考研数学140分必背公式大全

1、全国硕士研究生统一入学考试数学公式大全导数公式:(tgx)sec2 x(ctgx)csc2 x(secx) secx tgx(cscx)cscx ctgx(ax) axlna(logax)1xlna(arcsin x)(arccos x)(arctgx)(arcctgx)基本积分表：tgxdx In cosx C ctgxdx In sin x C secxdx In secx tgx Cdx2- cos xdx一 2 sin x2sec xdx tgx C2csc xdx ctgx CcscxdxIn cscxctgxsecx tgxdx secx Cdx2 xdx2 a一 arctg 一

2、Ca1 In 2acscx ctgxdx cscx Cxx a axdx CIn ashxdx chx Cdx22a xdx22a xLn 2a. x arcsin aIn2sinn xdxo.x2 a2dx22 ,x a dx、a2 x2dxcos0n xdxx x2 a2chxdx shx Cln(x 2 a2) C x a2 a / 一 ln(x22 a 一 In x22 a . x arcsin C三角函数的有理式积分:,xu tg-,22dudx 21 u22u1 u2sin x 2, cosx 2,1 u21 u2一些初等函数:两个重要极限:双曲正弦:shx双曲余弦:chx双曲正切

3、:thx2x xe e2shx exchx exarshxarchxln(x x2 1)ln(xx21)arthx1ln12 1三角函数公式:诱导公式：sinx /lim 1x 0 xlim(1 l)x e 2.718281828459045、啰数 角A、sincostgctg-a-sin acos a-tg a-ctg a90 - acos asin actg atg a90 + acos a-sin a-ctg a-tg a180 - asin a-cos a-tg a-ctg a180+a-sin a-cos atg actg a270 - a-cos a-sin actg atg a2

4、70 + a-cos asin a-ctg a-tg a360 - a-sin acos a-tg a-ctg a360 + asin acos atg actg a和差角公式:sin()sincoscossincos()coscossinsin、tgtgtg()1 tgtgctg()ctg_ctg1ctgctg和差化积公式:sinsin2sincos22sinsin2 cos2sin2coscos2cos-2cos-2coscos2 sin2sin2倍角公式:sin 2cos2ctg2tg22sin cos22cosctg212ctg2tg1 tg221 1 2sin22 cos2 sins

5、in3cos33sin4cos334sin3cos半角公式:sin 一2tg21 cos21 cos,1 coscos2tg33tg tg31 cos23tg2正弦定理：一sin A反三角函数性质:1 cossinsin1 cosctg-1 cos1 cos1 cossinsin1 cosbsin B2R 余弦定理：c2 sin C2abcosCarcsin x高阶导数公式一一莱布尼兹(2Leibnizarccosxarctgx一 arcctgx 2公式:n(n)八 k (n k) (k)(uv) Cnu vk 0(n)(n 1)u v nu vSV 2)v2!n(n 1) (n kk!1)

6、(n k) (k)u V(n) uv中值定理与导数应用:拉格朗日中值定理:柯西中值定理:f(b)f(b)f(a)f ( )(b a) )F(b) F(a)当F(x) x时, 曲率：柯西中值定理就是 拉格朗日中值定理。弧微分公式:ds v1 y 2dx,其中 y tg平均曲率：K:从M点到M点，切线斜率的倾角变化量；s： MM弧长。M点的曲率:-I s| Idsy I(1 y2)3直线：K 0;半径为a的圆:定积分的近似计算:b矩形法：ab梯形法：af(x)f(x)b抛物线法：f(x)ab a,(V。yinb a 1干2(y。yn)b a 、(y。yn) 3nyn 1 )yiyn 1 2(y2

7、VaVn 2) 4(yi V3yn 1 )定积分应用相关公式: 功：W F s水压力：F p A引力：Fkm要,k为引力系数 r函数的平均值：y1 b, f(x)dxb a a a均方根：1 bb-2f (t)dt aa空间2点的距离：d M 1M 2向量在轴上的投影：Pr ju AB空间解析几何和向量代数:,、2,、2,、2.(X2 X1) (V2 V1) (Z2 Z1)aB cos ,是AB与u轴的夹角。Prju(a a2) Prja Prja2a b a b cosaxbx avbv azbz,是一个数量xx y y z z，两向量之间的夹角： cosaxbx22axayaybyazbz

8、az2,bx2,22bybzijkcaba b sin .例：线速度:axayaz, cbxbybz向量的混合积：abc (a b) cax ay az bx by bza b c cos ,为锐角时,cxcycz代表平行六面体的体积平面的方程：1、点法式：A(x x0) B(y y0) C(zzo) 0,其中 n A, B,C, Mo(xo,yo,zo)2、般方程：Ax ByCz D 03、截距世方程：-y a b平面外任意一点到该平面的距离:AX0 By0 CZ0 DA2 B2 C2Xo空间直线的方程:x x。myy。nZoPt,其中s m,n,p;参数方程:y。ZomtntPt二次曲面:

9、1、椭球面:2、抛物面:2 x2 a2 x2p2yb22y2qz,(p,q 同号)3、双曲面:单叶双曲面:双叶双曲面:2 xa2 xab22 zc2 zc1(马鞍面)多元函数微分法及应用全微分：dz dx x全微分的近似计算：dy yz dz, u . u , u .du dx dy dzx fx(x,y) xy z fy(x,y) y多元复合函数的求导法：z fu(t)，v(t)第z fu(x,y),v(x,y)uz v tv tz u z当u u(x,y), v , u . u .du dx dyxv(x, y)时，dv隐函数的求导公式:隐函数F(x,y) 0,dydxdxxdyy隐函数

10、F(x,y,z) 0,三Fy-Fx Fzd2y dx2Fx(x)+ 一(x Fy yFx岸ydydxFyFz隐函数方程组：F(X，y，U，V)°G(x,y,u,v) °J (F，G)/ F (u,v)G Gu vFuGuFvGvu1(F,G)v1(F,G)xj(x,v)xJ(u,x)u1(F,G)v1(F,G)yj(y,v)yj(u,y)x空间曲线yz(t)(t)在点M (x°, y°, z° )处的切线方程:(t)X x°-(Uy y° (t°)z z°在点M处的法平面方程:(t°)(x X&

11、#176;)(t°)(y y°)(t°)(z z°)°微分法在几何上的应用:若空间曲线方程为：""为°则切向量T FyFz,FzFx,FxFyG(x,y,z)°GyGzGzGx GxGy曲面 F(x,y,z) °上一点 M (x°,y°,z°),则: 1、过此点的法向量:n Fx(x°, y°,z°), Fy(x°,y°, z°), Fz(x°, y°,z°)z°)2

12、、过此点的切平面方程:Fx(x°,y°,z°)(x x°) Fy(x°,y°,z°)(y y°) Fz(x°, y° ,z°)(z3、过此点的法线方程:x x°y y°z z°Fx(x°,y°,z°)Fy(x°,y°,z°) Fz(x°, y°,z°)方向导数与梯度：函数z f (x, y)在一点p(x,y)沿任一方向l的方向导数为： cos sin l x y其中为

13、x轴到方向l的转角。函数z f (x, y)在一点 p(x, y)的梯度：gradf (x,y) i j x y它与方向导数的关系是：、 grad f (x, y) e,其中e cos i sin j,为l方向上的单位向量-f是gradf (x, y)在l上的投影。多元函数的极值及其求法：设fx(x°, y°)fy(x°,y°) °,令：fxx(x°,y°) A, fxy(x°,y°) B,fyy(x°,y°) C2AC B2则：AC B22AC B2A°时，A°时

14、,°,(x°,y°)为极大值°,(x°,y°)为极小值 无极值 不确定重积分及其应用:f (x, y)dxdy f (r cos ,r sin )rdrdDD曲面z f(x, y)的面积AD2dxdy平面薄片的重心：x M-xMx (x,y)dD(x, y)dD平面薄片的转动惯量：对于x轴I x2y (x, y)d ,Dy (x,y)dD(x, y)dD对于y轴I y平面薄片(位于xoy平面)对z轴上质点M (0,0, a),(a0)的引力:2x (x, y)dDFx,Fy,Fz，其中:(x,y)xd(x, y)ydFxfT，Fyf3

15、D/222 X2D/222、5(x y a )(x y a )柱面坐标和球面坐标：Fz(x, y)xdfa 3D / 222.2(x y a )x r cos 柱面坐标：y r sinf (x, y, z)dxdydz F(r, ,z)rdrd dz,其中：F (r, ,z) f (r cos , r sin , z)x r sin cos球面坐标： y r sin sin , dv rd r sind dr r2sin drd dz r cosf (x, y,z)dxdydz F(r,、2)r sin drd d2r(,)2d d F(r, , )r sin dr000重心：x x dv,M

16、1_1y dv, z z dv,其中 M xMMdv转动惯量：I x (y2 z2) dv,22(x z ) dv,22Iz (x y ) dv曲线积分：第一类曲线积分(对弧长的曲线积分)：设f(x,y)在L上连续，L的参数方程为：x ，(t )，则：y (t)x tf(x, y)ds f (t), (t)v 2(t)2(t)dt () 特殊情况：ly 第二类曲线积分(对坐标的曲线积分)：设L的参数方程为xyP(x, y)dx Q(x,y)dyL两类曲线积分之间的关P (t),(t) Q (t), (t)(t)dt系：PdxLQdy(P cos Q cosL)ds,其中和分别为L上积分起止点处

17、切向量的方向角。Q P格林公式：( 一)dxdy二Pdxd x yl当 Py,Q x,即：-Q -P 2时，x y平面上曲线积分与路径 无关的条件:1、G是一个单连通区域；Qdy格林公式：(-QD x得到D的面积：AP)dxdy ydxdy1一D2l:Pdx QdyLxdy ydx2、P(x, y), Q(x,y)在G内具有一阶连续偏导数,且-Q = -P。注意奇点，如(0,0),应 x y曲面积分：对面积的曲面积分:对坐标的曲面积分:R(x, y,z)dxdyP(x, y,z)dydzQ(x,y,z)dzdxRx,y,z(x,y)dxdy,DxyPx( y,z), y,zdydz,D yzQ

18、x, y(z, x),zdzdx,取曲面的上侧时取正取曲面的前侧时取正取曲面的右侧时取正号;号;号。减去对此奇点的积分， 注意方向相反! 二元函数的全微分求积：,Q P-,在=一时，Pdx Qdy才是一兀函数u(x, y)的全微分，其中: x y(x,y)u(x, y) P(x, y)dx Q(x, y)dy,通常设 x0 y0 00(xo.Yo)2,-2tf(x,y,z)ds fx,y,z(x,y) 1 Zx(x,y) zy(x,y)dxdyDxyP(x,y,z)dydz Q(x, y, z)dzdx R(x, y, z)dxdy,其中：zx两类曲面积分之间的关 系：Pdydz Qdzdx

19、Rdxdy (Pcos Qcos Rcos )ds高斯公式:PQR八八( )dvPdydz Qdzdx Rdxdy 二(Pcos Qcos Rcos )dsxyz高斯公式的物理意义通量与散度：散度：div 上 上，即：单位体积内所产生的流体质量，若 div0,则为消失x y z通量： A ndsAn ds(Pcos Qcos Rcos )ds,因此，高斯公式又可写 成： div Adv oAnds斯托克斯公式一一曲线积分与曲面积分的关系：一)dxdy ： Pdx Qdy Rdz ycoscoscosxyzPQRQPRQPzzxxyRQPRQ( )dydz ( )dzdx ( yzzxxdydz

20、 dzdx dxdy上式左端又可写成：xyzPQR空间曲线积分与路径无关的条件：- yijk旋度：rotA xyzPQR向量场A沿有向闭曲线的环流量：Pdx Qdy Rdz A tdsn 11 qqi q(n 1)n n 21是发散的 n常数项级数：等比数列：1 q q2等差数列：1 2 3调和级数:1 - 12 3级数审敛法:1、正项级数的审敛法 根植审敛法(柯西判 别法)：1时，级数收敛设： l|mn；U-，则1时，级数发散01时，不确定2、比值审敛法：1时，级数收敛设： lim小二，则 1时，级数发散n UUn1时，不确定3、定义法：sn u1 u2un;limsn存在，则收敛；否则发

21、散n交错级数u1u2u3u4(或u1 u2u3,un0)的审敛法莱布尼兹定理:如果交错级数满足un un 1limun 0'n那么级数收敛且其和su1,其余项rn的绝又t值rnun 1。绝对收敛与条件收敛：(1)u1 u2un，其中un为任意实数；(2)u1| 阳冈 M如果(2)收敛，则 肯定收敛，且称为绝对 收敛级数；如果(2)发散，而收敛，则称为条件收敛级数。调和级数：1发散，而(-收敛；nn1级数：收敛；n勿Mr1/P 1时发散P级数：Inpp 1时收敛哥级数：23 n /|X 1时，收敛于71-1 X X X X1 Xx 1时，发散对于级数(3)a0 a1x a2x数轴上都收敛

22、，则必存 在R,nXnaXXX,如果它不是仅在原点 收敛，也不是在全R时收敛R时发散，其中R称为收敛半径。R时不定0时，R求收敛半径的方法：设limnan 1an,其中an，an 1是(3)的系数，则0时,R时，R 0函数展开成哥级数:函数展开成泰勒级数：f(x) f(X0)(x X0)匚曳(x X0)余弦级数：bn 0, an f (x)cosnxdxf()(Xo)(x X0)n2!n!余项：RnUI )(x (n 1)!xo)n 1, f(x)可以展开成泰勒级数的充要条件是：lim Rn0nx0 0时即为麦克劳林公式:一些函数展开成哥级数：f(x) f(0) f(0)x ”f(n)(0)

23、n xn!m d m(m 1) 2(1 x) 1 mx - x2!m(msinx x5x5!(1)n2n 11 x(2n 1)!1) (m n 1) n xn!( x(1x1)欧拉公式:ix ixe ecosx ix2e cosx isin x 或ix ixe esin x 2三角级数:f(t) A。其中，a0An sin( n t n 1aAo，ann)a0An sin n，bn(an cosnx bn sin nx)n 1An COs n,t x。在正交性：1,sin x,cosx,sin 2x,cos2x sin nx,cosnx 任意两个不同项的乘积 上的积分=0。傅立叶级数:f (x

24、) a0(an cosnx bn sin nx), 周期 22 n 11an f (x)cosnxdx (n 0,1,2 )其中1,bnf (x)sinnxdx (n 1,2,3 )1121111 1 32 52822 32 42工工工 二八1工2122 42622422 32 422正弦级数：an 0, bn f (x)sin nxdx02(相力口)62(相减)12n 1,2,3 f (x)bnsinn混奇函数n 0,1,2 f (x) -a0ancosn如偶函数21f(x) a0-(an cos-nx bn sin-nx；), 周期2 n 111周期为21的周期函数的傅立叶级数:an其中b

25、n一 f(x)cos dx1 11 1n x .一 f (x)sindx1 11(n 0,1,2 )(n 1,2,3 )微分方程的相关概念: 一阶微分方程：y f(x, y) 或 P(x,y)dx Q(x,y)dy 0可分离变量的微分方程：一阶微分方程可以化 为g(y)dy f(x)dx的形式，解法:(x,y),即写成y的函数，解法：x分离变量，积分后将2代替u,(u) uxg(y)dy f(x)dx 得：G(y) F(x) C称为隐式通解。齐次方程：一阶微分方 程可以写成6 f(x,y) dxydydudu,、dx以u,贝U ux ,u(u),xdxdxdxx即得齐次方程通解。一阶线性微分方

26、程：1、一阶线性微分方程：dy P(x)y Q(x) dx/'当Q(x) 0Bt,为齐次方程，y Ce "xP(x)dxC)e、当Q(x)训，为非齐次方程，y ( Q(x)e P(x)dxdx2 贝努力方程：dy P(x) y Q(x)yn,(n 0,1) dx全微分方程：如果P(x, y)dx Q(x, y)dy 0中左端是某函数的全微 分方程，即:u 、udu(x, y) P(x, y)dx Q(x,y)dy 0,其中:一 P(x,y),一 Q(x,y) xyu(x,y) C应该是该全微分方程的 通解。二阶微分方程：d2y dx2P(x)dxQ(x)yf(x”f(x)f(

27、x)0M为齐次0时为非齐次二阶常系数齐次线性微分方程及其解法：(*) y py qy 0,其中p, q为常数；求解步骤：1、写出特征方程：()r2 pr q 0,其中r2, r的系数及常数项恰好是(*)式中y , y , y的系数;2、求出()式的两个根r1,r23、根据r1,r2的不同情况，按下表写 出(*)式的通解:r1, r2的形式(*)式的通解两个不相等实根(p2 4q 0)rix2xy CieC2e两个相等实根(p2 4q 0)y (ci C2x)erix一对共轲复根(p2 4q 0)rii ,2ipJ,4q p22'2y e x (Ci cos x C2 sin x)二阶常

28、系数非齐次线性微分方程y py qy f(x), p,q为常数f(x) exPm(x)型，为常数；f (x) exP(x)cos x Pn(x) sin x型线性代数部分1 . n行列式共有n2个元素，展开后有n!项，可分解为2n行列式；2 .代数余子式的性质：、Aj和aj的大小无关；、某行(列)的元素乘以其它行(列)元素的代数余子式为0;、某行(列)的元素乘以该行(列)元素的代数余子式为A| ;3 .代数余子式和余子式的关系：Mij ( 1)i jAjAj ( 1)i jMj4 . 设n行列式D :n( n 1)(1)n(n 1)D ;将D上、下翻转或左右翻转，所得行列式为D1，则D1 (

29、1)"d ；将D顺时针或逆时针旋转 90o,所得行列式为 D2,则D2将D主对角线翻转后(转置)，所得行列式为D3 ,则D3将D主副角线翻转后，所得行列式为5.行列式的重要公式:D、主对角行列式：主对角元素的乘积;副对角行列式：副对角元素的乘积上、下三角行列式(11 |)n (n 1)(1尸；主对角元素的乘积;1和1 I：副对角元素的乘积n( n 1)1尸;拉普拉斯展开式:a|b、(1)m5 A B范德蒙行列式：大指标减小指标的连乘积;特征值；6.对于n阶行列式|A，恒有：| E A1)kSk nSk为k阶主子式;7.证明A 0的方法:、|A |A ；、反证法；、构造齐次方程组 Ax

30、 0 ,证明其有非零解;、利用秩，证明r(A) n；、证明0是其特征值；2、矩阵1. A是n阶可逆矩阵:A 0 （是非奇异矩阵）；r（A） n （是满秩矩阵）A的行（列）向量组线性无关；齐次方程组Ax 0有非零解；b Rn , Ax b总有唯一解；A与E等价；A可表示成若干个初等矩阵的乘积；A的特征值全不为0;AT A是正定矩阵；A的行（列）向量组是 Rn的一组基;A是Rn中某两组基的过渡矩阵；2.对于n阶矩阵A :AAA E无条件恒成立;3.1 *1(A ) (A )(A 1)T(AT) 1* TT *(A ) (A )(AB)T BT AT*(AB)111(AB) 1 B 1A 14.5.

31、矩阵是表格，推导符号为波浪号或箭头；行列式是数值，可求代数和;关于分块矩阵的重要结论,A其中均B可逆:1.一个A2OAsA1IIA2 l |As| ；A11n矩阵CB1AB 1CA3、（主对角分块）（副对角分块）1;（拉普拉斯）1 BO ；（拉普拉斯）矩阵的初等变换与线性方程组A ,总可经过初等变换化为标准形，其标准形是唯一确定的:Er OO O m n等价类：所有与A等价的矩阵组成的一个集合，称为一个等价类；标准形为其形状最简单的矩阵;2.3.4.对于同型矩阵A、B ,若r(A) r(B) A: B ;行最简形矩阵：、只能通过初等行变换获得；、每行首个非。元素必须为1;、每行首个非。元素所在

32、列的其他元素必须为 0;初等行变换的应用：(初等列变换类似，或转置后采用初等行变换)r、若(A,E) : (E,X),则 A可逆，且 X A 1 ;c、对矩阵(A,B)做初等行变化，当 A变为E时，B就变成A 1B ,即：(A,B) (E, A 1B);r、求解线形方程组：对于n个未知数n个方程Ax b,如果(A,b): (E,x),则A可逆，且x A%;初等矩阵和对角矩阵的概念：、初等矩阵是行变换还是列变换，由其位置决定：左乘为初等行矩阵、右乘为初等列矩阵；，左乘矩阵A,i乘A的各行元素；右乘， 乘A的各列元素;n、对调两行或两列，符号111E(i,j),且 E(i, j) 1 E(i, j

33、),例如：1111、倍乘某行或某列，符号1E(i(k),且 E(i(k)E(i(1),例如:k11k111X (k 0)；1、倍加某行或某列，符号E(ij(kD,且 E(ij(k) 1 E(ij( k),如:11 k111 k1 (k 0)；15.、型如0 10 0b的矩阵：利用二项展开式;1二项展开式:n _ 0 n(a b)CnaC：amCn a-n 1 1L Cn a bCnbn m m n mCn a b ;m 0注：I、 （ab）n展开后有n1项;7.8.9.10.11.n、Cm n(n 1)L L (n m 1)ig2gsg_ gm出、组合的性质： Cnm c；1m、利用特征值和相

34、似对角化:伴随矩阵:、伴随矩阵的秩:*r(A )、伴随矩阵的特征值:m!(n m)!(AXCmnCmnr(A)r(A)r(A)X,ACn0CmnCnA A1Cnr 2n 0rCnC； 1 ；A A 1、关于A矩阵秩的描述:、r(A)、r(A)、r(A)线性方程组:D、A中有A中有A中有An1n阶子式不为0, n1阶子式全部为0;（两句话）n阶子式全部为0;n阶子式不为0;Ax b ,其中A为m nm与方程的个数相同，即方程组矩阵，则：Ax b有m个方程;n与方程组得未知数个数相同，方程组Ax b为n元方程;线性方程组Ax b的求解：、对增广矩阵B进行初等行变换（、齐次解为对应齐次方程组的解；、

35、特解：自由变量赋初值后求得；由n个未知数m个方程的方程组构成a11x1a12 x2La1n xnba21x1a22x2La2n xnb2.LL L L LL LL L LL ，am1x1 am 2 x2La x nm人。bna11a12La1nx1b1a21a22 La2nx2b2MM OMMMam 1am 2LamnxmbmD、只能使用初等行变换）；n元线性方程:Ax b （向量方程，A为m n矩阵,m个方程，n个未知数）x1、a1 a2 Lanx2 （全部按列分块，其中b2 ）；12nMMxnbn、a1x1 a2x2 L anxn （线性表出）、有解的充要条件：r（A） r（A, ） n

36、（ n为未知数的个数或维数）4、 向量组的线性相关性1 . m个n维列向量所组成的向量组A ：1, 2,L , m构成n m矩阵A （1, 2,L, m）;T 1Tm个n维行向量所组成的向量组B： J, ；,L ,：构成m n矩阵B 2 ;MT m含有有限个向量的有序向量组与矩阵一一对应；Ax 0 有、无非零解；（齐次线性方程组）Axb 是否有解；（线性方程组）AX B 是否有解；（矩阵方程）2 .、向量组的线性相关、无关、向量的线性表出、向量组的相互线性表示3 .矩阵Am n与Bl n行向量组等价的充分必要条件是：齐次方程组 Ax 0和Bx 0同解；（P101例14）4 .r(ATA) r(

37、A) ； ( P101 例 15)5 . n 维向量线性相关的几何意义：、 线性相关0 ；、,线性相关, 坐标成比例或共线（平行）；、, , 线性相关, , 共面；6 . 线性相关与无关的两套定理：若1,2,L ,s线性相关，则1, 2,L , s, s 1必线性相关；若1,2,L ,s线性无关，则1, 2,L , s1必线性无关；（向量的个数加加减减，二者为对偶）若 r 维向量组 A 的每个向量上添上n r 个分量，构成n 维向量组 B ：若 A 线性无关，则 B 也线性无关；反之若B 线性相关，则 A 也线性相关；（向量组的维数加加减减）简言之：无关组延长后仍无关，反之，不确定；7 .向量

38、组A （个数为r ）能由向量组B （个数为s）线性表示，且A线性无关，则r s （二版P74定理7）;向量组A 能由向量组B 线性表示，则r（A） r（B） ；（ P86 定理3）向量组A 能由向量组B 线性表示AX B 有解；r（A） r（A, B） （ P85 定理 2）向量组A能由向量组B等价 r（A） r（B） r（A,B） （ B5定理2推论）8 .方阵A可逆存在有限个初等矩阵 P,P2,L ,Pl ,使A PP2L P ;r、矩阵行等价：ABPAB(左乘，P可逆)Ax0与Bx0同解c、矩阵列等价：ABAQB(右乘，Q可逆)；、矩阵等价：A BPAQB(P、Q可逆)；9 .对于矢I阵

39、Am n与Bl n ：、若A与B行等价，则A与B的行秩相等；、若A与B行等价，则Ax 0与Bx 0同解，且A与B的任何对应的列向量组具有相同的线性相关 性；、矩阵的初等变换不改变矩阵的秩；、矩阵A的行秩等于列秩；10 . 若 Am sBsn Cm n ，则：、C 的列向量组能由A 的列向量组线性表示，B 为系数矩阵；、C 的行向量组能由B 的行向量组线性表示，AT 为系数矩阵；(转置)11 . 齐次方程组 Bx 0 的解一定是ABx 0 的解， 考试中可以直接作为定理使用，而无需证明 ；、ABx 0 只有零解Bx 0只有零解；、Bx 0 有非零解ABx 0一定存在非零解；12 .设向量组Bnr

40、 :bl, b2,L,br可由向量组Ans ： A色人自线性表示为：(Pl10题19结论)(b1, b2,L ,br) (a1,a2,L ,as)K ( B AK )其中K为s r ,且A线性无关，则B组线性无关r(K) r ; ( B与K的列向量组具有相同线性相关性 )(必要性： Q r r(B) r(AK) r(K),r(K) r, r(K) r ；充分性：反证法)注：当 r s 时， K 为方阵，可当作定理使用；13 .、对矩阵Amn，存在Qnm，AQ Em r(A) m、Q的列向量线性无关；(4)、对矩阵Am n ,存在Pn m , PA En (A) n、P的行向量线性无关；14 .

41、1, 2 ,L , s 线性相关存在一组不全为 0 的数k1,k2,L ,ks ，使得 k1 1 k2 2 L ks s 0成立；(定义)x1( 1, 2,L , s) xM20有非零解，即 Ax 0有非零解；xsr( 1 , 2,L , s) s ，系数矩阵的秩小于未知数的个数；15 .设m n的矩阵A的秩为r ,则n元齐次线性方程组 Ax 0的解集S的秩为：r(S) n r；* - . . - . .一 .-一 * . . . 一16 .若 为Ax b的一个解，1, 2,L , n r为Ax 0的一个基础解系，则 ，1, 2,L , n r线性无关；(Pm题 33 结论 )5、 相似矩阵和

42、二次型1. 正交矩阵AT A E 或 A 1AT (定义)，性质：、 A 的列向量都是单位向量，且两两正交，即aiTaj1 i j (i, j 1,2, L n) ；0 ij、若A为正交矩阵，则A 1 AT也为正交阵，且 A 1 ;、若A、B正交阵，则AB也是正交阵；注意：求解正交阵，千万不要忘记施密特正交化 和单位化；2. 施密特正交化：（ai,2,L，&）bi A ；b2a2ba 1 回hL L Lhbi,aJM，a,L,bri,aj 人.bracbigb2L* i ；bi，bb2,b2b i，a i3 .对于普通方阵，不同特征值对应的特征向量线性无关； 对于实对称阵，不同特征值对

43、应的特征向量正交；4 .、A与B等价A经过初等变换得到 B ；PAQ B , P、Q 可逆； r（A） r（B） , A、B 同型； 、A与B合同 CT AC B,其中可逆；xT Ax与xT Bx有相同的正、负惯性指数；、A与B相似 P iAP B ;5 .相似一定合同、合同未必相似；若C为正交矩阵，则 CTAC B A: B,（合同、相似的约束条件不同，相似的更严格）；6 .A为对称阵，则 A为二次型矩阵；7 .n元二次型xT Ax为正定：A的正惯性指数为n ;A与E合同，即存在可逆矩阵 C ,使CTAC E ;A的所有特征值均为正数；A的各阶顺序主子式均大于0;aH 0, A| 0 ;（必

44、要条件）概率论与数理统计部分1 .随机事件及其概率AA A吸收律：A A AA (AB) A A (A B) AA B AB A (AB)反演律："AB A B AB A Bnn nn A A A A i 1i 1 i 1i 12 .概率的定义及其计算P(A) 1 P(A)若A B P(B A) P(B) P(A)对任意两个事件 A, B,有P(B A) P(B) P(AB)加法公式：对任意两个事件A, B,有P(A B) P(A) P(B) P(AB)P(A B) P(A) P(B)nP( A)i 1nP(A)P(AAj)i 11 i j nP(AAjA)1 i j k n(1)n

45、 1P(AA2An) 3 .条件概率c c AP(AB)P B A_-P(A)乘法公式P(AB) P(A)P B A (P(A) 0)P(A1A2An) P(A)P A2 A P An AA2An 1全概率公式(P(A1A2 An1)0)nP(A)P(ABi)i 1P(Bi) P(A Bi)Bayes公式P(Bk A)P(ABk)P(A)P(Bk)P(ABk)P(B)P(ABi) i 14 .随机变量及其分布 分布函数计算P(a X b) P(X b) P(X a) F(b) F(a)5 .离散型随机变量(1) 0 -1分布 k1 kP(X k) p (1 p) , k 0,1(2)二项分布 B(n, p)若 P (