吉林省长春市实验中学2019届高三上学期期末考试数学(文)试卷及答案

1、长春市实验中学2016级高三上学期 期末考试数学（文科）试卷、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的1.已知集合M xR|x3, N x|1 ex e,则 MB.0,1C 0,1D.0,1)2.已知i为虚数单位,(1 ai)(2i）是纯虚数，则实数a等于（A. 23.方程 log 1 x221的根的个数是1 C.2B. 1C. 2D.4.等差数列an的前n项和为Sn ,若S1938 ,则 2a11a!2A. 2B. 4C. 6D.5.已知向量r1,1)，n (2,2)，若(rm n)(rnB.3C.2D.6.将函数f （x）1八1倍（

2、纵坐标不变），得到函数22 cos（x 一）图像上所有点的横坐标缩短为原来的 6y g（x）的图像，则函数 y g（x）的图像的一个对称中心是（A.（日0）B (3,0)5CF)7.若如图的程序框图输出的S是126,则应为（5?6?C.7?D. n 8?8.已知某几何体的正视图、侧视图和俯视图均为斜边为角形，该几何体的顶点都在同一球面上，则此球的表面积为()A. 4B.C.D.9.设F为抛物线C : y24x的焦点,曲线y-,(k xPF x轴，则k侧视图0)与C交于点P正视图俯视图B.D. 210.设函数f(x)ln(x),xIn x, xf(m)f( m),则实数m的取值范围是(A.(1,

3、0) U (0,1)B. (, 1)U(0,1)C.(1,0)U(1,)D. (, 1)U(1,)11.若函数y f (x)的图像上存在两点,使得函数的图像在这两点处的切线互相垂直,则称y f (x)具有T性质，下列函数中有 T性质的是A. y sin xB. y In x()x3C. y eD. y xf(x)满足12.已知函数f(x) cos(x )sin x ,则函数4A.最小正周期为T 2B.图像关于点争对称C.在区间(0,一)上为减函数8D.图像关于直线x一对称8二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.x 013,已知实数x, y满足约束条件 4x 3y 4,则z 2y x的

4、最小值是.y 014 .设Sn是等差数列an的前n项和，若S5 10, S105,则公差d 115 .在 ABC 中，若 tan A - , C 150°, BC 1,贝U AB .316.已知函数f(x)是定义在R上的周期为4的奇函数，当0x 2 时，f（x） 4x,皿 17则"万） f（2）三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答(一)必考题：共60分.17. （12 分）已知正项等比数列 an ,其前n项和为Sn满足：S2 5 a3(1)求 an；令bn |lo

5、g3an 1 5|,数列bn的前n项和为Tn,求Tn.18. （12 分）某中学对高三年级的学生进行体质测试，已知高三、一班共有学生30人，测试立定跳远的成绩用茎叶图表示如下(单位：cm)：16171819202122男生成绩不低于185cm的定义为“合格”185cm的定义为“不合格”；女生成绩不低于175cm的定义为“合格”，成绩低于175cm的定义为“不合格”(1)求女生立定跳远成绩的中位数;(2)若在男生中按成绩是否合格进行分层抽样，抽取 6个人，求抽取成绩“合格”的男生人数;(3)若从(2)问所抽取的6人中任选2人，求这2人中恰有1人成绩“合格”的概率.22已知椭圆C：斗与 i(a b

6、 0)的右焦点F2和上顶点B在直线3x J3y 3 0上，过椭圆右 a b焦点的直线交椭圆于 M ,N两点.(1)求椭圆C的标准方程；(2)求 OMN面积的最大值.20. （12 分）四棱锥P ABCD中，PA 平面ABCD ,底面ABCD为直角梯形，ADBC, AD AB, AD 2BC , M 为 PA 1 - 且 PM -PA,3(1)证明：PC平面MBD;,_八 _ ，9(2)若PA AD 3,四棱锥P ABCD的体积为9, 4求直线AB与平面MBD所成角的正弦值.21. (12 分)1 已知函数f(x) xln x b的图象与直线 y 2相切， x(1)求b的值；1 当x e时，f(

7、x) ax恒成立，求实数a的取值范围. e(二)选考题：共10分.请考生在22、23题中任选一题作答.如果多做则按所做的第一题计分22.选彳4 4:坐标系与参数方程(10分)在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为 x 2 防 (t为参数)；以原点O1 2t极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 C2的极坐标方程为21 3sin2 求曲线Ci的普通方程与曲线C2的直角坐标方程; 试判断曲线Ci与C2是否存在两个交点，若存在求出两交点间的距离；若不存在，说明理由23.选彳4 5：不等式选讲(10分)设函数 f(x) |2x 1| |2x a| a, x R .当a 3时，求不等式f (x

8、) 7的解集； 对任意x R恒有f(x) >3,求实数a的取值范围答案CACABDBBDBAD答案：1 答案：d 1 答案：210AB .217.解：（1）设公比为q （q>0）由已知可得：2aq2 3aq aq3解得 q=3, q=-1 （舍） 3'又S25a3,解得a11,an3n1 6'7'b11n 5|5 n(n 5)n 5(n 5)1 2 9所以当n 5时，Tn2n Qn ； 9n 51 2 9当 n 5时 Tn 10 -(1 n 5) -n -n 20 11''2221 29-n -n(n 5)综上可知T2212'1 2

9、9 n n 20(n 5)2 218.解：（1）女生立定跳远成绩的中位数165 1682166.5 cm.3'（2）男生中成绩“合格”和“不合格”人数比为8:4,用分层抽样的方法抽取6个人，则抽取成绩“合格”人数为 4人；6'（3）由（2）设成绩“合格”的4人为A, B, C, D,成绩“不合格”的2人为a,b,从中选出2人有(A,B), (A,C), (A,D), (A,a), (A,b), (B,C), (B,D), (B,a), ( B,b ), (C,D), (C,a), (C,b),(D,a), (D,b), (a,b),共 15种， 9'其中恰有 1 人成绩

10、“合格”的有(A,a), (A,b), (B,a), (B,b), (C, a), (C,b), (D,a), (D,b),共8种，故所求事件概率为 12'152219.解：（1）Q椭圆C： 4 1（a b 0）的右焦点F2和上顶点B在直线3x J3y 3 0上, a b椭圆的右焦点为F2（1, 0）,上顶点为B（0,J3）, 2_22故c=1, b= 73 , a2=b2+c2=4, ,所求椭圆标准方程为 y 1 . 4'43设M（X1, y1）, N（X2, y2）,直线MN的方程为x my 1x?联立x2my 1y2得：(3m2 4)y2 6my 9 0,136'

11、yy26m 3mF1y29 3m28'I yiy2136m2 36(3. 4)22(3m2 4)212 9(m2 1)2126(m2 1) 110'=129(m2 1)112 m1 1,令Q m2-1-1 t 1,),函数 y 9t - 6 在 1, t上为增函数，故当1即 m 0 时，1yly2 |min3 ,此时三角形 OMN的面积取得最小值为12'20. (1)证明：连结AC交BD于N点，连结MN,则 BNCs and又 ADAN12NC PM ，PA, MN / PC ,3MN平面MBD, PC/平面MBD5'(2)解：不妨设AB a为 PA=AD= 3

12、 ,四棱锥P ABCD的132 (2 3)a 3解得1；设点A到平面MBD的距离为,利用体积桥，V三棱锥AMBDY三棱锥MABD , 在 MBD 中MB、5, BD10, MD .13利用余弦定求得 cosMBD及，所10sinMBD 二2 ,所以三角形 MBD的面积10101 7 , 代入V三棱锥a mbdV三棱锥M ABD中信：二二h3 211又因为AB1,所以直线AB与平面MBD所成角的正弦值为 Q71221.解:(1).1f'(x) ln x 1 0 xx (0,f(x)在(0,)上为增函数，且 f'(1) 02'切点的坐标为(1,2),将(1,2)代入 f(x

13、)得 1 + b=2,b=14'(2)由 f (x)ax 得 xlnx - x1 ax令 g(x) ln x11 一、T -, g (x) x x1-2x216'1 12,、1)(1)(- 1)x xx(0,2)时,g'(x) 0,当x(2,g'(x) 08'1 一，e e1 :2 e时，g(x)为减函数，当2, e时，g(x)为增函数g(1) e1 e21一,g(e) 1 e1-1一，显然 g(-) g(e)g(x)恒成立，只须a12'22.解:对于曲线C有x2一 , x 2y 1,对于曲线C2有一y45'(2)显然曲线C1 :1为直线，则其参数方程可写为2旦2(t为参数)与曲线C2 :1等y2 1联立,可知0,所以C1与C2存在两个交点,由 t1t212.2 媾25一,得