·四川)已知函数f(x)2(xa)ln xx22ax2a2a,其中a0. (1)设g(x)是f(x)的导函数,讨论g(x)的单调性;(2)证明:存在a(0,1),使得f(x)0在区间(1,)内恒成立,且f(x)0在区间(1,)内有唯一解答案解析12解析由f(x)3ln xx2x得,f(x)2x,f()2.2e解析由f(x)xln x得f(x)ln x1.根据题意知ln x012,所以ln x01,因此x0e.35xy30解析由函数yf(x)的图象在点(1

7、,f(1)处的切线方程为y3x2,得f(1)3,f(1)1.又函数g(x)x2f(x),g(x)2xf(x),则g(1)2×1f(1)235.g(1)12f(1)112.函数g(x)x2f(x)的图象在点(1,g(1)处的切线方程为y25(x1)即5xy30.420解析因为f(x)3x233(x1)(x1),令f(x)0,得x±1,可知f(x)在x±1处取得极值又f(3)19,f(1)1,f(1)3,f(2)1,所以在区间3,2上f(x)max1,f(x)min19.由题设知在区间3,2上f(x)maxf(x)mint,从而t20,所以t的最小值是20.5.解析求

8、导得y3x2,所以曲线在(1,1)处的切线斜率k3,所以曲线yx3在点(1,1)处的切线方程为y13(x1),结合图象易知所围成的三角形是直角三角形,三个交点的坐标分别是(,0),(1,0),(1,1),于是三角形的面积为×(1)×1.61解析由yx2,得y.由yaln x,得y.它们在点P处有公共切线,解得x,代入两曲线得·ea(ln a1),ln a11,解得a1.73解析由于函数f(x)的定义域为(4a3,32a2),所以4a3<32a2,解得3<a<1.又函数yf(2x3)是偶函数,所以4a3<2x3<32a22a<x&

9、lt;3a2,且2a3a20a1或3,所以a1,则g(x)x3x2,令h(x)g(x)xx3x2,则h(x)3x22x(6x24x1)0x,且当x时,h(x)取得极大值,且h>0,当x时,h(x)取得极小值,且h<0,所以函数h(x)有三个零点又h(1)<0,h>0,h(0)>0,h<0,h(1)<0,h>0,所以k1,0,1,即满足条件的实数k有3个8.解析f(x)ex2x1,设与直线2xy3平行且与曲线f(x)相切于点P(s,t)的直线方程为2xym0,则es2s12,解得s0.切点为P(0,2)曲线f(x)exx2x1上的点到直线2xy3的

10、距离的最小值为点P到直线2xy3的距离d,且d.9.解析由题意知,x3ax>0在x上恒成立,即a>x2在x上恒成立,a.设g(x)x3ax,当a<1时,g(x)在上单调递减,即g(x)3x2a0在上恒成立,3·2a0,解得a<1;当a>1时,g(x)在上单调递增,即g(x)3x2a0在上恒成立,这与a>1矛盾综上可知,实数a的取值范围是.102xy30解析因为f(x)cos xex,所以f(0)2,所以曲线在x0处的切线方程为y32(x0),即2xy30.11(1,0)解析当a0时,则f(x)0,函数f(x)不存在极值当a0时,令f(x)0,则x1

11、1,x2a.若a1,则f(x)(x1)20,函数f(x)不存在极值;若a>0,当x(1,a)时,f(x)<0,当x(a,)时,f(x)>0,所以函数f(x)在xa处取得极小值,不符合题意;若1<a<0,当x(1,a)时,f(x)>0,当x(a,)时,f(x)<0,所以函数f(x)在xa处取得极大值;若a<1,当x(,a)时,f(x)<0;当x(a,1)时,f(x)>0,所以函数f(x)在xa处取得极小值,不符合题意所以a(1,0)12ln 2解析由题意可得,f(x)ex是奇函数,f(0)1a0,a1,f(x)ex,f(x)ex,曲线y

12、f(x)在(x,y)的一条切线的斜率是,ex,解方程可得ex2,xln 2.13a>b>c解析易知当0<x<1时,0<sin x<x,则0<<1,< .设f(x),则f(x),设h(x)xcos xsin x,则h(x)xsin x当x(0,1)时,h(x)<0,h(x)在(0,1)上单调递减,当x(0,1)时,h(x)<h(0)0,f(x)<0在(0,1)上恒成立,f(x)在(0,1)上单调递减,又0<x<1,0<x<<1,>.综上: >>,即a>b>c.14f

13、(1.5)<f(a)<f(2)解析因为g(1.5)ln<0,g(2)ln 31>0,所以g(x)ln(x1)在(,2)内有零点,又由g(x)>0知g(x)ln(x1)在(1,0),(0,)上单调递增,所以函数g(x)ln(x1)在区间(,2)内有唯一的零点,即为a,则a(,2),所以2>a>1.5>1,当x1时,f(x)2x·ln 2,因为·2x·ln 212ln 21ln 41>0,所以f(x)>0,f(x)在(1,)内单调递增,所以f(2)>f(a)>f(1.5),又f(x)是偶函数,所以

14、f(1.5)<f(a)<f(2)15解(1)f(x)ax3x2f(1)1,f(x)3ax22xf(1),f(x)x33x21,f(1)1.故曲线f(x)在x1处的切线方程为y3(x1)13x2,即3xy20.(2)f(x)3x26x3x(x2),当1<x<2时,f(x)<0;当x>2时,f(x)>0.则函数f(x)在区间(1,2)上单调递减,在区间(2,)上单调递增,f(x)f(2)3.则由题意可知,m>3,即所求实数m的取值范围为(3,)16解(1)对f(x)求导得f(x)3ax22x,因为f(x)在x处取得极值,所以f0,即3a·2

15、· 0,解得a.(2)由(1)得g(x)ex,故g(x)exexexx(x1)(x4)ex.令g(x)0,解得x0,x1或x4.当x4时,g(x)0,故g(x)为减函数;当4x1时,g(x)0,故g(x)为增函数;当1x0时,g(x)0,故g(x)为减函数;当x0时,g(x)0,故g(x)为增函数综上知,g(x)在(,4)和(1,0)内为减函数,在(4,1)和(0,)内为增函数17解(1)f(x)(x>0),当a0时,f(x)0,增区间为(0,),当a>0时,f(x)0x>,f(x)<00<x<,f(x)的增区间为(,),减区间为(0,)(2)g(

16、x)x2(x>0),设h(x)x22xa(x>0),若g(x)在1,e上不单调,则h(1)h(e)<0,(3a)(e22ea)<0,3<a<e22e,同时g(x)仅在xe处取得最大值,所以只要g(e)>g(1)即可得出:a<2e,则a的范围:(3,2e)18解(1)求导数可得,f(x),x1是函数f(x)的极大值点,0<a<1,函数f(x)的单调递减区间为(0,a),(1,);(2)f(x)x2axb恒成立,aln xxb0恒成立,令g(x)aln xxb,则g(x)(可验证当a0时,不合题意),g(x)在(0,a)上单调递增,在(a

17、,)上单调递减,g(x)maxg(a)aln aab0,baaln a,aba2a2ln a,令h(x)x2x2ln x(x>0),则h(x)x(12ln x),h(x)在(0,)上单调递增,在(,)上单调递减,h(x)maxh(),ab,即ab的最大值为.19(1)解f(x),f(x).当x(0,1)时,f(x)>0;当x(1,)时,f(x)<0.函数f(x)在区间(0,1)上为增函数,在区间(1,)上为减函数(2)解由(1),得f(x)的极大值为f(1)1.令g(x)x22xk,当x1时,函数g(x)取得最小值g(1)k1.方程f(x)x22xk有实数解,那么k11,即k2,实数k的取值范围是k2.(3)证明函数f(x)在区间(1,)上为减函数,1>1(nN*,n2),f(1)<f(1)1,1ln(1)<1,即ln(n1)ln n<,ln nln 2ln 1ln 3ln 2ln nln(n1)<1,即1ln n<2.nf(n)1ln n,nf(n)<2.20(1)解由已知,函数f(x)的定义域为(0,),g(x)f(x)2(xa)2ln x2,所以g(x)2,当0a时,g(x)在区间,上单调递增,在区间上单调递减;当a时,g(x)在区间(0,)上单调递增(2)证明由f(x)2(xa)2ln x20,解得a,令(

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