高数上习题前三章

1、.填空题1.limx2.limx1xsin 一xxx a3.若1xm1x a2 x ax4.x.elim 一x 05.f(x)6.已知当7.8.9.高等数学(上)第一章练习题2sin x9,1 x e x 2 2x - (1 2x)1x ln(1 x)0时,ln3设 f (x)设 f (x)lim 1n2n10.limx11.limx12.已知f(x).单项选择题13.14.A.C.如果15.A.如果A.C.16.-7,6x2 kcos xa bxsin bxx 0 .x 0在x 0连续，则2 axeA-2013 1与cosx 1是等价无穷小，则常数1处处连续，则k1-20在x 0处间断，则常

2、数a和b应满足关系0sinxax1 e1x2 3e1x-10时，变量 x.a不sin工是x无穷小量有界变量但不是无穷小，lim f (x)存在，则 f (x0)x x)不一定存在，B.无定义,lim f (x)和 lim f(x)存在,则x x。x x0lim f(x)存在且 lim f (x) f (x0),x x0类间断点B.无穷大量D.无界变量但不是无穷大C.有定义,D. 0 .B.lim f(x)存在但不一定有 lim f (x)f (x0) , d.lim f (x)不一定存在x x0lim f(x)一定不存在x x00时,下列四个无穷小量中，哪一个是比其它三个更高阶的无穷小量17.

3、A. X2如果f(x)B. 1 COSX , C. 1 X2 1, ln xX 1X 100 X 1，则 f (x)是1 eXx 0D. tanx sin x.A.在(，)内连续B.在X 0处连续在X 1处间断C.在X 0处间断在X 1处连续 D.在X 0、X 1处都间断。18.函数 f(X)11 eXx 0在x 0处间断是因为X 1X 0A. f (x)在X 0处无定义B. lim f(x)和 lim f(x)都不存在 x 0x 019.20.C. lim f (x)不存在 x 0D. lim f(x) f(0).x 0x 3 .函数f(X) 二5 的间断点为 .x3 2x2 3xA. X

4、0, X 1B. X 0, X 1,C. x 1, x 3D. x 0, x 3.方程X4 x 1 0至少有一个根的区间是 .A. 0, ， B. 1, 1 , C. 2, 3 ,D. 1,21.设 f(X)1 . X-sin x 0x 3在xa(1 x) x 00处连续，则aA. 0 ,B. 1,C. 1 ,3D. 3.求下列极限:22.23.24.25.26.27.28.(2)n3nlim - ;n (2)3lim n( n2 1, n2n11lim(1 2)(1 至)n 2232lim(2limX1Mlim(X(3x3522231)70(8x N 100 (5x 2)1);(13)n2n

5、 1h)1)302x2 xx 13X_ 22x2 12云)29.x sin xlimx x cosx30.lim ( x)x231.32.、1 tanx . 1 sin xlim3x 0x31 cos2x33.limx 0xsin x31 cos x34.lXm0(xsin2x11sinx tanx2xe 1lim35.答案与提示填空题2. In 33.4. 05.26.7.28. a9. 310. 011.1,12.二.单项选择题13. D 14. A15. B16.D17.B18.C19.B20. D21.C求下列极限:22liman ( 2)n 13n3n 13n(23lim n( .

6、n2 1n24.1 lim(1 -2)(1 nylim (n25.记Snlimn2)n 133n 1K 2)n1 11) limn2nlimn( 12n12 n(1lim (1 n111)(1 2)(13)(13)(11)(1 n-) n2 2 3 3 4 41 2立2 2223n2n2nn_J)n1 n lim ( 一 n 21 一31,则2sn 1 2-) n5222n2n2Sn Sn26.解:27.28.29.30.31.32.33.34.35.limx2x2lim(xlimx(3x3x2x2 1x sinxx cosx.X lx 2 xim(xn)呵-3 x(f12n 21) (A2)

7、(222n 11)70(8xc、100(5x 2)1 (xlim x 12x 11 lim 一 xlimx1)30limxlim Sn n(32n 1(2n 1二)70(8(52n 32n 1 )2n 12n1)(2x 1) x 12 /. x (xlim x 2x 1-sin x x1 -cosx x1.(1xn)tan x sin x1 lim2x0tanx sin x1 cosx lim x 0 xsin x1 cos3 xxsin 2x3.1)(2x 1)sin xlimx 02x2-2xlxm0(1sin x tanx2xe 1ln( x 1)x 341 sin x-lim2xoco

8、sx)(1)lxm01321、30)x2、ioO ) x3.sinx.cosxx cosx2cosx cos2x2tanx sin xsin xtanxx)2 x 2lim 2x 0 x2lim 打 2x 0 x1 lim2 x 070 303 8_10o5sin xcosx 1cosx 422x2第二章选择题设函数f(x)3cosx，x 0 ，如果f(x)在x 0处连续，则b ()12x b, x 0A.1B.2C.3 D.4皿x 0设f(x) x ' ，则f (x)在x 冽连续,则k的值是()2x 2, x 0A.1B.2 C. 1 D. 2极限lim arcsn(3x)的值是3.

9、 x 0 1 x 1一 3_3ABC6 D622极限lim 1n(1 2x?的值是4 x0ln(1 3x2)1-24A.2B. - C. - D -3395不能导出y f(x)在x0处连续的极限式是A- lim f(x0x) f(x0)0x 0B- lim f (x) f(x0)x x0C"im f(x0x) f(x0 x) 0x 0D.lim, lim f(x°x) f( x)存在x 0 x x 0x6.f (x) 右 lim J x 0 xk0, limx 0g(x)k 1 xc 0(k 0).则当x0,无穷小f(x)与g(x)的关系是A. f (x)为g(x)的高阶无

10、穷小；B. g(x)为f(x)的高阶无穷小；C. f(x)为g(x)的同阶无穷小；D. f(x)与g(x)比较无肯定结论.已知lim a cosx 1，则a的值为7. x 0 xsin x 2()A.0;B.1;C2; D. 1当x1时，无穷小量 上工是无穷小量1的8. 1 2x()A.等价无穷小量；B.同阶但非等价无穷小 量；C.高阶无穷小量；D .低阶无穷小量.1，函数y x 1 x的间断点是1 19. x()A.只有两点x 0,1;B.只有两点x 0, 1;C.只有两点x1,1; D.有三点x 0,1, 1 10函数f(x)在(a, b)内存在零点的充分条件是A. f(a)f(b) 0；

11、B. f(x)在 a, b 上连续;C f(x)在(a, b)上连续,且 f(a)f(b) 0；D. f(x)在 a, b 上连续，且 f(a)f(b) 0.3x 4x设 y x, (a 0, b 0)求y 1 .e3.设f(x)处处可导，且f(x) 0,求9f上 dx f(x)4.(1尸，其中f (x), g(x)均为对x可导，且f(x) 0.求y(x). f(x)5.tan xf(x) e 'x 0试讨论f(x)的可导性，并在可导处求f (x).1, x 06.y y(x)由方程xyf(y) x所确定，其中f (y)为可导函数，求dy. dx7.x 2 t设曲线方程为 2 y ts

12、in21，求此曲线在x 2处的切线方程。sint8 若f(x)在x0处连续，(x) f(x)g(x)在x0处也连续，则能否得出 g(x)在x°处也连续，(如何作肯 定回答，请给出证明，如作否定性回答，请举例说明).求f(x) 上下的间断点，并判定其类型.9.2 ex、几 f(x)10.设(x) tan5xx ，其中(x)在x 0处可导，且0, (0) 1试证：f(x)与x为x0的同阶无穷小设 y -二求y(n).11. x2 3x 2tan x 3x求极限lim ee.12. x 0 sinx13.设(x)在x点连续.证明f(x)(x)sinx在x点可导，并求f ( ).选择题答案1

13、. C ; 2. B ； 3.C; 4. C ; 5.C; 6.D; 7.B ; 8.B ; 9.D; 10D=二.解答题答案1. yex(3a3xin a 4b4xlnb a3xb4x)2x ea3x(3ln a 1)b4x(4lnb 1)另解:3(-)xe3x a y - e(3ln a1)b4x，nb 1) e2.2ax221 (ax2 b)2 ,22_2222a 2a(ax2 b)2 8a2x2(ax2 b)1 (ax2 b)223.ddxf*) f 优f(x) xf (x)f2(x)''o4.1 g(x)in- e f(x)1- f (x)y(x) g(x)ln g(

14、x) f(x) Jf(x)f (x)rr 1g (x)ln f (x) g(x) f (x)f (x)/1g(x)而g(x)1宙“*)在卜一处不连续，故不可导(k 0,1,2,)lim f(x) fx 0 0 xx1%f (0)x1%f(x) f(0)x0 f (0)f (0)不存在.f (x)2 tan xsec x e , x 0(x2)0, x 0xy(y y ln x) f (y)y 1 xdy 1 yxy 1dx xy ln x f (y)7.dy当x 2时，t 0, y 0, dx2t cost1 2sin tcost ,5.2dy dx8 g(x)在X0处不一定连续例：f (x)

15、 sin2 x在x 0处连续g(x)1,当 x 0-,当 x 0 x(x) f (x) g(x)0 ，当x 0 sin2 x,当x 0 x(x) f (x) g (x)在x 0处连续但g(x)在x 0处不连续9 x 0是f(x)的间断点因为 f(0 0)0, f (0 0) 0即 lim f (x) 0 x 0所以x 0是f (x)的可去间断点10. xxm0(x) tg5x2xf(x)与x为同阶无穷小(x0时)11. y(x 1) 1 2(x 2) 1, y(1)(x 1) 2 2( 1)(x 2) 2y ( 1)( 2)(x 1) 32(x 2) 312.y(n) ( 1)( 2)1)nn

16、! (x(n)24(x 1) n11(x 1)n12(x 2) n 1原式tanxelim(x 0 sin x3x .e-)sin xlxmotanx etanxlim(sin x x 03x .e 13xE) sin xlim13. xf(x) f()limx(x) sin xxlimx(x) limxsin x sinf (x)在x处可导，且f (高等数学(上)第三章练习题一.填空题1. f(x) ln(2x 1)-x 的增区间是 一、.1.八，.，一，一2. f(x) a sin x - sin3x 在 x 处取极值，则 a 33x23. .曲线y e万在区间 是凸的3.2 .4 .点(

17、1,2)是y ax bx的拐点，则a , b 5 .曲线y 1n(x 1)的水平渐近线是 ,垂直渐近线是 x 2x 3t26 .曲线q在对应于t 1的点处的曲率K y 3t t3.单项选择题7 .函数f(x) (x 1)(x 2)( x 3),则方程有f (x) 0有【A . 一个实根B.二个实根C.三个实根D. 无实根cos5x .8 .极限lim【x cos3x2A. 5 B. 1 39.当 x 0 时，exA. a -, b 12C. a -, b 1210.若 lim f(x一半)x a (x a)C. 1 D.二32一 ，2 、，一一(ax bx 1)是比x高阶无穷小，则【B.a 1

18、, b 1D. a 1 , b 2A. f(x)导数存在且f (a)C. f(x)取极小值0 B.f(x)取极大值D. f (a)不存在1 ,贝U x 2处【】11. f(x)在x a某邻域内有三阶连续导数，且f (a) f (a) 0 , f (a) 0,则【A . x a是f (x)的极小值点B. x a是f (x)的极大值点C. (a f(a)是曲线y f(x)的拐点D. x a不是f(x)的极值点，(a f (a)不是曲线y f(x)的拐点12. f(x)在a ,b上连续，在(a , b)内具有二阶导数，且f (x) 0, f (x) 0,则曲线y f (x)在a,b上1A.上升且为凸

19、的B.上升且为凹的C. 下降且为凸的 D. 下降且为凹的三.求下列极限x e13. lxm0e x 2x-3x14. limxln( x21)In x15.21lim x 1 xsin 一xx16. lxm1x 1 In x17lxm01x2ex 1 cosx18.lim arc tan x x 21ln x四.解答下列各题19 .设f(x)在0 ,上连续，在(0,)内可导，证明在(0 ,)内至少存在一点，使 f ( ) f( )cot20 .设f(x)在a, b上连续，在(a, b)内具有二阶导数，且f(a) f (b) 0, f(c) 0(a c b),证明：至少存在一点(a , b)使f

20、 ( ) 02x21 .证明：当 x 1 时，arctanx arcsin21 x222 .已知a b e,证明：ab ba23 . f(x)在0 ,)上连续且f(0) 0, f (x)在(0 ,)内单调增加，求证：f在(0 ,)内单调增加x24 .已知函数 f(x)2x3 6x2 18x 7(1)求函数f(x)的单调区间与极值(2)曲线y f (x)图形凹凸区间与拐点25. (1) X 0时,(2) 0 q 1证明：ln(1 x) x2,xnln(1 q) ln(1 q ) L ln(1qn),证明：lim xn存在n26.设(1)(2)fn(x) x证明：方程2n /x L x (n fn

21、(x) 1 在(0 ,2,3,L )内有惟一的实根xn证明：limxn存在，并求limxn27.在抛物线y 1 x2 ( 0 X 1)找一点M ,过点与两坐标轴围成的三角形的面积最小作该抛物线的切线，使切线28.设 x333xy y3确定y是x的隐函数，求y参考答案与提示y(x)的驻点并判别是否为极值点.1.2.3.1,14.1, b5.0, x6.二.7. B.13.四.19.20.8. D13提示: 提示：9. A10. B11. C14.15.12. B1616.18.21.22.23.设 F (x) f (x)sin x应用Rollee定理f (x)分别J在a , c c, b上应用 Lagrangef (x)在1 ,提示：令提示：令提示：令中值定理,f(x)f(x)2用Lagrange中值定理+- 2xarctan x arcsin1 x2ln xU匕，判别f(x)在e,证明在(1,)内£仁)F(x)xf (x)x)上单调性求导得F (x)由L