平方根知识讲解

1、平方根(提高)【学习目标】1. 了解平方根、算术平方根的概念，会用根号表示数的平方根.2. 了解开方与乘方互为逆运算，会用开方运算求某些非负数的平方根，会用计 算器求平方根.【要点梳理】要点一、平方根和算术平方根的概念1 .算术平方根的定义如果一个正数x的平方等于a ,即x2 a,那么这个正数x叫做a的算术平方根(规定0的算术平方根还是0) ; a的算术平方根记作 百，读作“ a的算术平 方根”，a叫做被开方数.要点诠释：当式子 再有意义时，a 一定表示一个非负数，即0a >0, a>0.2 .平方根的定义如果x2 a ,那么x叫做a的平方根.求一个数a的平方根的运算，叫做开平方.

2、平方与开平方互为逆运算.a( a >0)的平方根的符号表达为7a(a 0),其中质是a的算术平方根.要点二、平方根和算术平方根的区别与联系1 .区别：(1)定义不同；(2)结果不同：«和日2 .联系：(1)平方根包含算术平方根；(2)被开方数都是非负数；(3) 0的平方根和算术平方根均为0.要点诠释：(1)正数的平方根有两个，它们互为相反数，其中正的那个叫它 的算术平方根；负数没有平方根.(2)正数的两个平方根互为相反数，根据它的算术平方根可以立 即写出它的另一个平方根.因此，我们可以利用算术平方根来 研究平方根.要点三、平方根的性质a (a 0)、a2 |a|0 (a 0)a

3、 (a 0) a a a 0要点四、平方根小数点位数移动规律被开方数的小数点向右或者向左移动 2位，它的算术平方根的小数点就相应地向右或者向左移动 1位.例如：J62500 250, 7625 25, 7655 2.5,、 0.0625 0.25.【典型例题】类型一、平方根和算术平方根的概念1、若2m4与3m 1是同一个正数的两个平方根，求 m的值.【思路点拨】由于同一个正数的两个平方根互为相反数，由此可以得到2m4=(3m 1),解方程即可求解.【答案与解析】解：依题意得2m4= (3m 1),解得m = 1 ；m的值为1.【总结升华】此题主要考查了平方根的性质：一个正数有两个平方根，它们互

4、为 相反数.举一反三：【变式】已知2a 1与一a+2是m的平方根，求m的值.【答案】2a 1与a+2是m的平方根，所以2a 1与a + 2相等或互为相 反数.22解：当 2a1 = a+2 时，a = 1,所以 m = 2a 12 1 11当 2a 1+ (a+2) =0 时，a = 1,所以m = 2a 1 2 2(1) 123 2 92、x为何值时，下列各式有意义X 1(1) Jx ;(2) Vx 4 ; (3) vx1 4x ;(4) .x 3【答案与解析】解：(1)因为x2 0,所以当x取任何值时，G都有意义.(2)由题意可知：x 4 0,所以x 4时，Tx7有意义.x 1 0(3)由

5、题息可知：解得：1x1.所以1 x 1时Jx 1x1 x 0有意义.x 1 0(4)由题意可知：，解得x 1且x 3.x 3 0所以当x 1且x 3时，互工有意义.x 3【总结升华】(1)当被开方数不是数字，而是一个含字母的代数式时，一定要讨论，只有当被开方数是非负数时，式子才有意义.(2)当分母中含有字母时，只有当分母不为0时，式子才有意义.举一反三：1 1【变式】已知b 4A/3aF 2点F 2,求的算术平方根.a b【答案】解：根据题意，得3a 2 0，则a 2,所以b=2, .1-2,2 3a 0.3a b 2 2-的算术平方根为，1 1).a b a b类型二、平方根的运算3、求下列

6、各式的值.(1) ,252 242 g后 42 ; (2)20- -V036 -7900 .【思路点拨】(1)首先要弄清楚每个符号表示的意义.(2)注意运算顺序.【答案与解析】解：(1)J252242 gj324249gV257535 ；11 1 81119(2) , 20-V0.36-V900J0.6-30- 0.2 6 1.7.4351- 4352【总结升华】(1)混合运算的运算顺序是先算平方开方，再乘除，后加减，同一 级运算按先后顺序进行.(2)初学可以根据平方根、算术平方根的意义和表示方 法来解，熟练后直接根据4a a(a 0)来解.类型三、利用平方根解方程4、求下列各式中的x.,、2

7、2(1) x 361 0;(2) x 1289;，一、2(3) 9 3x 264 0【答案与解析】解：(1) x2 361 02 x2 361. x ,36119289x 1,289x + 1 = ± 17x = 16 或 x = 18.，一2(3) v 9 3x 264 023x 26483x 2314¥【总结升华】本题的实质是一元二次方程，开平方法是解一元二次方程的最基本 方法.(2) (3)小题中运用了整体思想分散了难度.【变式】求下列等式中的x：(1)若 x2 1.21,贝 Ux=；(2) x2 169,贝Ux=；92(3)若 x2 9MUx=；(4)若 x22 ,

8、则*=.4 【答案】(1) 土；(2) ±13; (3) |； (4) ± 2.类型四、平方根的综合应用【高清课堂：389316平方根：例5】5、已知a、b是实数，且J2a 6 |b &| 0,解关于x的方程(a 2)x b2 a 1 . 【答案与解析】解：a、b是实数，岳飞 |b 夜| 0, J2a 6 0, |b 四| 0, .2a 6 0, b & 0 . a 3, b /2".把 a 3, b >/2代入(a 2)x b2 a 1,得一 x + 2= 4, . .x = 6.【总结升华】本题是非负数的性质与方程的知识相结合的一道题，应

9、先求出a、b的值，再解方程.此类题主要是考查完全平方式、算术平方根、绝对值三者的 非负性，只需令每项分别等于零即可.举一反三：【高清课堂：389316平方根：例5练习】【变式】若JT7 0,求x2011 y2012的值.【答案】解：由X 1 /yl 0 ,得 x2 1 0 , y 1 0,即 x 1 , y 1 .20112012,2011,、2012-当 x = 1, y=1 时，x y 1( 1)2 .当 x = _1, y=_1 时，x2011 y2012 ( 1 )2011 ( 1 )2012 0.【高清课堂：389316平方根：例6】6、小丽想用一块面积为 400cm2的正方形纸片，沿着边的方向裁出一块面积为300cm2的长方形纸片，使它长宽之比为 3:2,请你说明小丽能否用这 块纸片裁出符合要求的长方形纸片.【答案与解析】解：设长方形纸片的长为3x ( x >0) cm ,则宽为2x cm ,依题意得3x 2x 300.6x2 300.x2 50.; x>0,x 50 .长方形纸片的长为3商 cm .v 50 >49,.,.屈