热点探究训练

1、热点探究训练(五)平面解析几何中的高考热点问题1. (2014全国卷U )设F1, F2分别是椭圆C: a2+ 斧1(a>b>0)的左、右焦点，M是C上一点且MF2与x轴垂直，直线MFi与C的另一个交点为N.3(1)若直线MN的斜率为3,求C的离心率;(2)若直线 MN在y轴上的截距为2,且|MN|= 5|FiN|,求a, b.32a ' 2c= 4, 2b 二3ac-2分b2解(1)根据c=a2 b2及题设知Me,-将 b2 = a2 c2 代入 2b2= 3ac,c 1 c解得訐2, a=2（舍去）.1故C的离心率为2.5分(2)由题意，原点0为F1F2的中点，MF2/

2、y轴,所以直线MFi与y轴的交点D(0,2)是线段MFi的中点,b2故了 = 4,即卩b = 4a.8分由 |MN| = 5|FiN| 得 |DFi|= 2|FiN|.设N(xi, yi)，由题意知yi<0,则2 cX1 = c,2y= 2,X1°c,210分y1 = 1.9c1代入c的方程，得4?+二1 229 a 4a i将及c=4a 4aa2 b2代入得2一+1 = 1.解得 a= 7, b 8因为孚+ 7 A4(o<x°<4),且当xo= 4时等号成立， o所以AB| a 8.故线段AB长度的最小值为2,2.12分3. 如图4,已知抛物线C: x2

3、 = 4y,过点M(o,2)任作一直线与C相交于A,B两点，过点B作y轴的平行线与直线AO相交于点D(O为坐标原点). = 4a = 28,故 a= 7, b= 分2. 已知椭圆C的方程为：x2 + 2y2= 4.(1)求椭圆C的离心率；设0为坐标原点，若点A在直线y= 2上，点B在椭圆C上，且0A丄0B, 求线段AB长度的最小值.2 2解(1)由题意，椭圆C的标准方程为号+ 2 = 1，所以 a = 4， b2 = 2，从而 C = a b2 = 2.2 分因此 a=2，c= 2.故椭圆C的离心率e=_2.5分a 2设点A，B的坐标分别为(t,2), (xo, yo),其中xo丰0.因为 O

4、AdOB，贝UoA OB = 0,所以 txo+ 2yo= 0,解得 t =一 .8 分x0又xo + 2yo = 4,222 2yo 22所以 AB| = (xo t) + (yo 2) = xo+x0 + (yo 2)224yo2 4 xo 2 4xo二 xo+ y°+ 羔+ 4 = x2+ +xo+ 4x28=罗+ xo + 4(o<xo< 4).1o 分图4(1) 证明：动点D在定直线上；(2) 作C的任意一条切线1(不含x轴)，与直线y = 2相交于点Ni，与(1)中的 定直线相交于点N2，证明：IMN2I2|MN为定值，并求此定值.【导学号：31222333】

5、解(1)证明：依题意可设AB方程为y= kx+ 2，代入x2= 4y，得x2= 4(kx+ 2)，即卩 x2 4kx 8 = 0.设 A(X1, y”，B(X2，y2)，则有 X1X2= 8.直线AO的方程为y= ：x; BD的方程为x=x2.2分解得交点D的坐标为X = x2，y1X2y X1 ，注意到 X1X2 8 及 X1 4y1,则有y4y18y12.因此D点在定直线y 2上(xm 0).5分(2)依题设，切线I的斜率存在且不等于0,设切线I的方程为y ax+ b(a 0)， 代入 x2 4y 得 x2 4(ax+ b)，即 x2 4ax 4b 0.8 分由 0得(4a)2 + 16b

6、 0，化简整理得b a2.故切线I的方程可写为y ax a2.分别令y 2, y 2得N1, N2的坐标为Nia，2, n2 a+a，2 , 10分贝贝MN2|2 |MN1=| a 2 + 42 |+ a 2= 8,即|MN2|2 |MN为定值8.12分2 2 4. (2017郑州质检)已知椭圆C:詁+器=1(a>b>0)的离心率为为，点P(0,1)和点A(m, n)(m 0)都在椭圆C上，直线PA交x轴于点M.【导学号：31222334】(1) 求椭圆C的方程，并求点M的坐标(用 m, n表示);(2) 设O为原点，点B与点A关于x轴对称，直线PB交x轴于点N.问：y 轴上是否存

7、在点Q,使得/ OQM二/ ONQ?若存在，求点Q的坐标；若不存在， 说明理由.解"1, e£_二解得a2 = 2.3分a_ 2，a2= 1 + c2,2故椭圆c的方程为省+ y2= 1.设 M(xm,0),由于点A(m，n)在椭圆C上,/1<n<1.5 分n 1直线PA的方程为y 1 =常x.'xm =，贝U M1 nm 门<1 n，(2)v点B与点A关于x轴对称,°B(m, n).设 N(xn,O)，则 XN = -m.8 分1 + n“存在点Q(0, yQ)使得ZOQM = /ONQ”等价于“存在点Q(0, yo)使得|°

8、暑IOQI”|ON| ，即 yo满足 yQ= |xm|xn|.2 mm m 2Xm =, xn =, o + n = 1,1 n 1 + n 求椭圆C的标准方程； 若动直线I: y= kx+ m与椭圆C有且只有一个交点P,且与直线x= 4交 于点Q,问：是否存在一个定点 M(t,0),使得MP MQ = 0.若存在，求出点 M的 坐标；若不存在，说明理由.【导学号：31222335】解(1)由 c= 1, a c= 1,得 a= 2,.b= 3, 3 分22m'yo = |xm|Xn|= 2.10 分1 nyo= . 2或 yo= _ 2.故在y轴上存在点Q,使得ZOQM=ZONQ.点

9、Q的坐标为(0, .2)或(0, 2).12分2 25已知椭圆C: a2+治=1(a>b>0)的右焦点为F(1,O)，右顶点为A,且|AF|=1.图52 2故椭圆c的标准方程为X4+鲁=1.5分y= kx+ m,由223x2 + 4y2= 12,2 2 2消去 y 得(3 + 4k )x + 8kmx+ 4m - 12= 0,2 2 2 264k m - 4(3+ 4k )(4m - 12)= 0,即 m2 = 3 + 4k2.8 分设 P(xp, yp)，则 xp=-4km 4k3 + 4k2=- m，yp = kxp+ m=-4k+m=33 阳 4k m，即 P - rn，M(

10、t,O)，Q(4,4k+ m)，- 4k 3-八MP = -m-1，m，MQ = (4-t,4k+ m)，10分MP MQ = - m；-1 (4 1)+ m (4k+ m) = t2- 4t + 3 + 脉一1)= 0 恒成立，故t-1 = 0，i2即 t = 1.It -4t+ 3 = 0，存在点M(1,0)符合题意.12分6. (2016全国卷川)已知抛物线C: y2= 2x的焦点为F，平行于x轴的两条 直线11, 12分别交C于A，B两点，交C的准线于P，Q两点.(1) 若 F在线段AB 上, R是PQ的中点，证明AR/ FQ;(2) 若厶PQF的面积是厶ABF的面积的两倍，求AB中点

11、的轨迹方程.(1解由题意知F 2, 0 ,设直线11的方程为y= a,直线l2的方程为y= b,22f贝 U abM 0, 且 A J，a j, ，b j, P -1, a j, Qg, b j, R；*,号丿记过A, B两点的直线为I，则I的方程为2x(a+ b)y+ ab= 0.2分证明：由于F在线段AB上，故1 + ab= 0.记AR的斜率为ki, FQ的斜率为k2,贝Uab=b=b 02 2a ba b iki =2 2= _=1 + a a ab a所以AR/FQ.5分SPQB号l8分设I与x轴的交点为D(xi,O),则 Sabf= g|b a|FD|=苏一a| xi1 ,i |a b|由题意可得|b a| xi 21 =2