2019年中考数学专题复习第十九讲解直角三角形(含详细参考答案)

1、2019年中考数学专题复习第十九讲 解直角三角形【基础知识回顾】一、 锐角三角函数定义： 在RtABC中，C=900, A、B、C的对边分别为a、b、c，则A的正弦可表示为：sinA= ，A的余弦可表示为cosA= A的正切：tanA= ，它们统称为A的锐角三角函数【名师提醒：1、sinA、cosA、tanA表示的是一个整体，是两条线段的比，没有单位，这些比值只与 有关，与直角三角形的 无关2、取值范围 sinA ， cosA 】二、特殊角的三角函数值：sincostan300450600【名师提醒：1、三个特殊角的三角函数值都是根据定义应用直角三角形性质算出来的，要在理解的基础上结合表格进行

2、记忆2、正弦和正切值随着角度的增大而 余弦值随着角度的增大而 3、几个特殊关系：sinA+cos2A= ,tanA=若A+B=900，则sinA= ，tanA.tanB= 】三、解直角三角形： 1、定义：由直角三角形中除直角外的 个已知元素，求出另外 个未知元素的过程叫解直角三角形 2、解直角三角形的依据：RtABC中，C=900 三边分别为a、b、c三边关系： 两锐角关系 边角之间的关系：sinA cosA tanA sinB cosB tanB 【名师提醒：解直角三角形中已知的两个元素应至少有一个是 当没有直角三角形时应注意构造直角三角形，再利用相应的边角关系解决】3、解直角三角形应用中的

3、有关概念仰角和俯角：如图：在图上标上仰角和俯角铅直线水平线视线视线 坡度坡角：如图：斜坡AB的垂直度h和水平宽度l的比叫做坡度，用i表示，即i= 坡面与水平面得夹角为 用字母表示，则i=tan=。方位角：是指南北方向线与目标方向所成的小于900的水平角 如图：OA表示 OB表示 OC表示 OD表示 （也可称东南方向）3、 利用解直角三角形知识解决实际问题的一般步骤： 把实际问题抓化为数学问题（画出平面图形，转化为解直角三角形的问题）根据条件特点，选取合适的锐角三角函数去解直角三角形解出数学问题答案，从而得到实际问题的答案【名师提醒：在解直角三角形实际应用中，先构造符合题意的三角形，解题的关键是

4、弄清在哪个直角三角形中用多少度角的哪种锐角三角函数解决】【重点考点例析】 考点一：锐角三角函数的概念例1 （2018孝感）如图，在RtABC中，C=90，AB=10，AC=8，则sinA等于（）A B C D 【思路分析】先根据勾股定理求得BC=6，再由正弦函数的定义求解可得【解答】解：在RtABC中，AB=10、AC=8， ， ，故选：A【点评】本题主要考查锐角三角函数的定义，解题的关键是掌握勾股定理及正弦函数的定义考点二：特殊角的三角函数值例2 （2018大庆）2cos60=（）A1 B C D 【思路分析】直接利用特殊角的三角函数值进而计算得出答案【解答】解：2cos60=2 =1故选：

5、A【点评】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键考点三：解直角三角形例3 （2018香坊区）如图，在ABC中，AB=AC，tanACB=2，D在ABC内部，且AD=CD，ADC=90，连接BD，若BCD的面积为10，则AD的长为 【思路分析】作辅助线，构建全等三角形和高线DH，设CM=a，根据等腰直角三角形的性质和三角函数表示AC和AM的长，根据三角形面积表示DH的长，证明ADGCDH（AAS），可得DG=DH=MG=，AG=CH=a+，根据AM=AG+MG，列方程可得结论【解答】解：过D作DHBC于H，过A作AMBC于M，过D作DGAM于G，设CM=a，AB=AC，BC

6、=2CM=2a，tanACB=2， =2，AM=2a， 由勾股定理得：AC=a，SBDC=BCDH=10，2aDH=10，DH=，DHM=HMG=MGD=90，四边形DHMG为矩形，HDG=90=HDC+CDG，DG=HM，DH=MG，ADC=90=ADG+CDG，ADG=CDH，在ADG和CDH中， ，ADGCDH（AAS），DG=DH=MG=，AG=CH=a+，AM=AG+MG，即2a=a+，a2=20，在RtADC中，AD2+CD2=AC2，AD=CD，2AD2=5a2=100，AD=5或-5（舍），故答案为：5【点评】本题考查了等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、三角形面积

7、的计算；证明三角形全等得出AG=CH是解决问题的关键，并利用方程的思想解决问题考点四：解直角三角形的应用例4 （2018随州）随州市新水一桥（如图1）设计灵感来源于市花-兰花，采用蝴蝶兰斜拉桥方案，设计长度为258米，宽32米，为双向六车道，2018年4月3日通车斜拉桥又称斜张桥，主要由索塔、主梁、斜拉索组成某座斜拉桥的部分截面图如图2所示，索塔AB和斜拉索（图中只画出最短的斜拉索DE和最长的斜拉索AC）均在同一水平面内，BC在水平桥面上已知ABC=DEB=45，ACB=30，BE=6米，AB=5BD（1）求最短的斜拉索DE的长；（2）求最长的斜拉索AC的长【思路分析】（1）根据等腰直角三角形

8、的性质计算DE的长；（2）作AHBC于H，如图2，由于BD=DE=3，则AB=3BD=15，在RtABH中，根据等腰直角三角形的性质可计算出BH=AH=15，然后在RtACH中利用含30度的直角三角形三边的关系即可得到AC的长【解答】解：（1）ABC=DEB=45，BDE为等腰直角三角形，DE=BE=6=3答：最短的斜拉索DE的长为3m；（2）作AHBC于H，如图2，BD=DE=3，AB=3BD=53=15，在RtABH中，B=45，BH=AH=AB=15=15，在RtACH中，C=30，AC=2AH=30答：最长的斜拉索AC的长为30m【点评】本题考查了解直角三角形的应用：将实际问题抽象为数

9、学问题（画出平面图形，构造出直角三角形转化为解直角三角形问题）【备考真题过关】一、选择题1（2018云南）在RtABC中，C=90，AC=1，BC=3，则A的正切值为（）A3 B C D 2. （2018贵阳）如图，A、B、C是小正方形的顶点，且每个小正方形的边长为1，则tanBAC的值为（）A B1 C D 3. （2018滨州）在ABC中，C=90，若tanA=，则sinB= 4. （2018天津）cos30的值等于（）A B C1 D 5. （2018宜昌）如图，要测量小河两岸相对的两点P，A的距离，可以在小河边取PA的垂线PB上的一点C，测得PC=100米，PCA=35，则小河宽PA等

10、于（）A100sin35米B100sin55米C100tan35米D100tan55米6. （2018金华）如图，两根竹竿AB和AD斜靠在墙CE上，量得ABC=，ADC=，则竹竿AB与AD的长度之比为（）A B C D 7. （2018威海）如图，将一个小球从斜坡的点O处抛出，小球的抛出路线可以用二次函数y=4x-x2刻画，斜坡可以用一次函数y=x刻画，下列结论错误的是（）A当小球抛出高度达到7.5m时，小球水平距O点水平距离为3mB小球距O点水平距离超过4米呈下降趋势C小球落地点距O点水平距离为7米D斜坡的坡度为1：28. （2018淄博）一辆小车沿着如图所示的斜坡向上行驶了100米，其铅直

11、高度上升了15米在用科学计算器求坡角的度数时，具体按键顺序是（）ABCD9. （2018重庆）如图，AB是一垂直于水平面的建筑物，某同学从建筑物底端B出发，先沿水平方向向右行走20米到达点C，再经过一段坡度（或坡比）为i=1：0.75、坡长为10米的斜坡CD到达点D，然后再沿水平方向向右行走40米到达点E（A，B，C，D，E均在同一平面内）在E处测得建筑物顶端A的仰角为24，则建筑物AB的高度约为（参考数据：sin240.41，cos240.91，tan24=0.45）（）A21.7米B22.4米C27.4米D28.8米二、填空题10. （2018自贡）如图，在ABC中，BC=12，tanA=

12、，B=30；求AC和AB的长11. 如图，旗杆高AB=8m，某一时刻，旗杆影子长BC=16m，则tanC= 12. （2018枣庄）如图，某商店营业大厅自动扶梯AB的倾斜角为31，AB的长为12米，则大厅两层之间的高度为 米（结果保留两个有效数字）【参考数据；sin31=0.515，cos31=0.857，tan31=0.601】13. （2018广西）如图，从甲楼底部A处测得乙楼顶部C处的仰角是30，从甲楼顶部B处测得乙楼底部D处的俯角是45，已知甲楼的高AB是120m，则乙楼的高CD是 m（结果保留根号）。14. （2018荆州）荆州市滨江公园旁的万寿宝塔始建于明嘉靖年间，周边风景秀丽现在

13、塔底低于地面约7米，某校学生测得古塔的整体高度约为40米其测量塔顶相对地面高度的过程如下：先在地面A处测得塔顶的仰角为30，再向古塔方向行进a米后到达B处，在B处测得塔顶的仰角为45（如图所示），那么a的值约为米（1.73，结果精确到0.1）15. （2018大连）如图，小明为了测量校园里旗杆AB的高度，将测角仪CD竖直放在距旗杆底部B点6m的位置，在D处测得旗杆顶端A的仰角为53，若测角仪的高度是1.5m，则旗杆AB的高度约为 m（精确到0.1m参考数据：sin530.80，cos530.60，tan531.33）三、解答题16（2018莱芜）在小水池旁有一盏路灯，已知支架AB的长是0.8m

14、，A端到地面的距离AC是4m，支架AB与灯柱AC的夹角为65小明在水池的外沿D测得支架B端的仰角是45，在水池的内沿E测得支架A端的仰角是50（点C、E、D在同一直线上），求小水池的宽DE（结果精确到0.1m）（sin650.9，cos650.4，tan501.2）17（2018娄底）如图，长沙九龙仓国际金融中心主楼BC高达452m，是目前湖南省第一高楼，和它处于同一水平面上的第二高楼DE高340m，为了测量高楼BC上发射塔AB的高度，在楼DE底端D点测得A的仰角为，sin=，在顶端E点测得A的仰角为45，求发射塔AB的高度18. （2018天津）如图，甲、乙两座建筑物的水平距离BC为78m，

15、从甲的顶部A处测得乙的顶部D处的俯角为48，测得底部C处的俯角为58，求甲、乙建筑物的高度AB和DC（结果取整数）参考数据：tan48lll，tan581.6019（2016连云港）如图，在ABC中，C=150，AC=4，tanB=（1）求BC的长；（2）利用此图形求tan15的值（精确到0.1，参考数据：=1.4，=1.7，=2.2）20. （2018盘锦）两栋居民楼之间的距离CD=30米，楼AC和BD均为10层，每层楼高3米（1）上午某时刻，太阳光线GB与水平面的夹角为30，此刻B楼的影子落在A楼的第几层？（2）当太阳光线与水平面的夹角为多少度时，B楼的影子刚好落在A楼的底部21. （20

16、18临沂）如图，有一个三角形的钢架ABC，A=30，C=45，AC=2（+1）m请计算说明，工人师傅搬运此钢架能否通过一个直径为2.1m的圆形门？22. （2018邵阳）某商场为方便消费者购物，准备将原来的阶梯式自动扶梯改造成斜坡式自动扶梯如图所示，已知原阶梯式自动扶梯AB长为10m，坡角ABD为30；改造后的斜坡式自动扶梯的坡角ACB为15，请你计算改造后的斜坡式自动扶梯AC的长度，（结果精确到0lm温馨提示：sin150.26，cosl50.97，tan150.27）23. （2018泰州）日照间距系数反映了房屋日照情况如图，当前后房屋都朝向正南时，日照间距系数=L：（H-H1），其中L为

17、楼间水平距离，H为南侧楼房高度，H1为北侧楼房底层窗台至地面高度如图，山坡EF朝北，EF长为15m，坡度为i=1：0.75，山坡顶部平地EM上有一高为22.5m的楼房AB，底部A到E点的距离为4m（1）求山坡EF的水平宽度FH；（2）欲在AB楼正北侧山脚的平地FN上建一楼房CD，已知该楼底层窗台P处至地面C处的高度为0.9m，要使该楼的日照间距系数不低于1.25，底部C距F处至少多远？24. （2018达州）在数学实践活动课上，老师带领同学们到附近的湿地公园测量园内雕塑的高度用测角仪在A处测得雕塑顶端点C的仰角为30，再往雕塑方向前进4米至B处，测得仰角为45问：该雕塑有多高？（测角仪高度忽略

18、不计，结果不取近似值）2019年中考数学专题复习第十九讲 解直角三角形参考答案【备考真题过关】一、选择题1.【思路分析】根据锐角三角函数的定义求出即可【解答】解：在RtABC中，C=90，AC=1，BC=3，A的正切值为 ，故选：A【点评】本题考查了锐角三角函数的定义，能熟记锐角三角函数的定义的内容是解此题的关键2.【思路分析】连接BC，由网格求出AB，BC，AC的长，利用勾股定理的逆定理得到ABC为等腰直角三角形，即可求出所求【解答】解：连接BC，由网格可得AB=BC=，AC=，即AB2+BC2=AC2，ABC为等腰直角三角形，BAC=45，则tanBAC=1，故选：B【点评】此题考查了锐角

19、三角函数的定义，解直角三角形，以及勾股定理，熟练掌握勾股定理是解本题的关键3.【思路分析】直接根据题意表示出三角形的各边，进而利用锐角三角函数关系得出答案【解答】解：如图所示：C=90，tanA=，设BC=x，则AC=2x，故AB= x，则sinB= =故答案为：【点评】此题主要考查了锐角三角函数关系，正确表示各边长是解题关键4.【思路分析】根据特殊角的三角函数值直接解答即可【解答】解：cos30=故选：B【点评】此题考查了特殊角的三角函数值，是需要识记的内容5.【思路分析】根据正切函数可求小河宽PA的长度【解答】解：PAPB，PC=100米，PCA=35，小河宽PA=PCtanPCA=100

20、tan35米故选：C【点评】考查了解直角三角形的应用，解直角三角形的一般过程是：将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，构造出直角三角形转化为解直角三角形问题）根据题目已知特点选用适当锐角三角函数或边角关系去解直角三角形，得到数学问题的答案，再转化得到实际问题的答案6.【思路分析】在两个直角三角形中，分别求出AB、AD即可解决问题【解答】解：在RtABC中， ，在RtACD中， ， ： ，故选：B【点评】本题考查解直角三角形的应用、锐角三角函数等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考常考题型7.【思路分析】求出当y=7.5时，x的值，判定A；根据二次函数的性质求出对称轴，根据二次函数

21、性质判断B；求出抛物线与直线的交点，判断C，根据直线解析式和坡度的定义判断D【解答】解：当y=7.5时，7.5=4x-x2，整理得x2-8x+15=0，解得，x1=3，x2=5，当小球抛出高度达到7.5m时，小球水平距O点水平距离为3m或5侧面cm，A错误，符合题意；y=4x-x2=-（x-4）2+8，则抛物线的对称轴为x=4，当x4时，y随x的增大而减小，即小球距O点水平距离超过4米呈下降趋势，B正确，不符合题意； ，解得， ， ，则小球落地点距O点水平距离为7米，C正确，不符合题意；斜坡可以用一次函数y=x刻画，斜坡的坡度为1：2，D正确，不符合题意；故选：A【点评】本题考查的是解直角三角

22、形的-坡度问题、二次函数的性质，掌握坡度的概念、二次函数的性质是解题的关键8.【思路分析】先利用正弦的定义得到sinA=0.15，然后利用计算器求锐角【解答】解： ，所以用科学计算器求这条斜道倾斜角的度数时，按键顺序为故选：A【点评】本题考查了计算器-三角函数：正确使用计算器，一般情况下，三角函数值直接可以求出，已知三角函数值求角需要用第二功能键9.【思路分析】作BMED交ED的延长线于M，CNDM于N首先解直角三角形RtCDN，求出CN，DN，再根据 ，构建方程即可解决问题；【解答】解：作BMED交ED的延长线于M，CNDM于N在RtCDN中， ，设CN=4k，DN=3k，CD=10，（3k

23、）2+（4k）2=100，k=2，CN=8，DN=6，四边形BMNC是矩形，BM=CN=8，BC=MN=20，EM=MN+DN+DE=66，在RtAEM中， ， ，AB=21.7（米），故选：A【点评】本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角问题，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键二、填空题10.【思路分析】如图作CHAB于H在Rt求出CH、BH，这种RtACH中求出AH、AC即可解决问题；【解答】解：如图作CHAB于H在RtBCH中，BC=12，B=30，CH= BC=6， ，在RtACH中， ，AH=8， ，AB=AH+BH=8+6【点评】本题考查解直角三角形，锐角三角函

24、数等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型11.【思路分析】根据直角三角形的性质解答即可【解答】解：旗杆高AB=8m，旗杆影子长BC=16m， ，故答案为：【点评】此题考查解直角三角形的应用，关键是根据正切值是对边与邻边的比值解答12.【思路分析】根据题意和锐角三角函数可以求得BC的长，从而可以解答本题【解答】解：在RtABC中，ACB=90，BC=ABsinBAC=120.5156.2（米），答：大厅两层之间的距离BC的长约为6.2米故答案为：6.2【点评】本题考查解直角三角形的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用锐角三角函数和

25、数形结合的思想解答13.【思路分析】利用等腰直角三角形的性质得出AB=AD，再利用锐角三角函数关系得出答案【解答】解：由题意可得：BDA=45，则AB=AD=120m，又CAD=30，在RtADC中， ，解得：CD=40（m），故答案为：40【点评】此题主要考查了解直角三角形的应用，正确得出tanCDA=tan30=是解题关键14.【思路分析】设CD为塔身的高，延长AB交CD于E，则CD=40，DE=7，进而得出BE=CE=33，AE=a+33，在RtACE中，依据 ，即可得到a的值【解答】解：如图，设CD为塔身的高，延长AB交CD于E，则CD=40，DE=7，CE=33，CBE=45=BCE

26、，CAE=30，BE=CE=33，AE=a+33， ， ，即33 =a+33，解得a=33（-1）24.1，a的值约为24.1米，故答案为：24.1【点评】此题考查了解直角三角形的应用，关键是根据在直角三角形中三角函数的定义列出算式，得出关于a的方程15.【思路分析】根据三角函数和直角三角形的性质解答即可【解答】解：过D作DEAB，在D处测得旗杆顶端A的仰角为53，ADE=53，BC=DE=6m，AE=DEtan5361.337.98m，AB=AE+BE=AE+CD=7.98+1.5=9.48m9.5m，故答案为：9.5【点评】此题考查了考查仰角的定义，要求学生能借助俯角构造直角三角形并解直角

27、三角形注意方程思想与数形结合思想的应用三、解答题16.【思路分析】过点B作BFAC于F，BGCD于G，根据三角函数和直角三角形的性质解答即可【解答】解：过点B作BFAC于F，BGCD于G，在RtBAF中，BAF=65，BF=ABsinBAF=0.80.9=0.72，AF=ABcosBAF=0.80.4=0.32，FC=AF+AC=4.32，四边形FCGB是矩形，BG=FC=4.32，CG=BF=0.72，BDG=45，BDG=GBD，GD=GB=4.32，CD=CG+GD=5.04，在RtACE中，AEC=50， ，DE=CD-CE=5.04-3.33=1.711.7，答：小水池的宽DE为1.

28、7米【点评】此题考查的知识点是解直角三角形的应用-仰角俯角问题，关键是本题要求学生借助仰角关系构造直角三角形，并结合图形利用三角函数解直角三角形17.【思路分析】作EHAC于H，设AC=24x，根据正弦的定义求出AD，根据勾股定理求出CD，根据题意列出方程求出x，结合图形计算即可【解答】解：作EHAC于H，则四边形EDCH为矩形，EH=CD，设AC=24x，在RtADC中，sin=，AD=25x，由勾股定理得， ，EH=7x，在RtAEH中，AEH=45，AH=EH=7x，由题意得，24x=7x+340，解得，x=20，则AC=24x=480，AB=AC-BC=480-452=28，答：发射塔

29、AB的高度为28m【点评】本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角问题，掌握锐角三角函数的定义、仰角俯角的概念是解题的关键18.【思路分析】首先分析图形：根据题意构造直角三角形；本题涉及两个直角三角形，应用其公共边构造关系式，进而可求出答案【解答】解：如图作AECD交CD的延长线于E则四边形ABCE是矩形，AE=BC=78，AB=CE，在RtACE中，EC=AEtan58125（m）在RtAED中，DE=AEtan48，CD=EC-DE=AEtan58-AEtan48=781.6-781.1138（m），答：甲、乙建筑物的高度AB为125m，DC为38m【点评】本题考查的是解直角三角形的应用，

30、首先构造直角三角形，再借助角边关系、三角函数的定义解题19.【思路分析】（1）过A作ADBC，交BC的延长线于点D，由含30的直角三角形性质得AD=AC=2，由三角函数求出CD=2，在RtABD中，由三角函数求出BD=16，即可得出结果；（2）在BC边上取一点M，使得CM=AC，连接AM，求出AMC=MAC=15，tan15=tanAMD=即可得出结果【解答】解：（1）过A作ADBC，交BC的延长线于点D，如图1所示：在RtADC中，AC=4，C=150，ACD=30，AD=AC=2，CD=ACcos30=4=2，在RtABD中，tanB= ，BD=16， BC=BD-CD=16-2；（2）在

31、BC边上取一点M，使得CM=AC，连接AM，如图2所示：ACB=150，AMC=MAC=15，tan15=tanAMD= 【点评】本题考查了锐角三角函数、含30的直角三角形性质、三角形的内角和、等腰三角形的性质等知识；熟练掌握三角函数运算是解决问题的关键20.【思路分析】（1）延长BG，交AC于点F，过F作FHBD于H，利用直角三角形的性质和三角函数解答即可；（2）连接BC，利用利用直角三角形的性质和三角函数解答即可【解答】解：（1）延长BG，交AC于点F，过F作FHBD于H，由图可知，FH=CD=30m，BFH=30，在RtBFH中，BH= FH1017.32， 5.8，答：此刻B楼的影子落在A楼的第5层；（2）连接BC，BD=310=30=CD，BCD=45，答：当太阳光线与水平面的夹角为45度时，B楼的影子刚好落在A楼的底部【点评】本题考查了解直角三角形的应用，难度一般，解答本题的关键是利用利用直角三角形的性质和三角函数解答21.【思路分析】过B作BDAC于D，解直角三