大分布及其分位数

1、研究生概率统计讲义研究生概率统计讲义2022-2-7大分布及其分位数1 1.5 常用的分布及其分位数常用的分布及其分位数1. 1. 卡方分布卡方分布卡平方分布、卡平方分布、t t分布及分布及F F分布都是由正态分布所分布都是由正态分布所导出的分布，它们与正态分布一起，是试验统计导出的分布，它们与正态分布一起，是试验统计中常用的分布。中常用的分布。当当X1、X2、Xn相互独立且都服从相互独立且都服从N(0,1)时，时， 2iiZX的分布称为自由度等于的分布称为自由度等于n的的x2(n)分布分布，记作记作 Z x2(n)(n).它的分布密度它的分布密度 研究生概率统计讲义研究生概率统计讲义2022

2、-2-7大分布及其分位数212221,0( )220,nznxeznp z ot her wi s e x2(n)分布分布是非对称分布，具有可加性，也叫是非对称分布，具有可加性，也叫再生性再生性，即当即当Y与与Z相互独立，且相互独立，且Y x2(n)，Z x2(m)，则则Y+Zx2 (n+m)。研究生概率统计讲义研究生概率统计讲义2022-2-7大分布及其分位数32. t分布分布),(,)1()2()21k(f(x)21k2 xkxkkX 具有概率密度函数具有概率密度函数量量定义：若连续型随机变定义：若连续型随机变t分布是英国统计学家分布是英国统计学家W.S.Gosset(1908)提出提出,

3、笔名笔名Student,故又称故又称Student分布分布. XN(0,1)，Yx2 (n)，则，则Z = 的分布称为自由的分布称为自由度等于度等于n的的t分布，记作分布，记作Z t (n)，它的分布密度，它的分布密度n+12n2n+12-()2n()zp(z)=1+n /XYn研究生概率统计讲义研究生概率统计讲义2022-2-7大分布及其分位数4请注意请注意：t分布的分布密度也是偶函数，分布的分布密度也是偶函数，且当且当n30时，时，t分布与标准正态分布分布与标准正态分布N(0,1)的密度的密度曲线几乎重叠为一。这时，曲线几乎重叠为一。这时， t分布的分布函数值分布的分布函数值查查N(0,1

4、)的分布函数值表便可以得到。的分布函数值表便可以得到。3. F分布分布若若X与与Y相互独立，且相互独立，且Xx2 (n)，Yx2 (m)，则，则XYZnm 的分布称为第一自由度等于的分布称为第一自由度等于n、第二自由度等于、第二自由度等于m的的F分布，记作分布，记作ZF (n, m)，它的分布密度，它的分布密度 研究生概率统计讲义研究生概率统计讲义2022-2-7大分布及其分位数52212220220,( )(),nmnnmnmnmzznmp zmnz otherw i seotherw i se请注意请注意：F分布也是非对称分布，它的分布密度与自分布也是非对称分布，它的分布密度与自由度的次序

5、有关，当由度的次序有关，当ZF (n, m)时，时，1/ Z F (m ,n)。4. t分布与分布与F分布的关系分布的关系若若Xt(n)，则，则Y=X2F(1,n)。研究生概率统计讲义研究生概率统计讲义2022-2-7大分布及其分位数65. 5. 常用分布的分位数常用分布的分位数 1）分位数的定义）分位数的定义 分位数或临界值与随机变量的分布函数有关，根据应分位数或临界值与随机变量的分布函数有关，根据应用的需要，有三种不同的称呼，即用的需要，有三种不同的称呼，即分位数、上侧分位数、上侧分分位数与双侧位数与双侧分位数，它们的定义如下：分位数，它们的定义如下：当随机变量当随机变量X的分布函数为的分

6、布函数为 F(x)，实数，实数满足满足0 1时，时，分位数分位数是使是使PX=1-F()=的数的数，双侧双侧分位数分位数是使是使PX2=1-F(2)=0.5的数的数2。研究生概率统计讲义研究生概率统计讲义2022-2-7大分布及其分位数7 因为因为1-F()=，F()=1-，所以上侧，所以上侧分位数分位数就就是是1-分位数分位数 x 1-； F(1)=0.5，1-F(2)=0.5，所以双侧，所以双侧分位数分位数1就是就是0.5分位数分位数 x 0.5，双侧，双侧分位数分位数2就是就是1-0.5分位数分位数 x 1-0.5。2）标准正态分布的）标准正态分布的分位数分位数记作记作 u，0.5分位数分位数记作记作u 0.5，1-0.5分位数记作分位数记作u 1-0.5。 研究生概率统计讲义研究生概率统计讲义2022-2-7大分布及其分位数8研究生概率统计讲义研究生概率统计讲义2022-2-7大分布及其分位数93）卡平方分布的）卡平方分布的分位数记作分位数记作x x2 2(n)。PX x2(n)= 研究生概