导数与微分解答

1、第二讲导数与微分一、大纲考试要求1. 理解导数的概念及可导性与连续性之间的关系，了解导数的几何意义与经济意义（含边际与弹性的概念），会求平面曲线的切线方程和法线方程.2 掌握基本初等函数的导数公式导数的四则运算法则及复合函数的求导法则，会求 分段函数的导数 会求反函数与隐函数的导数.3了解高阶导数的概念，会求简单函数的高阶导数.4了解微分的概念，导数与微分之间的关系以及一阶微分形式的不变性，会求函数的 微分.二、内容提要1. 导数的概念（变形，注意相应的增量的含义几何意义：切线与法线的求法。物理意义：速度，加速度。左，右导数的概念：f .（Xo）, f _（X°）;与记号：（X。*

2、0）的区别。2. 求导数的四则运算，复合运算，反函数，隐函数，参数方程决定的函数的导数的计算。（积分限函数的导数在定积分复习）3. 微分的概念与求法；可微，可导，连续的关系；微分在近似计算中的应用；一阶微分形 式的不变性。4. 高阶导数（递归定义）1ax b多项式的高阶导数；可求n阶导数的函数形式：eax,sin ax, cosax, ,ln（ax b）等（注意变化为这类函数），莱布尼兹公式；分段函数在分断点的高阶导数；反函数，隐 函数，参数方程决定的函数的高阶导数。5. 基本初等函数的求导公式。三、常考知识点1. 导数定义的考查2. 求已知函数（包括显式、隐式、参数式及变上限积分确定的函数）

3、的导数或微分或高阶 导数。3. 判断函数在一点的可导性（常结合连续性、极限存在性）。分段函数的导数4. 导数的几何意义，即曲线的切线和法线的求法（曲线方程可以是显式、隐式、参数方程 形式及极坐标形式）。导数的经济意义（含边际与弹性的概念）5. 可导、可微、连续的关系。四、导数定义的考查例 1： f（x） x（x 1）（x 2）（x n），求 f （0）, f （-1）解:例 2： f (x) =(ex-1)(e2x-2)IH(enx -n), n为正整数，求 f (0)解 f'(0)XempHx2 xnx-1)(e-2) (e -n)xt1)n( n-1)!类似:例3:设f(0)存在，

4、f(0)=0 ,则八厂“)(A)-2 f (0)( B) 一 f (0)2x f (x) -2 f (x 解limx_0x33x(C)f (0)xf(x) 2f(x)3f'(0)(D) 0f(x)=(arctanx-1)(arctanx-2) (arctanx100 -100)求 f' (1)444例4：设函数f (x)在点x=a可导，则函数|f(x)|在点x=a不可导的充分条件是(A) f(a) =0, f (a) =0(B) f(a)=0, f (a) =0(C)f(a) 0, f (a) 0(D)f(a) ： 0, f (a) ： 0解 因为在x二a左右f (x)恒正恒负

5、，|f(x)|都可导，所以在x二a左右f (x) 一定是一边 正，一边负。即如 f '(a 0) = f '(a), f '(a - 0)二 f '(a)，可不导即是 f (a) =0, f (a) = 0例5：设x在la,b 上连续，且 a 0, f b ： 0 ,则下列结论中错误的是(A)至少存在一点xa,b，使得 f X。f a(A) f 0 =0且 f_ 0 存在(C) f 0 =0且 f . 0 存在(B) f 0 =1且 f_ 0 存在(D) f 0 =1且 f- 0 存在(B)至少存在一点 怡三i：a,b，使得f xof b(C)至少存在一点xa,

6、b，使得f x0 =0(D)至少存在一点 xiab，使得f x v0五、各类函数的导数，高阶导数，微分的求法1.复合函数1 sinx 土例 7. y =1 n.,求 y 。V1 s inx1 . r 1 1 、y 1 nT21 +si nx 1 -si nx,1r cox cox , y' =se(x2 1 +si nx 1 -si nxy'' = se at a ix8：八 ln x，x2x 1,xdydx_1：12.参数方程决定的函数- 2X _t3决定y =t -t39.10.1 -3t2-2t12t2求曲线丿12tdyy = f (f(x)，则 J*X )f)

7、X'(闫 fx=e1f e'(f (e月 f' ( )f e U )'( )1二y(x)，求y”。(雪的求法)dy23t2 3t2 1 2t23+ 2"x = 2t + 3 + arctant2在t = 0处的切线与法线方程。y =2_3t+l n(1+t2)切点为(3,2)2-3 2t -3t3 t2d -3+ 2t2 dy _1 t2dx _ 2 丄 1 t2dy | _ 1 二11 Z0 _1_2 =x -3,y - -x 5 ,y =x -1dx所以切线方程为y法线方程为y3.隐函数22arctandx例 11. x y =e x 决定 y 二

8、 y(x)，求 y , y 。( 一 ,dy 的求法)dy解两边对x求导xy'-yyy2x 2yy'arctxan x2 a rctxanxyy2攻y2卞乂口xx yy'二 xy'y(1)y' =心x _y对(1)两边x求导21 (y') yy'' = y' xy''_y'1 (y')22(x2 y2)x-y (x-y)3例 12. <x = arctant”2宀5决定"，求。dx1dt _1 t2dy2 dyy dy2y -2ty ey 0dtdt dtdy =y2dt e

9、y -2ty 22 2dy _ y (1 t)dx ey -2ty 24 幕指函数(取对数或用f(x)g(x) =eg(x)lnf(x)1 2x例 13. y =(1)，求 y (1)。x2xl n1et!) 解 y = e x2xl n1( L)1=e x 2 In + _) + x-21 xy'(1)二e2ln22ln2 -1例 14. yX 二 xy 确定了 y 二 y(x)，求 dy。解两边去对数即xln y = y ln xxyIn ydx dy 二 In xdy dxyx2 2xy In ydx x dy = xy In xdy y dxxyln y - y2dy亍 dxx

10、yl n x x5.多个因子乘积的函数(多个指至少 3个)例 15. y =x(2x-5)3.23，求y。(形式写法)(x2 1)3(3x 1)解两边取对数. 1In y =2丄In x +3ln 2x-5 -3ln x2 +1 -In 3x+1两边求导,1 x(2x5)3 r1 2 门 2x 3 ny233-3 2-2 ； (x2 1)3(3x 1) x 2x5x2 1 3x 1例 16. f (x) =x(x 1)(x2) (x n)，求 f(n 1) (x)。解 f (n d) (x (n 1)!6.分段函数17.x2+ 1,x>0 卡,求y。cosx,x 冬 02xs i nxf

11、'(x) =f'(0 0) =0; f'(0-0) =0f2x= f'(x)=' sin x例 18. y = e|x ，求 y。ea_x) _ey" = f'(x) = *f'(a 0) =1; f'(a -0)即4)_e(axx _0x : 0例 19. f (x)二(x2 -x2) |3x - x|有几个不可导点?(x2 x 2)(xx3) =x(x +1)2(x2)(1x) x<1解(x2x2)(x3x)=x(x+1)2(x2)(x1)1£xc0(x _x_2)(x_x ) = x(x + 1)

12、(x_2)(1_x)0<XV1232(x _x2)(x _x) = x(x + 1) (x_2)(x_1) x>1=0f'(-1) = lim f(X)_f(_1) =lim (x-2)x3-x所以I .、，2 ,|xx -1xlim f(X)_ f(叭 lim (x -2)(x 1)x0乂x0lim I不存在f'(0)不存在f (x) - f (-1)f'( -1) = lim J x +1f(x)-f(1)|limlim(x-2)(x 1) x(x 1)X 1 x _1X1x -1=lim (x 2) x -xx >J=0x -1x -1x 1不存

13、在f'(0)不存在例 20. f(x)=im n1 xnx2 n,x 0，求 f (x)。21nfx2T1 +x +解 f(x)=limn_jpc1x2x20 ： x _ 11 ： x ： 2x_2f'(x)01 ： x : 2而且函数f (x)在x=1,2不可导x 20f'(x)x1 ： x : 2x 2例 21 . f (x)二存在。解(1)f'(x)f (0)2ax bx c, x _ 0xe2ax+b,2e2x,存在 故f(x)是连续函数，故，求(1)a,b,c，使 f (0)存在。(2)a,b,c，使厂(0)x : 0f (0 0)=b= f'

14、(0-0)=2f(0 0)=c= f(0_0) =1,c = 1,a 任意(2) f (0)存在即 f(0)存在,2a,4e2x,f (0)存在即7.反函数例22.不求出反函数，计算y二In(x1 x2)的反函数的二阶导数d2xd?dxdy 一1dydx1 x、1x2L 2X 、1 X=.1 x2d2xdy22x dxx'壽 2t2例 设函数y = y(x)是有y Jeu du1 ut . 1所确定的求d2ydx2km2 J x2 dy8.积分限函数(在定积分一章复习)2e1 2Intdydxt(1 2lnt)4t2(1 2I nt)2e2d y |t |-edx22(1 21 nt)

15、29(1 41 n 3)29. n阶导数的其它例子例23.2x -3x2 3x -4y(10)2x-3111'一 x2 3x -4 一 5(x 4)5(x1)y(n)(-1)n n!11(x 4)n 11n 1(x-1)例 24.设 f (x)二 f 2 (x) , n 2，则 f(n) (x)二 n! f n 1 (x)解 f (x)二 f 2(x)f''(x) =2f (x)f'(x) =2f3(x)f'''(x)=2 3f 2(x)f'(x) =2 3f 4(x)f(n)(x) =2 3 nfn lx)二 n!fn 1(x)

16、例25. y = x2 sinx,求y(8)(?)。(莱布尼兹公式的适用范围)(8)28 7二、解 y =xsinX 8) 8 2xsinx(7 )2s i nx( 6 )2 2 2 2所以(8)一一 n 2（2）928 72 =2456例 y =arct axi，求 y(n) (0)。解 y'Ip(1 x2)y11 +x0 =(1 x2)y')(z =(1 x2)y(n) 2(n-1)xy(n(n-1)(n-2)y2。0 = y(n)(0) (n-1)(n -2)y(n)(0) y(n)(0) = -(n -1)(n-2)y(n)(0)所以y(n)(0) (n -1)(n -

17、2)y(n刀(0) =(-1)2(n -1)(n -2)(n -3)(n -4)y(n-4)(0)'0n = 2m-J-1)m(2m)!n = 2m+1例 y 二 ex si nx，求 y(n)。.xf- x兀、解 y' = e (s i x co s<) = 2e s i nX )42y''= *2e (sin(x十一)+cos(x +) = (J2) e sinx十2)444所以(n)- n xn 二y =(%2) e s i nx 十)46.杂例例26 .设f(x)在x0处有f(x。)= f (x°) = 0 ,(x)在x。的某邻域内有界。

18、证明F x)二 f (x) (x 在 x0 处可导，并求 F(Xo)。解 limimd 迪：(xrO = F'(X0)X - 冷0X - x0lim. f (x) _ _： _ lim _f (x)=:x整f(x)十。例27设f(x)可导，则(D )。f (x)-:二Alim f(x) _ _： lim f (x)_：Clim二f (x) _ ：二 lim二f (x)二:：,y 二 y(t)的例28作变量代换x=si nt将微分方程（1-x2）d y -xdy a20化为关于 dx2dx微分方程（并求方程的通解）。解 dy = dy dt =1 dydx dt dx cost dt2

19、2d y sin t dy 1 d y dx2 cos31 dt cos21 d 2td y 222ay=0 r a=0 r = ai d2ty = q cosax c2sin ax且 g(0) =1©(0) 一 1例 设函数f(x) = x x"其中g(x)有二阶连续导数,0 x = 0求(1) f ' (x) ( 2)讨论f'(x)在(一3, ：)上的连续性。(1)f'(x)“limx(g'(x) e)_(g(x) _e)2xg(x) -e2xg''(0)-12g''(0)-12(2)limf'(x

20、)“imx(g'(x) (ggr.limxg'gr)XTTx2T 2xf'(x)在(：，=)上是连续的。 1 亠例29设f(x)= jxarctan x2，x = 0，讨论厂在x = 0处的连续性。0,x = 02x1arcta n-y4,f'(x)二x2 x4 +1 lim =limarct8?n = x 0 x x ：ox 2f (x)在x = 0处是连续的。例30已知一个长方形的长l以2cms的速率增加，宽 w以3cms的速率增加，则当l =12cm, w =5cm时，它的对角线增加的速率为 3cm s小 dl c dw,2l十 2W丄 L2C解对角线ds

21、 ._dtdt_ | = 12 2 5 3 = 3dt |t02 w213例31：曲线tan(x +y+=) =ey在点(0,0)处的切线方程为，法线方程为42二y2 二解 sec (x y 4)(1y') =e y' sec -(1y'(0) =y'(0)y'(0)：1切线方程y=-2x法线方程为 y x2七、补充：边际成本、边际收益、边际利润，弹性，需求(对价格)弹性，收益(对价格) 弹性，需求对收入的弹性例32 02年数四:设某商品需求量 Q是价格 p的减函数 Q=Q（p），其需求弹性22p 20，（ 1） R为总收益函数，证明 当=Q（1r）（2

22、）求p = 6时总收益对192-pdp价格弹性，并说明其经济意义。解（1）R（p） pQ（ p）上式两边对p求导dR(P)dp二Q(p) pdQ(P)dp)=Q(1 - )(2)EjPdJ p q(i_)亠Ep R dp pQ2p21923p2一 192 - p2 一 192 - p2EREp|p -6 =137 ： 0.54.0.54% o经济意义：当p =6时，若价格上涨1%,则总收益将上涨例33 07年数三:设某商品的需求函数为Q=160-2p ，其中Q , p分别表示需要量和价格，如果该商品需求弹性的绝对值等于1，则商品的价格是（）(A) 10(B) 20(C) 30(D) 40例34

23、 09年数三:设某产品的需求函数为 Q=Q（P）,其对应价格P的弹性 =0.2，则当 需求量为10000件时，价格增加1元会使产品收益增加 12000元解（Qp）' = pQ' Q且p =也=0.2p Q所以(Qp)'=1.2Q将Q等于10000代入即得(Qp)'=12000 练习：2x =5(t -sint)dy d y1.决疋y = y(x)，求,一2- o y =5(1 - cost)dx dxdy 5sin t dx 5(1 - cost)二 cot -解也dx2125(1cost)1 2 t 112 t 1csccsc2 2 dx 22 5(1 - c

24、ost)dt2. y =1 xexy 决定 y =y(x)，求 y 良。解 x =0, y =1对方程 y =1 xexy 两边 x 求导 y二 exy - xexy(y xy') (1)对方程 (1)两边 x求导 y” = 2exy(y xy') xexy(y xy')2xexy(2y' xy”)将x =0, y =1,y'(0) =1代入上式，得y''(0)=2.3. y =x2 +ax +b与 2y = -1 + xy3相切于(1, 一1)，求 a,b。解 y=x2+ax + b与2y = 1十xy3相切于(1，-1)，故有 1=1

25、a b a b = 2-y32 a 2lx* =1即 a = -1,b = -13xy2 -2 心4.丿 X = f(l 决定 y = y(x)，f 可导，f 0)不为 0，求dy |0。 ,y = f (e3t -1)dx5.dyf'(e3t - 1)e3t 3r*(t)|t= = 32y = sin f (x )，求d2ydx2dy222xf '(x )cos f (x )dx= 2 f '(x2) cos f (x2) 4x2 f ''(x2) cos f (x2) -4x2 f '(x2)2 si nf (x2) dx6.f(x y),

26、f二阶可导，且一阶导数不为1,蚁 f'(x y)(1y') X f'(X y) dx1 - f'(x y)雪二 f"(x y)(1 y')2 f'(x y)y'' 屮二 dxf''(x y)y')2 _f''(x y)1f'(x + y)( y )(1 f'(x + y)37.xef(y) =ey, f (x) = 1, f 二阶可导，求d2y dx2从而ef(y)xef(y)f'(y也e型dx dx3 xef(y)(dy)2 xef(y)dxdx2ef(y)d2ydx22e2 xe"dxeydyef(y)fryref(y)dxey -xf'(y)ed2y呼)2呼)2dxdx-xef(y)2f(y)ey-xef(y)28.f (x), g(x)为恒大于0的可导函数,f g _ fg ： 0，当 a - x b 时(A. f(x)g(b) f (b)g(x)B. f(x)g(a) f(a)g(x)C. f (x)g(x) f(b)g(b)D. f(x)g(x) f (a)g(a)解 因f g - fg ： 0 即 (丄凶)'二f g2_ fg : 0 丄 单调下