圆知识点总结及归纳

1、.第一讲圆的方程一、知识清单（一）圆的定义及方程定义标准方程一般方程平面内与定点的距离等于定长的点的集合(轨迹 )(x a)2 (yb)2 r 2(r>0)圆心： (a， b)，半径： rx2 y2 Dx EyF 0圆心： D，E，22(D2E2 4F>0)半径：122 4F2D E1、圆的标准方程与一般方程的互化（1）将圆的标准方程(xa) 2 (y b)2 r2展开并整理得 x2 y2 2ax 2by a2 b2 r2 0，取 D 2a， E 2b， F a2 b2 r2，得 x2 y2 Dx Ey F 0.（2）将圆的一般方程x2 y2 Dx Ey F 0 通过配方后得到的方

2、程为：(xD)2 (y E)2 D2 E2 4F224当 D2E2 4F>0 时，该方程表示以 ( D ， E)为圆心，1 D 2 E2 4F为半径的圆；22222DED当 D E 4F 0 时，方程只有实数解x 2 ， y2，即只表示一个点( 2，E2)；当 D 2 E2 4F<0 时，方程没有实数解，因而它不表示任何图形2、圆的一般方程的特征是： x2 和 y2 项的系数都为 1 ，没有xy 的二次项 .3、圆的一般方程中有三个待定的系数D 、 E、 F ，因此只要求出这三个系数，圆的方程就确定了（二）点与圆的位置关系点 M(x0， y0)与圆 (xa)2(y b)2 r 2

3、的位置关系：222（ 1）若 M(x0， y0)在圆外，则 (x0 a) (y0 b) >r .（ 2）若 M(x0， y0)在圆上，则 (x0 a)2 (y0 b) 2 r 2.（ 3）若 M(x0， y0)在圆内，则 (x0 a)2 (y0 b) 2<r2.;.(三)直线与圆的位置关系方法一：方法二：（四）圆与圆的位置关系1 外离2 外切3 相交4 内切5 内含（五）圆的参数方程（六）温馨提示221、方程 Ax Bxy Cy Dx Ey F 0 表示圆的条件是：2、求圆的方程时，要注意应用圆的几何性质简化运算（ 1）圆心在过切点且与切线垂直的直线上（ 2）圆心在任一弦的中垂线上

4、（ 3）两圆内切或外切时，切点与两圆圆心三点共线3、中点坐标公式：已知平面直角坐标系中的两点A(x1，y1)，B(x22) ，点 M (x， y) 是， y线段 AB 的中点，则 x x1 x2 ， y y1y2 .22;.二、典例归纳考点一：有关圆的标准方程的求法【例1】圆22，半径是.x ay bm2 m 0 的圆心是【例 2】 点 (1,1)在圆 (x a)2 (y a)2 4 内，则实数a 的取值范围是()A ( 1,1)B (0,1)C( ， 1) (1， )D (1， )【例 3】 圆心在 y 轴上，半径为1，且过点 (1,2)的圆的方程为 ()A x2 (y2)21B x2 (y

5、 2)2 1C( x 1) 2 (y3) 2 1D x2 (y 3)2 1【例 4】 圆 (x2) 2 y2 5 关于原点P(0,0)对称的圆的方程为 ()A (x 2)2y25B x2 (y 2)2 5C( x 2) 2 (y2) 2 5D x2 (y 2)2 5【变式 1】已知圆的方程为x1x2y2y40 ，则圆心坐标为【变式 2】已知圆 C 与圆 x 1221 关于直线 yx 对称，则圆 C 的方程为y【变式 3】 若圆 C 的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x 3y 0和 x 轴都相切，则该圆的标准方程是 ()A (x 3)2 y7 21B (x 2)2 (y 1)2 1322D.

6、 x322C( x 1) (y3) 12(y 1) 1【变式4】已知ABC 的顶点坐标分别是A1,5 ， B 5,5 ， C 6, 2 ，求ABC 外接圆的方程 .;.方法总结 ：1利用待定系数法求圆的方程关键是建立关于a， b， r 的方程组2利用圆的几何性质求方程可直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程，体现了数形结合思想的运用考点二、有关圆的一般方程的求法【例 1】 若方程 x2 y2 4mx 2y5m0 表示圆，则m 的取值范围是 ()A .1 m 1B m1或 m 1C m1D m 1444【例 2】 将圆 x2 y2 2x 4y1 0 平分的直线是 ()A x y 1 0B x y

7、3 0C xy 1 0D x y 3 0【例 3】 圆 x22xy2 30 的圆心到直线x3y 3 0 的距离为 _【变式 1】 已知点 P 是圆 C : x2y24xay50 上任意一点， P 点关于直线2 xy10 的对称点也在圆C 上，则实数 a =【变式 2】 已知一个圆经过点A 3,1 、 B1,3 ，且圆心在 3xy20 上，求圆的方程 .【变式 3】 平面直角坐标系中有A 0,1 , B 2,1 , C 3,4 , D1,2 四点，这四点能否在同一个圆上？为什么？;.【变式4】 如果三角形三个顶点分别是O(0,0)， A(0,15) ， B( 8,0)，则它的内切圆方程为_ 方法

8、总结：1利用待定系数法求圆的方程关键是建立关于D， E， F 的方程组2熟练掌握圆的一般方程向标准方程的转化考点三、与圆有关的轨迹问题【例 1】动点 P到点A(8,0)的距离是到点B(2,0)的距离的2 倍，则动点P 的轨迹方程为()A x2 y2 32B x2 y2 16C( x 1) 2 y216D x2 (y 1)2 16【例 2】 方程 y25 x2表示的曲线是（）A. 一条射线B. 一个圆C. 两条射线D. 半个圆【例3】在ABC中，若点 B,C 的坐标分别是（ -2,0）和（ 2,0），中线 AD 的长度是3，则点 A 的轨迹方程是（）A. x2y23B. x2y24C. x222

9、2y 9 y 0D. xy 9 x 01【例4】 已知一曲线是与两个定点O(0,0) ，A(3,0) 距离的比为的点的轨迹求这个曲线的方程，并画出曲线【变式 1】 方程 x1 12y 1 所表示的曲线是（）A. 一个圆B. 两个圆C. 一个半圆D. 两个半圆【变式 2】 动点 P 到点 A(8,0) 的距离是到点B(2,0)的距离的2 倍，则动点P 的轨迹方程为;.()A x2 y2 32B x2 y2 16C( x 1) 2 y216D x2 (y 1)2 16【变式 3】 如右图，过点M( 6,0)作圆 C： x2y26x 4y 9 0 的割线，交圆C于 A、B两点，求线段 AB 的中点P

10、 的轨迹【变式4】 如图，已知点A( 1,0)与点 B(1,0)， C 是圆 x2 y2 1 上的动点，连接BC 并延长至 D ，使得 |CD | |BC|，求 AC 与 OD 的交点 P 的轨迹方程方法总结： 求与圆有关的轨迹问题时，根据题设条件的不同常采用以下方法：（ 1）直接法：根据题目条件，建立坐标系，设出动点坐标，找出动点满足的条件，然后化简(2)定义法：根据直线、圆等定义列方程(3)几何法：利用圆与圆的几何性质列方程(4)代入法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式等;.考点四：与圆有关的最值问题【例 1】 已知圆x2 y2 2x 4y a 0 关于直线y 2xb 成轴

11、对称，则a b 的取值范围是_【例 2】 已知 x， y 满足 x2 y2 1，则 y 2的最小值为 _x 1【例 3】 已知点M 是直线3x 4y 2 0 上的动点，点N 为圆 (x 1)2 (y 1)2 1 上的动点，则 |MN |的最小值是 ()9413A.5B1C.5D. 5【例 4】已知实数x， y 满足 (x 2)2 (y 1)2 1 则 2x y 的最大值为 _，最小值为_【变式 1】 P(x， y)在圆 C： (x 1)2 (y 1)21 上移动，则x2 y2 的最小值为 _【变式 2】 由直线 y x 2 上的点 P 向圆 C： (x 4)2 (y 2)2 1 引切线 PT(T 为切点 )，当|PT|最小时，点 P 的坐标是 ()A ( 1,1)B (0,2)C ( 2,0)D (1,3)【变式 3】 已知两点A( 2,0)， B(0,2)，点 C 是圆 x2 y2 2x 0 上任意一点，则ABC 面积的最小值是 _【变式 4】已知圆M 过两点 C(1， 1)， D ( 1,1)，且圆心M 在 xy 2 0 上（ 1）求圆 M 的方程；（ 2）设 P 是直线 3x 4y 8 0 上的动点， PA、PB 是圆 M 的两条切线， A， B 为切点，求四边形 PAMB 面积的最小值方法总结： 解决与圆有关的最值问题的常用方法（