圆的垂径定理及推论知识点与练习

1、.圆的垂径定理及其推论知识点与练习 AC =AD ；BC =BD（1）垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦 ,并且平分这条弦所对的两段弧。若直径 AB 弦 CD 于点 E，则 CE=DE ，G（2）推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。若 CE=DE ，AB 是直径，则 AC =AD ；BC =BD弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。 FC若 AB CD，CE=DE ，则 CD 是直径， AC =AD ； BC =BDBO EA平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。GD若 AC =AD ，AB 是直径，则 AB CD，CE=DE ，

2、BC =BD圆的两条平行弦所夹的弧相等。若 CDFG，CD、FG 为弦，则 FC =GD特别提示：垂径定理及其推论可概括为：过圆心垂直于弦直径 平分弦 知二推三平分弦所对的优弧平分弦所对的劣弧垂径定理可改写为：如果一条直线垂直于一条弦，并且过圆心，那么这条直线平分弦并且平分弦所对的两条弧其中有四个条件：直线垂于于弦，直线平分弦，直线过圆心，直线平分弦所对的弧它的三个推论可看作 “如果四个条件中有两个成立，那么另外两个也成立 ”（3）垂径定理及推论的应用：它是证明圆内线段相等、角相等、垂直关系及利用勾股定理计算有关线段的长度提供了依据，也为圆中的计算、证明和作图提供了依据、思路和方法。垂径定理中

3、的垂径可以是直径、半径或过圆心的直线、线段，其本质是“过圆心” ；在圆的有关计算中常用圆心到弦垂线段、弦的一半、半径构造出垂径定理的条件和直角三角形，从而应用勾股定理解决问题；1B例：如图，在 O中，弦 AB所对的劣弧为圆的 3，D圆的半径为 2cm，求 AB的长。CA解：如图，连接 OB，过点 O 作 ODAB 交 AB 于点 C，由O题意得，AB =13×360o=120oAOB=120o， AOC=60o, 在 RtAOC中， AOC=60o，OA=2 ，OC=12OA=1 ，AB=2AC=22 OC2AO =2 3故 AB 的长为 2 3练习一、选择题1、如图， AB是O的直

4、径，弦 CDAB，垂足为 M，下列结论不一定成立的是（ ）A、CM=DM B 、ACB=ADB C 、AD=2BD D 、 BCD=BDC;.（1 题图） （2 题图） （3 题）2、圆弧形蔬菜大棚的剖面如图所示， AB=8m， CAD=30°，则大棚高度 CD约为（ ）A、2.0m B 、2.3m C、4.6m D 、6.9m3、如图，在 O中，AB、AC是互相垂直的两条弦， O DAB于 D，OEAC于 E，且 AB=8cm，AC=6cm，那么 O的半径 OA长为（ ）A、4cm B、5cm C、6cm D、8cm4、半径为 2cm的圆中，有一条长为 2cm的弦，则圆心到这条弦的

5、距离为（ ）A、1cm B、 cm C 、 cm D 、2cm5、如图， AB是O的直径， CD为弦， C DAB于 E，则下列结论中不一定成立的是（ ）A、COE=DOE B 、CE=DE C 、OE=BE D 、 BC =BD（题 5） （题 6）6、如图所示，在 O中，O DAB于 P，AP=4cm，PD=2cm，则 OP的长等于（ ）A、9cm B 、6cm C 、3cm D 、1cmA二、填空题OC D EB1、如图 1 中有 对全等的直角三角形； 有 个等腰三角形； 有 条相等的弧。 （题 2） （题 3）题 12、如图所示， AB是 O的直径，弦 C DAB于点 P，CD=10c

6、m，AP： PB=1：5，则 O的半径为 cm3、如图所示， O中，弦 CD交直径 AB于点 P，AB=12cm，PA：PB=1：5，且 BPD=30°，则 CD= cm4、在 O中， P为其内一点，过点 P 的最长的弦为 8cm，最短的弦长为 4cm，则 O P_ _ 。5、已知圆的半径 5cm，一弦长为 8cm，则该弦的中点到弦所对的弧的中点的距离为 _ _ 。6、已知圆心到圆的两条平行弦的距离分别是 2 和 3，则两条平行弦之间的距离为 _。;.7、在半径为 5cm的圆内有两条互相平行的弦，一条弦长为 8cm，另一条弦长为 6cm，则这两条弦之间的距离为 _ _ 。8、在弓形 ABC中，弦 AB=24，高 CD=6，则弓形所在圆的半径等于 。9、O的直径为 20，弦 AB=8，P是弦 AB上的一个动点，则 O P的取值范围是 。10、在弓形 ABC中，弦 AB=24，高 CD=6，则弓形所在圆的半径等于 。三、解答题1、如图所示，在 Rt ABC中， C900，AC3，BC4，以点 C为圆心， CA为半径的圆与 AB、BC分别交于点 D、E，求 AB和 AD的长。2 、如图所示， P为弦 AB上一点， C POP交O于点 C，AB8，AP:PB1:3 ，求 PC的长。