第一节集合与函数ppt课件

1、高等数学上）兰辉兰辉办公室：宁静楼办公室：宁静楼214214E-mail: E-mail: 答疑时间：周一至四答疑时间：周一至四 12 12：10-1310-13：15 (15 (第二周开始第二周开始) )地点：致远楼地点：致远楼105105前言上册上册（一元函数）（一元函数）极限极限导数、微分导数、微分积分积分微分方程求解微分方程求解下册下册（多元函数）（多元函数）极限极限偏导数、全微分偏导数、全微分重积分重积分无穷级数无穷级数（空间解析几何）（空间解析几何）极限极限（高等数学的基本方法）（高等数学的基本方法）导数导数（

2、特殊极限）（特殊极限）定积分定积分（特殊极限）（特殊极限）不定积分不定积分一元函数微积分结构互为逆运算互为逆运算计算方法计算方法第一章第一章 函数与极限函数与极限第一节第一节 映射与函数映射与函数 集合集合二二 函数函数三三 函数的性质函数的性质(Mapping and Function)四四 函数的运算及初等函数函数的运算及初等函数微积分是一门以变量为研究对象、以极限方法作为研究工具的数学学科，应用极限方法研究各类变化率问题和几何学中曲线的切线问题，就产生了微分学；应用极限方法研究诸如曲边梯形的面积等涉及到微小量无穷积累的问题，就产生了积分学。英国数学家牛顿和德国数学家莱布尼兹同时发现了微积

3、分，微积分研究的主要对象就是函数。集集合合的的表表示示：描描述述法法、列列举举法法集集合合的的分分类类：有有限限集集、无无限限集集 元元素素与与集集合合的的关关系系：， 集集合合与与集集合合的的关关系系：， , , CAAB 集集合合的的运运算算：， ，设设BA,是任意两个集合是任意两个集合, 任取任取,ByAx 组成组成 一个有序对一个有序对),(yx以这样的有序对的全体组成的以这样的有序对的全体组成的记为记为集合称为集合集合称为集合 与集合与集合 的直积的直积,ABAxyxBA | ),(且且.By 如如,| ),(RyRxyxRR 即为即为xOy面上全面上全体点的集合体点的集合,RR 常

4、记作常记作.2R两集合间的直积或笛卡尔两集合间的直积或笛卡尔)(Descartes乘积乘积区间区间设设,Rba 且且, ba 开区间开区间;|),(bxaxba 闭区间闭区间;|,bxaxba 半开区间半开区间,|),bxaxba ;|,(bxaxba ),(babxax =;xOba,babxax =;xOba),babxax =;xOba,(babxax =;xOba无限区间无限区间,|),xaxa ;|),(bxxb 特别地特别地.),(R ),a xax =;xO a),(bbxx =.xOb ),( R=;xO邻域邻域定义定义 设设 与与 是两个实数是两个实数,a 且且, 0 数集数

5、集| axx称为点称为点 的的 邻域邻域.a 记为记为.|),( axaxaU其中其中, 叫做该邻域的半叫做该邻域的半径径.点点 叫做该邻域的中心叫做该邻域的中心,axa a a ,aa ：左左 邻邻域域 ,:a a 右右 邻邻域域记为记为),( aU即即.|0|),( axxaU点点 的去心的的去心的 邻域邻域, a以以 为中心的任何开区间均是点为中心的任何开区间均是点 的邻域的邻域,aa记为记为).(aUxa a a函函 数数的定义的定义反函数反函数反函数与直接反函数与直接函数之间关系函数之间关系基本初等函数基本初等函数复合函数复合函数函函 数数的性质的性质单值与多值单值与多值有界性有界性

6、单调性单调性奇偶性奇偶性周期性周期性初等函数初等函数函数函数Function)函数概念函数概念定义定义设设x和和y是两个变量是两个变量,D是一个给定的数集是一个给定的数集.如果对于每个数如果对于每个数,Dx 变量变量y按照一定的法则总按照一定的法则总有确定的数值和它对应有确定的数值和它对应, 则称则称 是是 的函数的函数,yx记作记作Dxxfy ),(因变量因变量自变量自变量其中其中,数集数集D称为函数的定义域称为函数的定义域, 记为记为,fD即即.DDf 对对,0Dx 按照对应法则按照对应法则,f总有确定的值总有确定的值)(00 xfy 与之对应与之对应, 称称)(0 xf为函数在点为函数在

7、点 处处0 x的函数值的函数值.因变量与自变量的这种依赖关系通常称因变量与自变量的这种依赖关系通常称为函数关系为函数关系.函数值函数值)(xf全体组成的集合称为函数全体组成的集合称为函数 的值域的值域,f记为记为fR或或),(Df即即.),(|)(DxxfyyDfRf 注注: 构成函数的要素为构成函数的要素为: 定义域与对应法则定义域与对应法则定义域的确定定义域的确定:)1(对实际问题对实际问题, 根据问题的实际根据问题的实际意义确定意义确定;)2(对抽象函数表达式对抽象函数表达式, 约定约定: 定义域是使算式有定义域是使算式有意义的一切实数组成的集合意义的一切实数组成的集合,这种定义域又称为

8、这种定义域又称为函数的自然定义域函数的自然定义域.例如例如,;1 , 1 :,12 Dxy).1 , 1(:,112 Dxy函数的表示法函数的表示法: 表格法、图形法、公式法表格法、图形法、公式法(解析法解析法).函数的图形函数的图形: 坐标平面上的点集坐标平面上的点集),(| ),(Dxxfyyx 称为函数称为函数Dxxfy ),(的图形的图形.从函数的定义可见从函数的定义可见, 自变量在定义域内任取一个数自变量在定义域内任取一个数值值, 对应的函数值总是只有一个对应的函数值总是只有一个, 这种函数称为单这种函数称为单值函数值函数.单值函数与多值函数单值函数与多值函数多值函数多值函数:例如例

9、如,圆的方程圆的方程222ryx 在区间在区间 rr, 上不能确定上不能确定y是是x的单值函数的单值函数.对多值函数对多值函数, 只要附加一些条件只要附加一些条件, 就可以化为单值就可以化为单值函数函数, 这样得到的单值函数称为多值函数的单值分这样得到的单值函数称为多值函数的单值分支支.如对上例如对上例,在附加条件在附加条件0 y或或0 y后后,可可得到下面两个单值分支得到下面两个单值分支22xry 或或.22xry 例例1 求函数求函数义域义域.2lg(3)( )54sinxf xxxx 的定的定函数的表示法函数的表示法根据函数的解析表达式的形式不同根据函数的解析表达式的形式不同, 函数常见

10、函数常见以下三种以下三种:)1(显函数显函数函数函数 由由 的解析表达式直接表示的解析表达式直接表示.yx例如例如. 12 xy)2(隐函数隐函数关系由方程关系由方程0),( yxF来确定来确定.例如例如,).sin(lnyxy 函数的自变量函数的自变量 与因变量与因变量 的对应的对应yx 0, 10, 12)(,2xxxxxf例例如如12 xy12 xy在自变量的不同变化范围中在自变量的不同变化范围中, 对应法则用不同的对应法则用不同的式子来表示的函数式子来表示的函数,称为分段函数称为分段函数.(3) (1) 符号函数符号函数 010001sgnxxxxy当当当当当当几个特殊的分段函数举例几

11、个特殊的分段函数举例1-1xyoxxx sgn(2) 取整函数取整函数 y=xx表示不超过表示不超过 的最大的最大整数整数 1 2 3 4 5 -2-4-4 -3 -2 -1 4 3 2 1 -1-3xyo阶梯曲线阶梯曲线x 是无理数时是无理数时当当是有理数时是有理数时当当xxxDy01)(有理数点有理数点无理数点无理数点1xyo(3) 狄利克雷函数狄利克雷函数(4) 取最值函数取最值函数)(),(maxxgxfy )(),(minxgxfy yxo)(xf)(xgyxo)(xf)(xg函数的有界性函数的有界性设函数设函数)(xf的定义域为的定义域为,D数集数集,DX 假设假设,1K 使得使得

12、Xx 恒有恒有1)(Kxf 成立成立, 则称则称函数函数)(xf在在 上有上界上有上界X;1K假设假设,2K 使得使得Xx 恒有恒有2)(Kxf 成立成立, 则称则称函数函数)(xf在在 上有下界上有下界X;2KM-Myxoy=f(x)X有界有界无界无界M-MyxoX0 x,)(, 0,成成立立有有若若MxfXxMDX .)(否则称无界否则称无界上有界上有界在在则称函数则称函数Xxf函数的有界性函数的有界性有下界有下界.)(xf在在 上有界上有界X)(xf在在 上既有上界又上既有上界又X例如例如, 在在),( 内内, 恒有恒有1|sin| x或或, 1sin1 x故函数故函数 有界有界,xsi

13、n且且 是它的上界是它的上界,1是它的下界是它的下界.1 例例2 证明证明(1)函数函数21xyx 在在(,) 上是有界的上是有界的;(2)函数函数21yx 在在(0,1)上是无界的上是无界的.()yfx 1()fx2()fxxyoI( )yf x 1()f x2()f xxyoI 1212,xxfxfxfxII 任任取取若若有有则则称称在在区区间间上上单单调调增增，称称 是是单单调调增增区区间间 1212,xxfxfxfxII 任任取取若若有有则则称称在在区区间间上上单单调调减减，称称 是是单单调调减减区区间间函数的单调性函数的单调性偶函数偶函数yx)( xf )(xfy ox-x)(xf(

14、 )()( )( )( )()( )( )yf xxDfxf xf xyf xxDfxf xf x 若若对对于于，恒恒有有，则则称称为为奇奇函函数数；若若对对于于，恒恒有有，则则称称为为偶偶函函数数y奇奇函函数数图图像像关关于于原原点点对对称称；偶偶函函数数图图像像关关于于 轴轴对对称称)( xf yx)(xfox-x)(xfy 奇函数奇函数函数的奇偶性函数的奇偶性例例3判断函数判断函数2( )ln(1)f xxx 的奇偶性的奇偶性.2l 2l23l 23l（通常说周期函数的周期是指其最小正周期）（通常说周期函数的周期是指其最小正周期）.( )0()( )( )( )yf xTxDxTDf x

15、Tf xyf xTf x 对对于于函函数数，若若存存在在一一个个常常数数，使使得得对对于于，必必有有，且且恒恒有有，则则称称为为周周期期函函数数，其其中中 叫叫做做的的周周期期函数的周期性函数的周期性例例4设设1,( )0,D x x当当 是有理数时是有理数时x当当 是无理数时是无理数时(狄利克雷函数狄利克雷函数)求求7(),(12),( ),5DDD D x 并讨论其性质并讨论其性质.例例5假设假设( )f x对其定义域上的一切对其定义域上的一切,x恒有恒有( )(2),f xfax 则称则称( )f x对称于对称于.xa 证明证明:那么那么( )f x是以是以2()Tba为周期的周期函数为

16、周期的周期函数.( )f x对称于对称于xa 及及(),xb ab 假设假设幂函数、指数函数与对数函数幂函数、指数函数与对数函数 1. 幂函数幂函数 xy (是常数是常数). (1)0 情形情形;(2)0 情形情形;2. 指数函数指数函数xay ( 是常数是常数,a且且1, 0 aa),其中以其中以为底数为底数7182818. 2 e.xey 3. 对数函数对数函数xyalog ( 是常数是常数,a且且1, 0 aa),的指数函数记为的指数函数记为其中以其中以 为底数的对数函数为底数的对数函数e简记为简记为.ln xy 叫做自然对数函数叫做自然对数函数,4. 三角函数三角函数正弦函数正弦函数余

17、弦函数余弦函数正切函数正切函数余切函数余切函数xysin xycos xytan xycot 其中自变量其中自变量以弧度作单位来表示以弧度作单位来表示.x此外此外, 尚有尚有正割函数正割函数余割函数余割函数xxycos1sec xxysin1csc 0 x0y0 x0yxyDW)(xfy 函函数数oxyDW)(yx 反反函函数数o1( )( )( )yf xDMyDyf xxfyf x 设设的的定定义义域域为为 ，值值域域为为W W，若若对对于于中中的的每每一一个个 值值，在在 中中有有使使的的唯唯一一的的 值值与与之之对对应应，则则其其对对应应法法则则记记作作，这这个个定定义义在在W W上上

18、的的函函数数叫叫做做的的反反函函数数，或或称称它它们们互互为为反反函函数数。直接函数与反函数直接函数与反函数求反函数：求反函数： yfx xy yx 直接函数直接函数反函数反函数互为反函数互为反函数)(xfy 直直接接函函数数xyo),(abQ),(baP)(xy 反反函函数数 直接函数与反函数的图形关于直线直接函数与反函数的图形关于直线 对称对称.xy 1( )( )xyyfxyf x 习习惯惯上上， 、 互互换换，即即是是的的反反函函数数5. 反三角函数反三角函数反正弦函数反正弦函数,arcsin xy ;2,2 反余弦函数反余弦函数,arccosxy ;, 0 ,arctan xy ;2

19、,2 反正切函数反正切函数反余切函数反余切函数,cot xarcy )., 0( 幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数统称为基本初等函数反三角函数统称为基本初等函数复合函数复合函数引例引例 设设,uy 21xu .12xy 定义定义 设函数设函数的定义域为的定义域为)(ufy ,fD而函数而函数的值域为的值域为)(xu , R假设假设, RDf则称函数则称函数为为 的复合函数的复合函数.)(xfy x注注:其中其中自变量自变量,x中间变量中间变量,u因变量因变量y， f(1) f函数函数与函数与函数 构成的复合函数构成的复合函数即即).()(x

20、fxf 通常记为通常记为复合函数复合函数(2)不是任何两个函数都可以复合成一个复合函不是任何两个函数都可以复合成一个复合函例如例如,arcsinuy .22xu 数的数的.(3)复合函数可以由两个以上的函数经过复合构复合函数可以由两个以上的函数经过复合构例如例如:2cotxy ,uy ,cot u.2x 成的成的.例例6设设( )arctan ,yf uu 1( ),utt 2( )1,txx 求求 ( ).fx 例例7 将下列函数分解成基本初等函数的复合将下列函数分解成基本初等函数的复合:2(1)lnsin;yx 2arctan(2);xye 22(3)cos ln(21).yx例例8设设,

21、1( ),1xexf xx x 22,0( ),1,0 xxxxx 求求 ( ).fx 函数的运算函数的运算设函数设函数)(),(xgxf的定义域依次的定义域依次,21DD,21 DDD则我们可以定义这两个函数的下列运算则我们可以定义这两个函数的下列运算:和和(差差):gf ),()()(xgxfxgf ;Dx 积积:gf ),()()(xgxfxgf ;Dx 商商:gf,)()()(xgxfxgf .0)(| xgxDx例例9 设函数设函数( )f x的定义域为的定义域为(, ),l l 证明必存在证明必存在(, )l l 上的偶函数上的偶函数( )g x及奇函数及奇函数( ),h x使得使得( )( )( ).f xg xh x初等函数初等函数幂函数幂函数 指数函数指数函数 对数函数对数函数三角函数三角函数反三角函数反三角函数以上五类函数统称为基本初等函数以上五类函数统称为基本初等函数.由常数和基本初等函数由常数和基本初等函数有限次的函数复合步骤有限次的函数复合步骤经过有