知识讲解_直线的倾斜角与斜率_基础

1、直线的倾斜角与斜率【学习目标】1 .了解直线倾斜角的概念，掌握直线倾斜角的范围：2 .理解直线斜率的概念，理解各倾斜角是90时的直线没有斜率；3 .已知直线的倾斜角（或斜率），会求直线的斜率（或倾斜角）；4 .掌握经过两点耳（和弘）和P2（x29y2）的直线的斜率公式：k =1二上（玉，占）：'ZF 一5 .熟练掌握两条直线平行与垂直的充要条件.要点梳理要点一、直线的倾斜角平而直角坐标系中，对于一条与X轴相交的直线，如果把x轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合 时所转的最小正角记为。，则夕叫做直线的倾斜角.规定：当直线和x轴平行或重合时，直线倾斜角为0 ,所以，倾斜角的范围是0 &l

2、t;a<180 .要点诠释：1 .要清楚定义中含有的三个条件直线向上方向：x轴正向；小于180的角.2 .从运动变化观点来看，直线的倾斜角是由X轴按逆时针方向旋转到与直线重合时所成的角.3 .倾斜角a的范围是b4avl80°.当a = （T时,直线与x轴平行或与x轴重合.4 .直线的倾斜角描述了直线的倾斜程度，每一条直线都有唯一的倾斜角和它对应.5 .已知直线的倾斜角不能确定直线的位置，但是，直线上的一点和这条直线的倾斜角可以唯一确定直线 的位置.要点二、直线的斜率1 .定义：倾斜角不是90的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率，常用火表示，即攵=tana.要点诠释：（1）

3、当直线/与x轴平行或重合时，a=0° , k=tanO0 =0；（2）直线/与x轴垂直时，a=90° , k不存在.由此可知，一条直线/的倾斜角。一定存在，但是斜率k不一定存在.2 .直线的倾斜角夕与斜率k之间的关系由斜率的定义可知,当a在（0 ,90 ）范围内时，直线的斜率大于零：当a在（90',180 ）范闱内时，直 线的斜率小于零；当。=0。时，直线的斜率为零；当a = 90。时，直线的斜率不存在.直线的斜率与直线 的倾斜角（90除外）为一一对应关系，且在0 ,90 ）和（9。,180 ）范闱内分别与倾斜角的变化方向一致，即 倾斜角越大则斜率越大，反之亦然.因

4、此若需在0 ,90 ）或（90 ,180 ）范围内比较倾斜角的大小只需比较斜率的大小即可，反之亦然.要点三、斜率公式已知点4(玉,%)、马(，为)，且鸟与工轴不垂直，过两点4(占,)、2(“2,为)的直线的斜率公式攵=9./一玉要点诠释：1 .对于上而的斜率公式要注意下而五点：(1)当Xkx二时，公式右边无意义，直线的斜率不存在，倾斜角a =90° ,直线与X轴垂直：(2)k与P,、P：的顺序无关，即以，力和长，治在公式中的前后次序可以同时交换，但分子与分母不能交 换；(3)斜率k可以不通过倾斜角而直接由直线上两点的坐标求得；(4)当y尸y二时，斜率k=0,直线的倾斜角a =0

5、76; ,直线与工轴平行或重合：(5)求直线的倾斜角可以由直线上两点的坐标先求斜率而得到.2 .斜率公式的用途：由公式可解决下列类型的问题：(1)由、丹点的坐标求A的值；(2)已知攵及m , y,占,先中的三个量可求第四个量：(3)已知女及鸟、鸟的横坐标(或纵坐标)可求1鸟I：(4)证明三点共线.要点四、两直线平行的条件设两条不重合的直线/,/2的斜率分别为公，勺.若4 4'则1与12的倾斜角.与%相等由4 = %，可得tana= tan%，k = k2.因此，若J"，则勺反之，若h=k”则/J/”要点诠释：1 .公式/J2 =4=攵2成立的前提条件是两条直线的斜率存在分别为

6、K，3：4与"不重合：2 .当两条直线的斜率都不存在且不重合时，/1与乙的倾斜角都是90。，则/J/%.要点五、两直线垂直的条件设两条直线的斜率分别为勺，八.若6±/2,则占k =-1.要点诠释：L公式乙=占=-1成立的前提条件是两条直线的斜率都存在：2当一条垂直直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0时，两条直线也垂直.【典型例题】类型一：直线的倾斜角与斜率例1.设直线/与x轴的交点为P,且倾斜角为若将其绕点P按逆时针方向旋转45° ,得到直线/ 的倾斜角为。+45° ,则（）A. 0° WaV90° B. 0° WaV13

7、5° C. 0° VaW135° D. 0° V。<135°【答案】D【解析】: a、a+45°均为倾斜角，f00<cr<180°：.<,A0° WaV135。.0<a + 45°<180° 又直线/与x轴相交，aw（r .故选D.【总结升华】（1）倾斜角的概念中含有三个条件：直线向上的方向：x轴的正方向：小于平 角的正角.（2）倾斜角是一个几何概念，它直观地描述且表现了直线对于x轴正方向的倾斜程度.（3）平面直角坐标系中每一条直线都有一个确定的倾斜角，且倾斜

8、程度相同的直线，其倾斜角相等： 倾斜程度不同的直线，其倾斜角不相等.（4）确定平面直角坐标系中一条直线位置的几何要素是：直线上的一个定点以及它的倾斜角，二者缺 一不可.例2.下列说法正确的是.若两直线的倾斜角相等，则两直线平行或重合：若一直线的倾斜角为150。，则此直线关于y轴的对称直线的倾斜角为30° ：若a, 2a, 3。分别为三条直线的倾斜角，则a不大于60° ；若倾斜角a =90° ,则此直线与坐标轴垂直.【答案】【解析】 若倾斜角相等，则两直线平行或重合，故正确：若两直线关于y轴对称，则其倾斜角互 补，故正确：当a =60°时，3a =180&

9、#176; ,故错误；若a=90° ,则直线与x轴垂直.故错误.【总结升华】本题考查直线的倾斜角定义中的条件及倾斜角的取值范围.理解倾斜角的定义是解决此 题的关键.举一反三：【答案】（1）不正确（2）不正确（3）不正确（4）不正确【解析】题图（1）中的角。的一边取的是x轴的负方向，因此标注不正确；题图（2）中的角。的一边取的是直线向下的方向，因此标注不正确；题图（3）中的角。的两边分别取的是x轴的负方向和直线向下的方向，因此标注不正确，但是它的大 小等于直线的倾斜角.题图（4）中的角。是x轴正方向与直线向上方向所成的角，因此标注不正确.【高清课堂：直线的倾斜角与斜率381490例2例

10、3.如图所示，直线人的倾斜角4= 30。，直线与垂直，求心的斜率.【答案】人=正k2=->/3 3【解析】由图形可知，。2=q+90。，则k1, k2可求.直线 /的斜率 k = tan 4 = tan 30° = 3直线的倾斜角% =90° +30° =120° ,工直线乙的斜率 k2=tanl20° =tan(180° -60° )=-tan60°【总结升华】(1)本例中，利用图形的形象直观挖掘出直线与/，的倾斜角之间的关系是解题的关键.(2)公式tan(180° - a )=-tana是一个重

11、要公式，它是求倾斜角为钝角时的直线斜率的关键，即把 钝角的正切转化为锐角的正切.熟记30° , 45° , 60°角的正切值可快速求解.举一反三：【变式1】下列说法中，正确的是()A.直线的倾斜角为。，则此直线的斜率为tanaB.直线的斜率为则此直线的倾斜角为夕C.若直线的倾斜角为。，则sine >0D.任一直线都有倾斜角，但它不一定有斜率【答案】D【解析】本题主要考查直线的斜率与倾斜角的关系.对于A,当a=90°时，直线的斜率不存在，I. A错；对于B,虽然直线的斜率为tan。，但只有当 0° , 180° )时，。才是此直线

12、的倾斜角，B错；对于C,当直线平行于x轴时，。=0° ,而sin00 =0, ，C错.工应选D.类型二：过两点的直线斜率公式的应用例3.经过下列两点的直线的斜率是否存在？如果存在，求其斜率.(1) (1, -1), (-3, 2)； (2) (1, -2), (5, -2)； (3) (3, 4), (一2, -5)； (4) (3, 0), (3, 4).3 9【答案】(1) -(2) 0 (3) - (4)不存在4 5【解析】当倾斜角a =90°时，斜率不存在：当aW90。时，A =2二U(1)k = * = ."=母=°；攵=/4：(4)倾斜角 k

13、不存在.【总结升华】应用斜率公式求斜率时，首先应注意这两点的横坐标是否相等，若相等，则这两点的连 线必与X轴垂直，即直线的倾斜角为9(r ,故其斜率不存在，也就不能运用斜率公式求斜率.事实上，此 时若将两点坐标代入斜率公式，则其分母为零无意义，即斜率不存在；其次，在运用斜率公式时，分子的 被减数与分母的被减数必须对应着同一点的纵坐标和横坐标.举一反三：【变式1】直线/过点A (1, 2), B (m, 3),求/的斜率.【答案】不存在或一L一1【解析】若n】=l,此时/的倾斜角为工，显然直线斜率不存在,；23-21若mWl,则直线斜率存在，设此时斜率为匕 倾斜角为a, k = tana = -

14、 = m 一 1 m 一 1例4.已知A (a, 2), B (5, 1), C (-4, 2a)三点在同一条直线上，求a的值.7【答案】2或一2【解析】B, C三点共线，kAB=kBC» 2-1 _ 2«-1*5-4-57 解得a=2或。=一.27故所求的a的值为2或一.2【总结升华】 由于直线上任意两点的斜率都相等，因此A, B, C三点共线<=>A, B, C中任意两点的斜率相等(如kAB=kAC).斜率是反映直线相对于X轴正方向的倾斜程度的，直线上任意两点所确定的方向不变，即在同一直线 上任意不同的两点所确定的斜率相等.这正是利用斜率可证三点共线的原因.

15、举一反三：【变式1】已知A (3, -5), B (1, 3), C (5, 11)三点，试判断这三点是否在同一直线上.【答案】在同一直线上【解析】由题意可知直线AB的斜率=上2 = 2 ,直线BC的斜率须=上口 = 2 .因为kAB=kBc>1+35-1即两条直线的斜率相同，并且它们过同一点B,所以A, B, C三点在同一直线上.例5.已知直线/经过点P (1, 1),且与线段MN相交，又M(2, -3), N(3, -2),求直线/的 斜率k的取值范围.【解析】 如图所示，直线/相当于绕着点P在直线PM与PN间旋转，/'是过P点且与x轴垂直的直 线.当/从PN位置转到厂位置时

16、，倾斜角增大到90° ,而勺我=3，44又当/从/'位置转到PM位置时，倾斜角大于90° ,由正切函数的性质 知，kWkpM=4,4.3 综上所述，k e(-oo,-4U 一,+s4【总结升华】直线的倾斜角是从“形”的角度刻画直线的倾斜程度，而直线的斜率及斜率公式则从“数” 的角度刻画直线的倾斜程度，把二者紧密地结合在一起就是数形结合.利用它可以较为简便地解决一些综合问题，如过定点的直线与已知线段是否有公共点的问题，可先作出草图，再结合图形考虑.一般地，若已知A (xi, yi), B (X2, y2), P (x。，yo),过P点作垂直于x轴的直线,过P点的任 一

17、直线/的斜率为k,则当/'与线段AB不相交时，k夹在kPA与ki，B之间：当/'与线段AB相交时，k在1附 与kpB的两边.举一反三：【变式1】已知直线/过点A(-2,1)且与线段8C相交，设则直线/的斜率4的取值 范围是，【答案】3【解析】画出图形，数形结合 类型三：两条直线平行的条件【解析】直线的斜率为占=汽'*一3),求证：/, /,.例6.已知九经过A (-3, 3), B (-8, 6),"经过M直线/2的斜率为k2 = 6；3：= 一 ：, "T"2ki=k2, ，/,.【总结升华】判定两条不重合的直线是否平行的依据是：当这两条

18、直线均不与X轴垂直时，只需看它 们的斜率是否相等即可，反过来，两条直线平行，则隐含着这两条直线的斜率相等(当这两条直线均不与X 轴垂直时).判定两条直线是否平行，只要研究两条直线的斜率是否相等即可，但是要注意斜率都不存在的情况， 以及两条直线是否重合.举一反三：【变式1】判断下列各小题中的直线6与是否平行.(1) /经过点 A ( 1, -2), B (2, 1), /,经过点 M (3, 4), N (- 1, -1)；(2)乙的斜率为1, 12经过点A (1, 1), B (2, 2)；(3) 4 经过点 A (0, 1), B (1, 0), 经过点 M (-1, 3), N (2, 0

19、)(4)(经过点 A (-3, 2), B (-3, 10), 经过点 M (5, 一2), N (5, 5).1 ，【解析】二=1,八上二2-(-1)- -1-3 4kiWk2，与4不平行(2) kj=L k, = - = 1,-2-1k=k2，4/2或与4重合t 0-1-0-3,(3) kx = _1, k>= -11-0- 2-(-1)Vki=k2, A I./L.1 /(4) 工与人都与x轴垂直，4/一【总结升华】ki=k2<=>是针对斜率都存在的直线，对于斜率不存在或可能不存在的直线要注意 利用图形求解.例7.已知oABCD的三个顶点的坐标分别是A (0, 1),

20、B (1, 0), C (4, 3),求顶点D的坐标.【答案】(3, 4)【解析】解法1：设D(m, n),线段AC的中点为E (2, 2),所以线段BD的中点为E (2, 2),则C 机+ 12 =7，解得 m=3, n=4,所以 D (3, 4).c + 02 =2解法 2：设 D (m, n),由题意得 ABDC, ADBC,则有 kAB=knc, kAD=kBc,0-1 _ 3-n1 04 /?,解得 m=3, n=4,所以 D (3, 4). n- _ 3 0一 0 4-1【总结升华】 解决此类问题的关键是充分利用几何图形的几何性质，并用解析几何中的相关知识解 决.解决本题的关键是如

21、何利用平行四边形的几何性质，其出发点是已知平行四边形的三个顶点如何作出 第四个顶点，这两种作法对应着两种解法.类型四，两条直线垂直的条件例8.判断下列各题中4与4是否垂直.(1)(2)4经过点 A (-L -2), B (1, 2), 经过点 M (2, 1), N (2, 1 )：的斜率为- 10，4经过点A(10, 2), B (20, 3)；/经过点 A (3, 4), B (3, 10), 经过点 M ( 10, 40), N (10, 40).【解析】 求出斜率，利用JJ,U>kik2=-l进行判断，注意数形结合及斜率不存在的特殊情况.3)4=帝=2,"阜= ；kikE，3 21(2) k= 10t k、=,kjk->= 1, ，/. ± /?；20-10