【高考】2020年高考数学一轮复习对点提分专题10.3二项式定理(文理科通用)(教师版)

1、第十篇 计数原理、概率、随机变量及其分布专题10.03 二项式定理【考试要求】1 .能用多项式运算法则和计数原理证明二项式定理；2 .会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题【知识梳理】1 .二项式定理(1)二项式定理:(a+ b)n = C0an+cnan1b + Cnarbr+ C1bn(n C N*);(2)通项公式：+1=a2广rbr,它表示第r + 1项；(3)二项式系数：二项展开式中各项的系数cn, cn,，cn.2 .二项式系数的性质性质性质描述对称性与首末等距离的两个二项式系数相等，即cn=cnk增减性二项式系数cnn +1*当kv 2 (nC N )时，是递增的n 1当k

2、>n； '(n N*)时，是递减的二项式 系数最 大值n当n为偶数时，中间的一项 c2取得最大值n 1n 1当n为奇数时，中间的两项 cn2与cn2取得最大值3 .各二项式系数和(1)(a+b)n展开式的各二项式系数和：C0+C1+Cn+ Cn=2n.(2)偶数项的二项式系数的和等于奇数项的二项式系数的和，即Cn+C2+C4+=C1+Cn+C5+=2n 1【微点提醒】(a+ b)n的展开式形式上的特点(1)项数为n + 1.(2)各项的次数都等于二项式的哥指数n,即a与b的指数的和为n.(3)字母a按降哥排列，从第一项开始，次数由 n逐项减1直到零；字母b按升哥排列，从第一项起，

3、次数 由零逐项增1直到n.(4)二项式的系数从c0, &, 一直到cn1, cn.【疑误辨析】1 .判断下列结论正误(在括号内打”或"X”)(1)cnan-kbk是二项展开式的第 k项.()(2)二项展开式中，系数最大的项为中间一项或中间两项.()(3)(a + b)n的展开式中某一项的二项式系数与a, b无关.()(4)(a+b)n某项的系数是该项中非字母因数部分，包括符号等，与该项的二项式系数不同.()【答案】(1)X (2)X ，(4)，【解析】二项式展开式中Can-kbk是第k+ 1项，二项式系数最大的项为中间一项或中间两项，故 (1)(2)均不正确【教材衍化】2 .

4、(选彳23P31T4改编)(x y)n的二项展开式中，第 m项的系数是()A.cmB.cm+1C.Cm 1D.( 1)m 1Cm 1【解析】(x-y)n展开式中第m项的系数为Cm 1(-1)m 1.【答案】 D3.(选彳3 2-3P35练习A1(3)改编)C0 019+c2 019+ c2 019+ c2 019C0 018 C2 018 c2 018c2 018的值为(7A.2B.4C.2 019D.2 018 X 2 019【答案】B2 019 【解析】原式=N=22=4.22 018-1【真题体验】5 c 24.(2018全国出卷)x2+ 一的展开式中x4的系数为()xA.10B.20C

5、.40D.80【答案】 Cr2【解析】Tr+1 = C5(x2)5 r 2 =C52rx10-3r,由 10-3r = 4,得 r=2,所以 x4 的系数为 C2X 22=40.xak(1< k< 11, kC N+)是5.(2019 东营调研)已知(x+1)10= a+a2x+a3x2+aux10.若数列a1,32,a3,一个递增数列，则k的最大值是()A.5B.6C.7D.8【答案】B【解析】由二项式定理知，an=Ct 1(n=1, 2, 3,，11).又(x+ 1)10展开式中二项式系数最大项是第6项,所以a6=C5o,则k的最大值为6.836.(2018浙江卷)二项式 5十

6、 的展开式的常数项是 .2x【答案】78 r 1 r i r 8 4r 8 4r【解析】该二项展开式的通项公式为Tr + i = C8xV r =C8 1 x丁.令工一=0,解得r=2,所以所求常3 2X 2332 c 1数项为C2X 2 =7.【考点聚焦】考点一通项公式及其应用角度1求二项展开式中的特定项5【例1 1】 (1)(2019北京海淀区二模)俨+1)52的展开式的常数项是()A.5B.10C.-32D. 42(2)x-r的展开式中所有的有理项为. 2 x【答案】(1)D (2)45x2,6345 28 ' 256x5的通项为C5-5 r表(-2)r = C5(-2)rx【解

7、析】(1)由于-1-2Vx 5故(x2 + 1)t一2的展开式的常数项是 C1 (2) + c5(2)5 = 42.110 2k(2)二项展开式的通项公式为Tk+1 = C10 -2 x-10 2k由题意工C Z,且0WkW10, kCN.310-2k3令；=r(rCZ),则 10 2k=3r, k= 5-Tr, 32kC N,，r应为偶数.r 可取 2, 0, 2,即 k可取 2, 5, 8,第3项，第6项与第9项为有理项，它们分别为 x2,一管，256x2【规律方法】求二项展开式中的特定项，一般是化简通项公式后，令字母的指数符合要求(求常数项时，指数为零；求有理项时，指数为整数等 )，解出

8、项数r+1,代回通项公式即可.角度2求二项展开式中特定项的系数【例1 2】 (1)(多项式是积的形式)(2017全国I卷)1 + (1 + x)6的展开式中x2的系数为()A.15B.20C.30D.35(2)(多项式是和.的形式)已知(1 + ax)3+(1x)5的展开式中含x3的系数为一2,则a等于()A.2 事B.2C.-2D. -1(3)(三项展开式问题)(x2+x+ y)5的展开式中，x5y2的系数为()A.10B.20C.30D.60【答案】 (1)C (2)B (3)C【解析】因为(1+x)6的通项为C6x，所以1+x2 (1 + x)6展开式中含x2的项为1C2x2和5c6x4

9、,一、,04 o6X5因为 C2+ c6= 2C2= 2 X7= 30,2X1一-1所以1+x2 (1 + x)6展开式中x2的系数为30.(2)(1 +ax)3+(1x)5 的展开式中 x3 的系数为 C3a3+C5(1)3=a310=2,则 a3= 8,解得 a= 2.法一(x2+x+ y)5= (x2+x)+y5,含 y2 的项为 T3= c5(x2+ x)3 y2.其中(x2 + x)3中含x5的项为C3x4 x= C3x5.所以x5y2的系数为C5C1= 30.法二(x2+x+y)5表示5个x2+x+y之积.，x5y2可从其中5个因式中，两个取因式中x2,剩余的3个因式中1个取x,其

10、余因式取V,因此x5y2的系数为 C2C3C2= 30.【规律方法】1.求几个多项式和的特定项：先分别求出每一个多项式中的特定项，再合并，通常要用到方程或不等式的知识求解.2 .求几个多项式积的特定项：可先分别化简或展开为多项式和的形式，再分类考虑特定项产生的每一种情形，求出相应的特定项，最后进行合并即可.3 .三项展开式特定项：(1)通常将三项式转化为二项式积的形式，然后利用多项式积的展开式中的特定项(系数)问题的处理方法求解；(2)将其中某两项看成一个整体，直接利用二项式展开，然后再分类考虑特定项 产生的所有可能情形【训练1】(1)(2017全国出卷改编)(x+y)(2xy)5的展开式中x

11、3y3的系数为 6(2)在(1工)7+ E+泉 的展开式中，若X2的系数为19,则a =【答案】(1)40 (2)2【解析】(1)由二项式定理可得，展开式中含X3y3的项为x C5(2x)2(-y)3+y C2(2x)3(-y)2=40x3y3,则x3y3的系数为40.3631(2)(1 _1)7 + B比 的展开式中 x2的系数为 C7(W+C'jx)5 jx =C7x2 + C6x2a,则 aC6+C6=19,解得a =2.考点二二项式系数与各项的系数问题【例2】(1)(a + x)(1+x)4的展开式中x的奇数次哥项的系数之和为32,则a=.(2)(2019 汕头质检)若(*+

12、2 + m)9= ao+a(x+1)+a2(x+ 1)2+ + a9(x+ 1)9,且(ao+a2+ + a8)2一(a1 + a3+ a9)2=39,则实数m的值为.【答案】(1)3 (2)1或一3【解析】(1)设(a+ x)(1 +x)4= a0+ax +a2x2+a3x3 +a4x4+asx5,令 x= 1,得 16(a+ 1) = a0+a + a2+a3 + a4+a5,令 x= - 1,得 0= a0 a1 + a2 a3 + a4 a5.一，得 16(a+ 1)=2(a + a3+a5),即展开式中x的奇数次哥的系数之和为a+a3+a5=8(a+1),所以8(a+1)=32,解得

13、a =3.(2)令 x= 0,则(2 + m)9= a0+ a + a2+ a9,令 x= 2,则 m9 = a0a+a2a3+一a9,又(a。+ a2+ a8)2 (a1 + a3 + + a9)2=(a。+ a + a2+ + a9)(ao a1+ a2 a3+ + a8 a9)= 39,(2+ m)9 m9=39, ，m(2 + m)=3, . m= - 3或 m= 1.【规律方法】1.“赋值法”普遍适用于恒等式，是一种重要的方法，对形如(ax+b)n, (ax2+bx+c)m (a,be R）的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法 2.若f（x）= ao+ aix+ a2x2+ a

14、nxn,则f（x）展开式中各项系数之和为f(1)+f(1)f(1)-f(-1)2，偶数项系数之和为a1 + a3+a5+- = 2n2 _一，一 ，f（1）,奇数项系数之和为ao + a2 + a4+243,则展开式中x7的系数为A.5B.40C.20D.10(2)(2018湘潭三模)若(1+ x)(1 2x)8= ao+ax+ a9x9, xC R,则ai 2+a2 22+ a9 29 的值为(A.29B.29TC.39D.39T(1)B (2)Dn.c 2 .一 一由x3+-的展开式的各项系数和为243,令x= 1得3n=243,即n=5xn3 2x3+x3 2 x3+x5,则 Tr+1

15、= C5 (x3)5-rr22 =2rC5x15-4r,令 154r=7,得 r=2, 展开式中 x7 的系数为 22XC2=40. x(2)(1 + x)(1 2x)8= ao+ax+ a2x2+ a9x9,令 x=0,得 ao = 1;令 x = 2,得 ao+ a 2+ a2 22+ a9 29=【训练2】（1）（2019烟台模拟）已知x3+"的展开式的各项系数和为 x39,ai 2+ a2 22+ + a9 29= 39 1.考点三二项式系数的性质角度1二项式系数的最值问题【例31 （2019 上海崇明区二模）二项式3x+ 3xn的展开式中只有第11项的二项式系数最大，则展开

16、式中x的指数为整数的项的个数为（）A.3B.5C.6D.7的通项为根据1 nY3x+3_的展开式中只有第3x11项的二项式系数最大，得n=20,，3x+ 1xn的展开式Tr+1 = C20(5x)20 r .工 =(V3)20 r3x4rC20 x20 I，要使x的指数是整数，需r是3的倍数,r = 0,3, 6, 912, 15, 18,，x的指数是整数的项共有7项.角度2项的系数的最值问题3【例3 2】 已知（“x+x2）2n的展开式的二项式系数和比（3x1）n的展开式的二项式系数和大992,则在2n12x- 的展开式中，二项式系数最大的项为，系数的绝对值最大的项为X 【答案】8 064

17、15 360x4【解析】由题意知，22n2n= 992,即(2n32)(2n+31) = 0,故2n=32,解得n= 5.由二项式系数的性质105知，2x- 的展开式中第6项的二项式系数最大，故二项式系数最大的项为T6= C-o(2x)5 三=-8 064.XX设第k+1项的系数的绝对值最大，k ,“ ,1则 Tk+1=C10 (2x) x =(-1)kC10 210 x10 k,C10 210 kA C，M1 210 k+1,C10> 2C10 令得C10 210 k>C1/ 210 k1，2001,11-k>2k,811即解得8WkW1. kCZ, k=3.故系数的绝对值

18、最大的项是第4项，T4=- C10 27 x4 = - 15 360x4【规律方法】1.二项式系数最大项的确定方法：当n为偶数时，展开式中第 彳+1项的二项式系数最大，nn+1 n+30？最大值为C2 ;当n为奇数时，展开式中第 一2一项和第一2一项的二项式系数最大，最大值为Cn2或Cn2 .2.二项展开式系数最大项的求法如求(a+bx)n(a, bC R)的展开式系数最大的项，一般是采用待定系数法，设展开式各项系数分别为A1,Ak > Ak-1)A2,，An+1,且第k项系数最大，应用从而解出k来，即得.Ak>Ak+1,【训练3】 已知m为正整数，(x+y)2m展开式的二项式系数

19、的最大值为a,(x+y)2k1展开式的二项式系数的最大值为b.若13a=7b,则m=()A.5B.6C.7D.8【答案】 B【解析】由题意可知，a=Cmm, b=Cmm+1.(2m) !(2m+1) !13a=7b,13 :=1-,m! m! m! ( m+ 1) !13 2m+1即与=,解得m= 6.7 m+1【反思与感悟】1 .二项式定理及通项的应用（1）对于二项式定理，不仅要掌握其正向运用，而且应学会逆向运用与变形运用.有时先作适当变形后再展开较为简便，有时需适当配凑后逆用二项式定理（2）运用二项式定理一定要牢记通项Tk+1 = cnankbk,注意出+丹”与8 + 2二虽然相同，但用二

20、项式定理展开后，具体到它们展开式的某一项时是不相同的，一定要注意顺序问题在通项 Tk+1 = Cnan kbk（nC N*）中，要注意有 nCN*, kC N, k<n,即 k=0, 1, 2,，n.2.因为二项式定理中的字母可取任意数或式，所以在解题时根据题意给字母赋值是求解二项展开式各项系数和的一种重要方法.赋值法求展开式中的系数和或部分系数和，常赋的值为0, 士.【易错防范】1 .二项式系数与项的系数是完全不同的两个概念.二项式系数是指 co, cn,，cn,它只与各项的项数有关，而与a, b的值无关；而项的系数是指该项中除变量外的常数部分，它不仅与各项的项数有关，而且也与a, b

21、的值有关.2 .切实理解“常数项” “有理项”（字母指数为整数）“系数最大的项”等概念. 【分层训练】【基础巩固题组】（建议用时：35分钟）一、选择题71.已知X 1的展开式的第4项等于5,则x等于（）x“ 1-1八rA. 7B. 7C.7D. 7【答案】B3【解析】由T4=C3x4 1 =5,得x= 1.X72 .已知（1 + x）n的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为A.2 9【答案】 AB.210C.211D.21213【解析】由题意，C3=C7,解得n= 10.则奇数项的二项式系数和为 2n-1=29.n3 .（2019广州测试）使x2+213 （nC N

22、*）展开式中含有常数项的n的最小值是（）x xA.3B.4C.5D.6【答案】C1 r 15* 广、【解析】Tr+i = cn（x2）n r 23 =2?cnx2n-5r,令 2n5r=0,得 n = 2r,又 nC N*,所以 n 的最小值是 5.4.（2018邯郸二模）在x+n的展开式中，各项系数和与二项式系数和之比为64,则x3的系数为（）A.15B.45C.135D.405【答案】Cn【解析】令x+泉中x为1,得各项系数和为 4n,又展开式的各项的二项式系数和为2n,各项系数的和4n与各项二项式系数的和之比为64,64,解得n= 6, .二项式的展开式的通项公式为Tr + 1 = C6

23、3rx633-3r,令6-3r = 3,求得r=2,故展开式中x3的系数为C6 32= 135.10一15.(2019枣庄二模)若(/a) x +- 的展开式中x6的系数为30,则a等于()xA.1B.1C.1D.232【答案】 D10r【解析】 x+ 1展开式的通项公式为Tr+1 = Cr0x10 r -； =Cr0 x10-2，令102r=4,解得r=3,所以xx10 1 cx4项的系数为C?0,令102r=6,解得r=2,所以x6项的系数为C20,所以(x2a)x+-的展开式中x6x的系数为C10-aC20= 30,解得a = 2.6 .(1 3x)5= ao+ a1x+ a2x2+ a

24、3x3 + a4x4+a5x5,求 |a0| 十 |a11+ |a2|+ |a3|+ |a4|+ 朋=()A.1 024B.243C.32D.24【答案】 A【解析】令 x= 1 得 a。一 a1 + a2 a3+ a4a5= |a0|+ |a1|+ |a2|+ |a3|+ |a4|+ |a5|= 1 ( 3) 5= 45= 1 024.7 .已知 C0+2Cn+22C2+23C3+ 2nCn=729,则 C1+C2+Cn+ C等于()A.63B.64C.31D.32【答案】A【解析】逆用二项式定理得 Cn+2C1+22C2+23C3 + - + 2nCn=(1+2)n = 3n = 729,

25、即 3n=36,所以 n = 6,所以 Cn+ C2+ Cn + + Cn= 26- C0 = 64 1 = 63.8 .若(1 + x+x2)n= a0+aix+ a2X2+ a2nx2n,则 a0+a2+a4+ a2n等于()n3“_ 1n + i3n + 1A.2 nB2-C.2n 1D2-【答案】 D【解析】 设f(x)= (1 +x+x2)n,则 f(1) = 3n = ao + a1 + a2 + a2n,f(1)= 1 = aoa1+a2a3+a2n, 由十 得 2(ao+a2+ a4+ + a2n) = f(1) + f(1),f(1) + f(1) 3n+1所以 ao+a2+

26、a4+ a2n=2= -2 .二、填空题9 .(2017山东卷)已知(1 + 3x)n的展开式中含有x2项的系数是54,则n=.【答案】4【解析】(1+3x)n的展开式的通项为 Tr + 1 = cn(3x)r,令r = 2,得T3= 9C2x2,由题意得9C2 = 54,解得n =4.10 .(2018石家庄调研)(1+x)n的二项展开式中，仅第6项的系数最大，则 n=.【答案】10【解析】(1+x)n的二项展开式中，项的系数就是项的二项式系数，所以 n+1=6, n=10.11 .若将函数f(x) = x5表示为f(x)=ag +a1(1 + x)+a2(1+x)2+, + %(1 +x)

27、5,其中a0,a1，a2,，a5 为实数，则a3=(用数字作答).【答案】10【解析】 f(x) = x5=(1 + x-1)5,它的通项为 Tk+1=C5(1 + x)5-k(1)k,令 5k= 3,则k=2,所以 T3= C5(1 + x)3( 1)2 = 10(1 + x)3,a3= 10.512 . 2x+11的展开式中常数项是(用数字作答).x【答案】161555【解析】 2x+1- 1 = 2x+1 - 1 = (-1)+ 2x + 1 xxxr的展开式中通项公式：Tr + 1=C5(-1)5 r 2x + ；,x，一 1 ，一 一，其中2x+-的通项公式： xk,1,， 一Tk+

28、i=Ck(2x)k x =2r kCkxr 2k,令 r2k= 0,则 k= 0, r=0; k= 1, r=2; k=2, r=4.因此常数项为 C0(1)5+C2X ( 1)3X2X C2 + C4X( 1)X22C4= 161.【能力提升题组】(建议用时：15分钟)13.(2019河南百校联盟模拟)(3 2x x4)(2x1)6的展开式中，含 x3项的系数为()A.600B.360C. - 600D. 360【答案】 C【解析】由二项展开式的通项公式可知，展开式中含x3项的系数为3X C623(1)32X C622( 1)4= 600.1014 .在1 + x + x21019的展开式中，含x2项的系数为()A.10B.30C.45D.120【答案】 C1010101,111【斛析】 因为 1 + x+