解析单位1和部分的概念以及在分数乘除法中的应用(修订版1).doc

1、“单位1 ”与“相关量”山东滨州西海小学王训彬2013年12月16日近些年以来，小学数学的分数相关量，已经不再提整体（整体1）与部分这两个概念了。其中整体（整体 1） 这个概念已经被单位“ 1”这个概念所取代，而部分这个 概念则是彻底去掉了。 因为说到部分，人们往往就自然而 然的认为，部分小于整体。对小学生来说，恐怕更是如此。 可是当时分数这个地方的相关量概念，却不是如此，比如在语句“甲等于乙的7”中，乙是单位1,甲是部分，可5这个部分则是大于单位 1的。也许正是因为与学生的固有 认识格格不入，这一概念被数学家抛弃了。然而，对于学过单位1与部分概念的我来说， 却忘不 了这两个概念在解决分数乘除

2、法所表现生的巨大灵活性 和有效性！因此在今天的教学中我还是不断地试图向学生 渗透这两个概念。只不过， 为了消除大家对“相关量可能 大于单位1”的困惑，我把“部分”改名为“相关量”单位1今天教材中是这样定义单位 1的：一个物体或多个物 体组成的一个整体，可以用自然数1来表示，通常把它叫 做单位1。从定义可以看由，单位 1,仍是表示一个整体，就是 以前的整体1。之所以改称单位1,只不过是因为现在没 有了部分的概念，单单突由一个整体（整体 1）的概念， 显得太不自然！如何判断那个量是单位 1单位1这一概念贯穿分数教学始终，是深入理解分数 的定义，探索分数四则运算不可或缺的手段。可以说话不夸张地说，这

3、一概念的重要性一点也不亚于分数本身的概 念。既然这样我们就需要知道如何判断那个量是单位1。这还要通过分数的定义来分析，教材是这样定义分数 的：把单位1等分成若干份，表示其中一份或几份的数叫 做分数。从定义可以看由那个被等分的量就是单位1。根据这点我们不难判断由：1、提到“谁”的几分之几，“谁”就是单位1比如在语句“乙的2”中，分明说“乙”的;，所以 乙是单位1。下面我们详细分析一下：根据分数的定义， 我们不难看到语句所表达白意义是把乙等分成2份，表示其中的一份，因此被等分的对象是乙，所以乙是单位再比如在语句“乙等于丙的7”中，明明说“丙”的 57,因此丙是单位i 52、在比较语句中，比“谁&q

4、uot;，“谁”是单位1比如在语句“甲比乙大2”中，说的是比“乙”，因 此“乙”是单位1。而在语句“乙比甲小 1”中，说的是 比“甲”，因此“甲”是单位 1。为什么呢，我们对语句 “甲比乙大g”分析一下，不难看生这句话的完整意义是 说“甲比乙大乙的2既然是“乙”的 p当然乙是单位 1。3、一个带单位的分数量， 一个单位就是它的单位 1 比如：语句“ 2千克”中，量：千克的单位是千克，因此1千克就是该量的单位1。因为2千克表示的是“ 1 千克的2"，既然是“1千克”的，当然1千克就是单位1。一、 相关电对于相关量我一时无法给由精确的定义，但我们可以 这样理解它：如果一个量是某一个单位

5、1的几分之几，这个量就是这个单位1的一个相关量。或者说，如果一个量 与某一个单位1,有某种明确的关联性，这个单位1的一个相关量。比如在语句“乙的7”中，我们已经知道乙是5单位i,那么量“乙的r就可以理解为“单位所以量“乙的7”就是单位1-乙的一个相关量，而且 5还是一个大于单位1的一个相关量！另外任何单位1也可以看做他自身的一个相关量，比如上面的乙这个量，就可以看做乙的一分之一， 所以此时 的乙既是单位1,又是相关量！因此从这个角度来说，单 位1也是一个特殊的相关量。 因此相关量可以小于， 也可 大于，甚至可以等于单位 1。另外，同一个单位1的两个相关量的和，仍是这个单 位1的相关量！比如乙是

6、甲的1,丙是甲的则易知乙 23与丙的和就是甲的6，所以从我们上面对相关量的理解就 可以看由乙与丙的和还是甲的一个相关量。类似的还有，同一个单位1的两个相关量的差，仍是 这个单位1的相关量。这里就不在详细讨论这一结论了。 感兴趣的朋友可以仿照对“同一个单位1的两个相关量的 和，仍是这个单位1的相关量”的分析，自己来分析。3、 单位1与相关量的两个属性这两个量可能与其他量不同，因为它们有两个属性1、他们都有自己的实际大小， 比如在语句“乙是6, 甲是8,则乙是甲的4”中，“乙”这个量是相关量，它的 实际大小是6,甲是单位1,它的实际大小是8。2、它们都有自己的相对大小（占单位1的几分之几）比如上例

7、中甲是单位 1,它占自身的是1，乙是相关 量，占单位1的3。44、 单位1以及相关量与分数乘除法的关系也许正是这两个概念的两个属性，才使得它们在分数 乘除法中有着极其灵活的应用。为此我们首先看这样一个 例子：第二小组有6人，是第一小组的3,第一小组有多少4人？这是青岛版六年级上册 P28页的一个例子，也是分 数除法的一种典型例题。解：设第一小组有x人。XX3=64X=6 +34且慢，我们不要急着做下去， 我们用上面的知识分析 一下。问法：第一小组有多少人？显然是要计算第一小组的 人数，我们找到与第一小组的人数有关的条件，那就是“第二小组有6人，是第一小组的3”。可以看到第一小组的4人数是单位1

8、 ,因此本题就是一个求单位 1的实际大小的 问题。第二小组显然是相关量， 它的实际大小是6人，而 3则是这个相关量的相对大小， 即该相关量占单位1的分4数。而X=6 +4就揭示了单位1的算法，下面我们把 x,6, , 3对应的意义对应写在 X=6的下面，看看X=6 +443到底是什么意义。4X= 6-4单位1的实际大小= 相关量的实际大小 + 该相关量占单位1的分数由此，我们看到了单位1实际大小的算法：只要知道 该单位1某个相关量的两个属性，就可以利用这相关量的 实际大小属性+该相关量的相对大小属性（即该相关量占单位1的分数）计算由来！由此我们得到了第一个公式:1、 单位1的实际大小 = 相关

9、量的实际大小 一 该相关量占单位1的分数简述为：算单位1用除法！将公式1变形一下，就可以得由相关量的求法：2、 相关量的实际大小=单位1的实际大小X该该相关量占单位1的分数简述为：算相关量用乘法！将公式变形一下，也可以得由该相关量占单位 1的分 数的算法：3、 相关量占单位1的分数=相关量的实际大小 一单位1的实际大小从公式3可以看由算一个数占另一个数的几分之几，也用除法！至此，我们已经可以来解决分数乘除法的大相关量问 题了，下面我们就通过几个具体的实例来看一下如何用这 些知识来解决问题。例1、 实验小学有1200名学生，六年级人数占全校的1,六年级一班人数占六年级的 1 ,六年级一班有多少5

10、6人？分析：看问法，“六年级一班有多少人？”，寻找与六年级一班人数有关的条件，显然是“六年级一班人数占六年级的1工可以看到在这个条件中，六年级人数是单位1, 6六年级一班人数是相关量，这相关量占单位1的求相6关量用乘法，有公式 2知：六年级一班人数二六年级人数*1,所以还需要计算六年级的人数。与六年级的人数有6关的条件是“六年级人数占全校的1”，在这个条件中全5校人数是单位1 ,六年级人数是相关量，所以还得用乘法：六年级人数=全校人数x 3=1200 X=，把算式1200 X代555入六年级一班人数二六年级人数x 1中，且发现1200 X9可 65以先算，不用加括号：1200 x：x1 56例

11、2:光明小学绿化面积为 960平方米，是向阳小学的2倍，而南山小学的绿化面积相当于向阳小学的千，南8山小学的绿化面积是多少？分析：看问法，“南山小学的绿化面积是多少？”，查我与南山小学有关的条件“南山小学的绿化面积相当于向阳小学的7”，知向阳小学为单位1,要计算的南山小学是 8相关量，所以用乘法：南山小学的绿地面积=向阳小学的绿化面积X 7 8但向阳小学的绿化面积未知， 所以接下来考虑向阳小 学的绿化面积的条件“光明小学绿化面积为960平方米，是向阳小学的2倍”，知向阳小学的绿化面积为单位1 ,光明小学的绿化面积为相关量， 算单位1用除法，所以有： 向阳小学的绿化面积=光明小学的绿化面积+ 2

12、=960 +2, 代入上式得到：960 +2X7 8注意：这里我们把倍数问题与“单位1和相关量”统 一了起来，“是向阳小学的2倍”，完全就是“向阳小学的 1”的意思。当然你也完全可以用倍数的知识来解决这一 步。从根本上来说，倍数问题和分数问题是一回事。如甲是乙的1.5倍，从分数的角度来说就是甲是乙的3。似乎有这样一个不成文的规定，小数或整数倍数，人们习惯用倍数来称呼它，而对于分数倍数，人们则习惯于称呼它为几 分之几。但这只是一种习惯， 改变不了两者是一回事的本 质。因此分数问题亦可以转化为倍数来考虑。倍数问题也可以转化为分数问题来考虑。例：学校对一块空地进行绿化，把它设计为3相关量， 草地，花

13、坛，小路。其中小路面积与草地面积的比为 1:7小路面积又是花坛面积的 1,已知草地面积比花坛面积大 436平方米，求小路的面积。分析：小路面积与草地面积的比为1:7,理解为“草地面积是小路的7倍”，进一步理解为“草地面积是小路的1”小路面积又是花坛面积的 1 ,理解为“小路面积又是4花坛面积的1倍”，进而“花坛面积是小路的 4倍”，再进4一步“花坛面积是小路的 1”所以，小路面积是单位 1,花坛，草地是相关量，因 而草地与花坛的差 (36平方米)也是相关量：36 + (7-4 ) 就是小路的面积。本例放在这里可能不是太合适，不过我就是想告诉大 家，倍数问题和分数问题是一回事， 他们是一个事物的

14、两 个不同的名字，明白之后，完全可以互化。下面看一个难一点的。例3:学校组织学生郊游，中午吃饭时用了 55个碗， 其中一人一个饭碗，两人一个汤碗， 3人一个菜碗，问你 能算由共有多少学生吗？分析：问法“你能算由共有多少学生吗?考虑与学生人数有关的条件：“其中一人一个饭碗，两人一个汤 碗，3人一个菜碗”。这里换个角度来理解，一人一个饭 碗理解为饭碗是人数的1,两人一个汤碗理解为汤碗是人数的1, 3人一个菜碗理解为菜碗是人数的1。23方法一：要求的人数在条件中是单位1,用除法，但饭碗，汤碗，菜碗这三个相关量的实际大小都不知道，怎 么办？还记得吗”同一个单位1的两个相关量的和，仍是 这个单位1的相关

15、量”，所以饭碗，汤碗，菜碗这三个相关量的和仍是相关量， 而这个相关量的实际大小我们是已知的55!所以有：55 + (1+ 1+1) 23这种特殊的相关量，使我们用算术法求解一些难题时 常用到的！方法2 :有条件易得相等关系饭碗+菜碗+汤碗=55 ,而饭碗，汤碗，菜碗是三个相关量，求相关量用乘 法，因此设共x人，则饭碗=x ,汤碗= 1x,菜碗=Jx,代23入相等关系中得到：x+!x+：x = 5 523例4:第28届奥运会上中国健儿获得了32枚金牌, 比第27届多7 ,第27届中国获得了多少块金牌？分析：从问法知，要考虑第27届的情况，“比第27 届多7”，所以第27届的金牌数是单位1用除法，

16、而第二 十八届的是相关量，其实际大小是32,占单位1的（1+）（此处可以这样理解，既然第 27届的金牌数是单位1 , 比第27届多J就可以理解为“比单位 1多7”，当然占单 位 1 的 1+ 7 了）。所以：32+（1+；）自己考虑为何要加括号？例5、小明下载了 30首古诗，小红下载的比小明的:3多3首，小红下载了多少首？分析：问法“小红下载了多少首”，考虑与小红有关的条件“小红下载的比小明的 2多3首”，小明下载的是3单位1,小红下载的是相关量。但这个相关量占单位1的分数不知道，再看多 3首这个差额，显然也是相关量，可这个相关量占单位 1的分数也不知道！用这个方 法似乎无解了！且慢，“同一个

17、单位1的两个相关量的和，仍是这个单位1的相关量”！ “小红下载的比小明的 :多3首”这 3句话我们换个角度来理解： 小红下载的去掉三首后是小明的!而“小红下载的去掉三首后”这个相关量，恰恰是以上两个相关量的差！而这个相关量的占单位1的分数为：2 I所以“小红下载的去掉三首后” 这个相关量的实际大 .2小为：30 X- 3小红下载的这一相关量就应为：30 X-+33关于这种题型的分数除法见下例：例5、小红下载了 30首古诗，小红下载的比小明的 -3多3首，小明下载了多少首？列式为：（30-3 ） +2 3简析如下：“小红下载的比小明的-多3首”这句话 3我们换个角度来理解：小红下载的去掉三首后是小明的-I 3例6:已知甲是8,乙是6,求甲是乙的几分之几?分析：有公式3知，这种题用除法。看问法甲是乙的 几分之几，乙是单位1,是除数，甲是相关量，是被除数， 所以8+6例7:已知甲是8,乙是6,求甲比乙大几分之几？ 乙比甲小几分之几？分析：“求甲比乙大几分之几？”实际上是说，甲比 乙大的相关量（即差）是乙的几分之几，由于问法中的乙是单位1,所以是除数，差是相关量是被除