空间点线面位置关系经典例题训练

1、空间点、线、面的位置关系【基础回顾】1.平面的基本性质公理1:如果一条直线上的在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内.公理2:如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，这些公共点的 集合是经过的一条直线.公理3:经过的三点，有且只有一个平面.推论1:经过 有且只有一个平面.推论2:经过 有且只有一个平面.推论3:经过 有且只有一个平面.2.直线与直线的位置关系(1)位置关系的分类(2)异面直线判定定理过平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内 的直线是异面直线.(3)异面直线所成的角定义:设a, b是两条异面直线，经过空间任意一点 Q作直线a' / a, b

2、9; /b,把a'与b'所成的做异面直线a, b所成的角.范围：.3 .公理4平行于 的两条直线互相平行.4 .定理如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角【自我检测11 .若直线a与b是异面直线，直线b与c是异面直线，则直线a与c的位置关 系是2 .如果两条异面直线称为“一对”，那么在正方体的十二条棱中共有异面直线 对.3 .三个不重合的平面可以把空间分成 n部分，则n的可能取值为.4 .直三棱柱 ABCAiBiCi 中，若/ BAC= 90°, AB = AC=AA1，则异面直线 BAi 与ACi所成角的大小为 .5 .下列命题：空间不同

3、三点确定一个平面；有三个公共点的两个平面必重合；空间两两相交的三条直线确定一个平面；三角形是平面图形；平行四边形、梯形、四边形都是平面图形；垂直于同一直线的两直线平行；一条直线和两平行线中的一条相交，也必和另一条相交；两组对边相等的四边形是平行四边形.其中正确的命题是 （填序号）.【例题讲解】i、平面的基本性质戚如图所示，空间四边形 ABCD中，E、F、G分别在AB、BC、CD上，且满足 AE : EB= CF : FB = 2 ： i, CG ： GD=3 ： i, AH ： HD=3 ： i,过 E、F、G 的平面交 AD于H,连结EH.求证：EH、FG、BD三线共点.变式迁移1如图，E、

4、F、G、H分别是空间四边形 AB、BC、CD、DA上的点，且EH与FG 相交于点O.求证：B、D、。三点共线.2、 异面直线的判定啰J 2 如图所示，直线a、b是异面直线，A、B两点在直线a上，C、D两点在 直线b上.求证：BD和AC是异面直线.变式迁移2如图是正方体或四面体，P、Q、R、S分别是所在棱的中点，这四个点不共面的是(填序号).3、 异面直线所成的角附J 3 已知三棱柱ABCAiBiCi的侧棱与底面边长都相等，Ai在底面ABC上的 射影为BC的中点，则异面直线AB与CCi所成的角的余弦值为变式迁移3在空间四边形 ABCD中，已知AD=1, BC=,且ADXBC,对角线BD=, AC

5、 =,求AC和BD所成的角.二、空间的平行关系基础回顾1 .空间直线与平面、平面与平面的位置关系(1) 直线 a和平面民的位置关系有三种： > .(2)两个平面的位置关系有两种：口.2 .直线与平面平行的判定与性质(1)判定定理：如果平面外一条直线和这个乎行，那么这条直线与这个平面平行.(2)性质定理:一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直 线就和交线平行.3 .平面与平面平行的判定与性质(1)判定定理：如果一个平面内有 都平行于另一个平面，那么这两个平面平行.(2)性质定理：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么所得的两条交线 .【自我检测:1 .下列

6、各命题中：平行于同一直线的两个平面平行；平行于同一平面的两个平面平行；一条直线与两个平行平面中的一个相交，那么这条直线必和另一个相交；垂直于同一直线的两个平面平行.不正确的命题个数是.2 .经过平面外的两点作该平面的平行平面，可以作 个.3 . 一条直线若同时平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线的位 置关系是.4 .已知、B是不同的两个平面，直线a?%直线b?&命题P： a与b没有公 共点；命题q： all &则p是q的条件.【例题讲解】1、 线面平行的判定【伤J 1】已知有公共边AB的两个全等的矩形ABCD和ABEF不在同一平面内，P、 Q分别是对角线AE、BD上

7、的点，且AP=DQ.求证：PQ/平面CBE.变式迁移1在四棱锥PABCD中，四边形ABCD是平行四边形，M、N分别是AB、 PC的中点，求证：MN/平面PAD.2、 面面平行的判定以J 2 在正方体ABCDAiBiCiDi中，M、N、P分别是CQ、BiCi、C1D1的中 点，求证：平面MNP/平面AiBD.变式迁移2 已知P为 ABC所在平面外一点，GG2、G3分别是APAB、 PCB、 PAC的重心.求证：平面GiG2G3平面ABC;3、 平行中的探索性问题啰J 3 如图所示，在四棱锥 PABCD中，CD/AB, ADXAB, AD=DC = AB, BCXPC.(i)求证：PAX BC;(

8、2)试在线段PB上找一点M,使CM/平面PAD,并说明理由.变式迁移3如图所示，在正方体 ABCDAiBiCiDi中，O为底面ABCD的中心，P 是DDi的中点，设Q是CCi上的点，问：当点Q在什么位置时，平面DiBQ/平面 PAO?三、空间的垂直关系【基础回顾】1 .直线与平面垂直(i)判定直线和平面垂直的方法定义法.利用判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条 直线垂直，那么 这条直线垂直于这个平面.推论：如果在两条平行直线中，有一条垂直于一个平面，那么另一条直线也 这个平面.(2)直线和平面垂直的性质直线垂直于平面，则垂直于平面内 直线.垂直于同一个平面的两条直线 .垂直于同一直线的两个

9、平面 .2 .直线与平面所成的角平面的一条斜线与它在这个平面内的所成的锐角，叫做这条直线与这个平面所成的角.一条直线垂直于平面，说它们所成的角为 ；直线l II a或l ?a ,说它们所成的角是角.3.平面与平面垂直(1)平面与平面垂直的判定方法定义法.利用判定定理：如果一个平面经过另一个平面的 ,那么这两个 平面互相垂直.(2)平面与平面垂直的性质如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们 的直线垂直于 另一个平面.4.二面角的平面角以二面角的棱上的任意一点为端点，在两个面内分别作 校的射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角.咱我检测；1 .设l, m是两条不同的直线，口是一个平面

10、，则下列命题正确的是 (H 序号).若 1，m, m? % 则 l，;若 l，% l / m,则 m± %;若 l/ % m?% 则 l / m;若 l / % m / % 则 l / m.2 .对于不重合的两个平面 口与&给定下列条件：存在平面使得& B都垂直于存在平面使得& B都平行于%存在直线l?%直线m? &使得l/ m；存在异面直线1、m,使得l / & l / & mil a, m/ ©其中，可以判定与B平行的条件有个.【例题讲解】1、 线面垂直的判定与性质电Ml Rt ABC所在平面外一点S,且SA= SB= S

11、C, D为斜边AC的中点.(1)求证：SD，平面ABC;(2)若 AB=BC.求证：BD，平面 SAC.变式迁移1四棱锥S- ABCD中，底面ABCD为平行四边形，侧面SBC，底面ABCD. 已知/ABC = 45 , SA= SB.证明：SA，BC.2、 面面垂直的判定与性质戚J 2 如图所示，已知四棱柱 ABCDAiBiCiDi的底面为正方形，0八。分别 为上、下底面的中心，且Ai在底面ABCD内的射影是O.求证：平面OiDC，平面ABCD.变式迁移2 如图，在四棱锥 P ABCD中，平面PAD，平面ABCD, AB=AD, / BAD = 60°, E, F分别是AP, AD的中点.求证：(i)直线EF/平面PCD;(2)平面BEF，平面PAD.3、 直线与平面、平面与平面所成的角3】如图，四棱锥S-ABCD的底面是正方形，SD，平面ABCD, SD= 2a, AD=a，点E是SD上的点，且 DE=入(0< K2).(i)求证:对任意的 正(0,2,都有AC±BE;(2)设二面角CAED的大小为0,直线BE与平面ABCD所成的角为0,若 tanf