抽屉原理例题解析汇报

1、抽屉原理1:把多于n个的苹果放进n个抽屉里，那么至少有一个抽屉里有两个 或两个以上的苹果概念解析1、把3个苹果任意放到两个抽屉里，可以有哪些放置的方法呢？ 一个抽屉放一个，另一个抽屉放两个；或3个苹果放在某一个抽屉里.尽管放苹果的方式有所 不同，但是总有一个共同的规律：至少有一个抽屉里有两个或两个以上的苹果.2、如果把5个苹果任意放到4个抽屉里，放置的方法更多了，但仍有这样的结 果.由此我们可以想到，只要苹果的个数多于抽屉的个数，就一定能保证至少有 一个抽屉里有两个或两个以上的苹果.道理很简单：如果每个抽屉里的苹果都不 到两个也就是至多有1个，那么所有抽屉里的苹果数的和就比总数少了 .3、我们

2、从街上随便找来13人，就可以断定他们中至少有两个人属相 指鼠、牛、 虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪。等十二种生肖一样 .怎样证明这 个结论是正确的呢？只要利用抽屉原理就很容易把道理讲清楚 .事实上，由于人 数13比属相数12多，因此至少有两个人属相一样在这里，把 13人看 成13个“苹果，把12种属相看成12个“抽屉。 应用抽屉原理要注意 识别“抽屉和“苹果，苹果的数目一定要大于抽屉的个数。例题讲解例1有5个小朋友，每人都从装有许多黑白围棋子的布袋中任意摸出3枚棋子.请你证明，这5个人中至少有两个小朋友摸出的棋子的颜色的配组是一样的。解析首先要确定3枚棋子的颜色可以有多少种不同的情况，

3、可以有：3黑，2黑1白，1黑2白，3白共4种配组情况，看作4个抽屉.把每人的3枚棋作为一 组当作一个苹果，因此共有5个苹果.把每人所拿3枚棋子按其颜色配组情况放 入相应的抽屉.由于有5个苹果，比抽屉个数多，所以根据抽屉原理，至少有两 个苹果在同一个抽屉里，也就是他们所拿棋子的颜色配组是一样的。 例2 一副扑克牌去掉两X王牌，每人随意摸两X牌，至少有多少人才能保 证他们当中一定有两人所摸两 X牌的花某某况是一样的？解析扑克牌中有方块、梅花、黑桃、红桃 4种花色，2X牌的花色可以有：2X 方块，2X梅花，2X红桃，2X黑桃，1X方块1X梅花，1X方块1X黑桃，1X方块 1X红桃，1X梅花1X黑桃，

4、1X梅花1X红桃，1X黑桃1X红桃共计10种情况.把 这10种花色配组看作10个抽屉，只要苹果的个数比抽屉的个数多1个就可以有 题目所要的结果.所以至少有11个人。但凡抽屉中有两个数的，都具有一个共同的特点：这两个数的和是34。现从题目中的15个偶数中任取9个数，由抽屉原理因为抽屉只有 8个，必 有两个数在同一个抽屉中由制造的抽屉的特点，这两个数的和是 34。 例4从1、2、3、4、，、19、20这20个自然数中，至少任选几个数，就可以保 证其中一定包括两个数，它们的差是 12。解析在这20个自然数中，差是12的有以下8对：20，8， 19, 7，18, 6， 17, 5， 16, 4， 15

5、, 3， 14, 2， 13, 1。 另 外还有4个不能配对的数 9, 10, 11, 12,共制成12个抽屉每 个括号看成一个抽屉只要有两个数取自同一个抽屉，那么它们的差就等于12, 根据抽屉原理至少任选13个数，即可办到取12个数：从12个抽屉中各取一 个数例如取1,2,3, ,12，那么这12个数中任意两个数的差必不等于12。） 例5从1到20这20个数中，任取11个数，必有两个数，其中一个数是另一个 数的倍数。解析分析与解答 根据题目所要求证的问题，应考虑按照同一抽屉中，任意两 数都具有倍数关系的原如此制造抽屉把这20个数按奇数与其倍数分成以下十 组，看成10个抽屉显然，它们具有上述性

6、质：1, 2, 4, 8, 16,3, 6,12,5,10,20,7,14 , 9,18,11,13,15,17, 19。从这10个数组的20个数中任取11个数，根据抽屉原理，至少有两个数取自同一个抽屉.由于凡在同一抽屉中的两个数都具有倍数关系， 所以这两个数中，其中一个数一定是另一个数的倍数。 例6证明：在任取的5个自然数中，必有3个数，它们的和是3的倍数。分析与解答 按照被3除所得的余数，把全体自然数分成 3个剩余类，即构成3 个抽屉.如果任选的5个自然数中，至少有3个数在同一个抽屉，那么这3个数 除以3得到一样的余数r,所以它们的和一定是3的倍数3r被3整除。 如 果每个抽屉至多有2个选

7、定的数，那么5个数在3个抽屉中的分配必为1个，2 个，2个，即3个抽屉中都有选定的数.在每个抽屉中各取1个数，那么这3个 数除以3得到的余数分别为0、1、2.因此，它们的和也一定能被3整除0+1+2 被3整除。例7某校校庆，来了 n位校友，彼此认识的握手问候.请你证明无论什么情况， 在这n个校友中至少有两人握手的次数一样多。分析与解答 共有n位校友，每个人握手的次数最少是 0次，即这个人与其他校 友都没有握过手；最多有n-1次，即这个人与每位到会校友都握了手.校友人数 与握手次数的不同情况0, 1, 2, , , n-1数都是n，还无法用抽屉原理。然而，如果有一个校友握手的次数是 0次，那么握

8、手次数最多的不能多于 n-2次； 如果有一个校友握手的次数是 n-1次，那么握手次数最少的不能少于 1 次.不管 是前一种状态0、1、2、，、n-2，还是后一种状态1、2、3、，、n-1，握手次数 都只有n-1种情况.把这n-1种情况看成n-1个抽屉，到会的n个校友每人按照 其握手的次数归入相应的“抽屉，根据抽屉原理，至少有两个人属于同一抽屉， 如此这两个人握手的次数一样多。抽屉原理2:将多于rnK n件的物品任意放到n个抽屉中，那么至少有一个抽屉 中的物品的件数不少于计1。概念解析1、假定这n个抽屉中，每一个抽屉内的物品都不到 计1件，即每个抽屉里 的物品都不多于m件，这样n个抽屉中可放物品

9、的总数就不会超过 mK n件，这 与多于mK n件物品的假设相矛盾。这说明一开始的假定不能成立，所以至少有 一个抽屉中物品的件数不少于1件。2、 “抽屉原理T和“抽屉原理2的区别是：“抽屉原理T物体多，抽屉少， 数量比拟接近；“抽屉原理2虽然也是物体多，抽屉少，但是 数量相差较大， 物体个数比抽屉个数的 几倍还多例题讲解1、如果将13只鸽子放进6只鸽笼里，那么至少有一只笼子要放3只或更多的鸽 子。道理很简单，如果每只鸽笼里只放 2只鸽子，6只鸽笼共放12只鸽子，剩 下的一只鸽子无论放入哪只鸽笼里，总有一只鸽笼放了 3只鸽子。2、有40名小朋友，现有各种玩具122件，把这些玩具全局部给小朋友，是

10、否会 有小朋友得到4件或4件以上的玩具？分析与解：将40名小朋友看成40个抽屉。有玩具122件，而122= 3K40 + 2, 应用抽屉原理2,取n = 40, m= 3,立即知道至少有一个抽屉中放有 4件或4件 以上的玩具，也就是说，至少会有一个小朋友得到 4件或4件以上的玩具3、布袋里有4种不同颜色的球，每种都有10个。最少取出多少个球，才能保证 其中一定有3个球的颜色一样？分析与解：把4种不同颜色看做4个抽屉，把布袋中的球看做元素。根据抽屉原 理2，要使其中一个抽屉里有3个颜色一样的球，那么放入的球的个数最少应比 抽屉个数的2倍多1,即最少取出3- 1X 4+ 1= 9个球。4、 有47

11、名学生参加一次数学竞赛，成绩都是整数，总分为是 100分。3名学生 的成绩在60分以下，其余学生的成绩均在7595分之间。问：至少有几名学生 的成绩一样？分析与解：关键是构造适宜的“抽屉。既然是问“至少有几名学生的成绩一样， 说明应以成绩为抽屉，学生为物品。除 3名成绩在60分以下的学生外，其余学 生的成绩均在7595分之间，而7595分中共有21个不同的分数，将这21 个分数作为21个抽屉，把47 3 = 44个学生作为物品。如此有 44- 21 = 2, ,2,根据抽屉原理2,至少有1个抽屉中至少有3件物品，即这47名学生中至 少有3名学生的成绩是一样的5、学校开办了语文、数学、美术三个课

12、外学习班，每个学生最多可以参加两个也可以不参加。问：至少有多少名学生，才能保证有不少于5名学生参加学习班的情况完全一样？分析与解：首先要弄清参加学习班有多少种不同的情况：不参加学习班有1种情况，只参加一个学习班有3种情况，参加两个学习班有语文和数学、语文和美术、 数学和美术3种情况。共有1 + 3+ 3= 7种情况。将这7种情况作为7个“抽 屉，根据抽屉原理2，要保证有不少于5名学生参加学习班的情况完全一样， 那么至少有学生7X 51+ 1= 29名。&夏令营组织2000名营员活动，其中有爬山、参观博物馆和到海滩游玩三个项 目。规定每人必须参加一项或两项活动。 那么至少有几名营员参加的

13、活动项目完 全一样？分析与解：此题的抽屉不是那么明显，因为问的是“至少有几名营员参加的活动 项目完全一样，所以应该把活动项目当成抽屉，营员当成物品。营员数已经有 了，现在的问题是应当搞清有多少个抽屉。因为“每人必须参加一项或两项活动， 共有3项活动，所以只参加一项活动的 情况有3种，参加两项活动的有爬山与参观、 爬山与海滩游玩、参观与海滩游玩 3种情况，所以共有3+ 3 = 6个抽屉。如此有2000-6= 333, 2,根据抽屉 原理2,至少有一个抽屉中有333+ 1 = 334件物品，即至少有334名营员参 加的活动项目是完全一样的。7、幼儿园里有120个小朋友，各种玩具有364件。把这些玩

14、具分给小朋友，是 否有人会得到4件或4件以上的玩具？把120个小朋友看做是120个抽屉，把玩具件数看做是元素。如此364=120X 3+4, 4v 120。根据抽屉原理的第2条规如此：如果把x x kx >k> 1个元素 放到x个抽屉里，那么至少有一个抽屉里含有 m+1个或更多个元素。可知至少有 一个抽屉里有3+1=4个元素，即有人会得到4件或4件以上的玩具课堂练习1. 五名同学在一起练习投篮，共投进了 41个球，那么至少有一个人投进了几 个球？2. 有100名学生，他们都订阅甲、乙、丙三种杂志中的一种、两种或三种。问： 至少有多少名学生订阅的杂志种类一样？3. 篮子里有苹果、梨、

15、桃和橘子，现有 81个小朋友，如果每个小朋友都从中任意拿两个水果，那么至少有多少个小朋友拿的水果是一样的？4. 放体育用品的仓库里有许多足球、排球和篮球，有66名同学来仓库拿球，要求每人至少拿1个球，至多拿2个球。问：至少有多少名同学所拿的球的种类 是完全一样的？5. 求证：任意25个人中，至少有3个人的属相一样。要想保证至少有5个人的属相一样，但不能保证有 6个人的属相一样，那么人的总数应在什么X围内？ 参考答案1. 解：将5个同学投进的球数作为抽屉，将41个球放入抽屉中，41 = 5X 8+ 1, 所以至少有一个抽屉中放了 9个球，即至少有一个人投进了 9个球。2. 解：首先应当弄清订阅杂

16、志的种类共有多少种不同的情况。订一种杂志有：订甲、订乙、订丙 3种情况；订两种杂志有：订甲乙、订乙丙、订丙甲 3种情况； 订三种杂志有：订甲乙丙1种情况。总共有3+ 3+ 1 = 7种订阅方法。我们将这7种订法看成是7个“抽 屉，把100名学生看作100件物品。因为100= 14X 7+ 2。根据抽屉原理2, 至少有14+ 1 = 15名学生所订阅的杂志种类是一样的。3. 解：首先应弄清不同的水果搭配有多少种。两个水果是一样的有4种，两个 水果不同的有6种：苹果和梨、苹果和桃、苹果和橘子、梨和桃、梨和橘子、桃 和橘子，所以不同的水果搭配共有 4 + 6二10种。将这10种搭配作为10个“抽屉，

17、因为81 = 8X10+ 1,根据抽屉原理2,至少有8+ 1 = 9个小朋友 拿的水果是一样的。4. 解：拿球的配组方式有以下9种：足, 排,篮, 足，足, 排，排 ,篮，篮 ,足，排 ,足，篮 ,排，篮。把这9种配组方式看作9个抽屉，因为66= 7X 9+ 3,所以至少有7+ 1= 8名 同学所拿的球的种类是完全一样的。5. 解：把12种属相看作12个抽屉，因为25= 2X 12+ 1,所以根据抽屉原 理2,至少有3个人的属相一样。要保证有5个人的属相一样，总人数最少为 4X12+ 1= 49人。 不能保 证有6个人的属相一样的最多人数为 5X 12= 60人。 所以总人数应在49 人到60

18、人的X围内。练习1：1、一个幼儿园大班有40个小朋友，班里有各种玩具125件。把这些玩具分给小 朋友，是否有人会得到4件或4件以上的玩具？2、把16枝铅笔放入三个笔盒里，至少有一个笔盒里的笔不少于 6枝。为什么？3、 把25个球最多放在几个盒子里，才能至少有一个盒子里有7个球？答案：1、 把40名小朋友看做40个抽屉，将125件玩具放入这些抽屉，因为125= 3 X 40+5,根据抽屉原理，可知至少有一个抽屉有4件或4件以上的玩具，所以肯 定有人会得到4件或4件以上的玩具。2、把三个笔盒看做3个抽屉，因为16= 5X 3+1，根据抽屉原理可以至少有一 个笔盒里的笔有6枝或6枝以上。3、 把盒子

19、数看成抽屉，要使其中一个抽屉里至少有 7个球，那么球的个数至 少应比抽屉个数的71倍多1,而25= 4X 7- 1+1，所以最多方子4个 盒子里，才能保证至少有一个盒子里有 7个球。例题2：布袋里有4种不同颜色的球，每种都有10个。最少取出多少个球，才能保证其 中一定有3个球的颜色一样？解析：把4种不同颜色看做4个抽屉，把布袋中的球看做元素。据抽屉原理2要使其中一个抽屉里至少有3个颜色一样的球，那么取出的球的个数应比抽屉个 数的2倍多1。即2X 4+仁9个球。列算式为3 1X 4+仁9个练习2:1、布袋里有组都多的5种不同颜色的球。最少取出多少个球才能保证其中一定有3个颜色一样的球？2、一个容

20、器里放有10块红木块、10块白木块、10块蓝木块，它们的形状、大小都一样。当你被蒙上眼睛去容器中取出木块时，为确保取出的木块中至少有4块颜色一样，应至少取出多少块木块？3、一副扑克牌共54X,其中1 13点各有4X,还有两X王的扑克牌。至少要取 出几X牌，才能保证其中必有4X牌的点数一样？参考答案1、最少应取出3- 1X 5+1= 11个球2、至少取出4 1X 3+1= 10块木块。3、 如果没有两X王牌，至少要取4 1X 13+1= 40X,再加上两X王牌，至 少要摸出40+2= 42X,才能保证其中必有4X牌点数一样。例题3:某班共有46名学生，他们都参加了课外兴趣小组。活动内容有数学、美

21、术、书法和英语，每人可参加1个、2个、3个或4个兴趣小组。问班级中至少有几名 学生参加的项目完全一样？解析：参加课外兴趣小组的学生共分四种情况， 只参加一个组的有4种类型，只 参加两个小组的有6个类型，只参加三个组的有 4种类型，参加四个组的有1 种类型。把4+6+4+1=15种类型看做15个抽屉，把46个学生放入这些抽屉， 因为46=3X 15+1，所以班级中至少有4名学生参加的项目完全一样。练习3:1、某班有37个学生，他们都订阅了三种报刊中的一、二、三种。其中至少有几位同学订的报刊一样？2、学校开办了绘画、笛子、足球和电脑四个课外学习班，每个学生最多可以参 加两个可以不参加。某班有 52

22、名同学，问至少有几名同学参加课外学习班 的情况完全一样？3、库房里有一批篮球、排球、足球和铅球，每人任意搬运两个，问：在31个 搬 运者中至少有几人搬运的球完全一样？参考答案1、小学六年中最多有 2个闰年，共366X 2+365X 4= 2191天，因为13170= 6X 2192+18,所以其中一定有7人是同年同月同日生的。2、参加课外兴趣小组的学生共分四种情况，只参加一个组的有4种类型，只参加两个组的有6种类型，只参加三个字的有4种类型，参加四个组的有1种类 型。把4+6+4+1= 15种类型看作15个抽屉，把46个学生放入这些抽屉，因为 46= 15X 3+1，所以班级中至少有4名学生参

23、加的项目完全一样。3、全班订阅报刊的类型共有3+3+1 = 7种，因为37= 5X 7+2,所以其中至少 有6位学生订的报刊一样。例题4:从1至30中，3的倍数有30 - 3=10个，不是3的倍数的数有3010=20个，至 少要取出20+1=21个不同的数才能保证其中一定有一个数是 3的倍数。练习4:1、在1, 2，3，49, 50中，至少要取出多少个不同的数，才能保证其中一 定有一个数能被5整除？2、 从1至120中，至少要取出几个不同的数才能保证其中一定有一个数是4的 倍数？3、从1至36中，最多可以取出几个数，使得这些数中没有两数的差是 5的倍数？参考答案练41、在150中，5的倍数有50- 5= 10个，不是5的倍数的就有50- 10= 40 个，至少要取出40+1 = 41个不同的数才能保证其中有个数能贝 5整除。2、在1120中，4的倍数有120-4 = 30个，不是4的倍数有120- 30= 90个，正是要取出90+1 = 91个不同的数才能保证其中一定有一个数是4的倍数。3、差是 5 的两数有如下 5 组：1、6，11、16，21、26，31、36; 2、7，12、 17, 22、27; 3、8，13、18，23、28、33; 4、9，14、19, 24、29，34; 5、10,15、20, 25、30、35。要使取出的数中没有两个数的差是 5的倍数，最多只能从