奥数专题定义新运算带答案完美排版

1、定义新运算我们学过的常用运算有：+、一、X、宁等女口： 2+ 3 = 52X 3 = 6都是 2和 3，为什么运算结果不同呢？主要是运算方式不同，实际是对应法那么不同.可见一种运算实际就是两个数及一个数的一种对应方法， 对应法那么不同就是不同的运算 . 当然，这个对应法那么应该是对任意两个数，通过这个法那么都有一个唯一确定的数及它 们对应.只要符合这个要求，不同的法那么就是不同的运算.在这一讲中，我们定义了一些新的运算形式，它们及我们常用的“ + ，“ ，“x，“宁运算不一样.我们先通过具体的运算来了解和熟悉“定义新运算 .例1、设a、b都表示数，规定a b= 3X a- 2X b， 求 32

2、，2A3; 这个运算“有交换律吗？ 求17A6 2，17A6A2； 这个运算“有结合律吗？ 如果44b = 2,求b. 分析：解定义新运算这类题的关键是抓住定义的本质，此题规定的运算的本质是：用运算符号前面的数的 3倍减去符号后面的数的 2倍.解： 32= 3X 3- 2X 2= 9-4= 523 = 3X 2-2X 3 = 6-6 = 0. 由的例子可知“没有交换律 要计算176 2,先计算括号内的数，有：176 = 3X 17-2X6 = 39;再计算第二步 392= 3 X 39- 2X 2= 113,所以176 2= 113对于1762，同样先计算括号内的数，§ 2 = 3X

3、 6-2X 2= 14，其次 17 14 = 3X 17- 2X 14= 23，所以 17 6 2= 23. 由的例子可知“ 也没有结合律 . 因为 44b = 3X4-2X b= 12-2b,那么 12-2b= 2,解出 b = 5.例2、定义运算为b = aX b a+ b， 求5探7, 了5;求伐4， 12探3探4;这个运算 '有交换律、结合律吗？如果3探5探x= 3,求x.解： 57 = 5X 75+ 7= 35- 12 = 23, 7 5= 7X 5 7+ 5= 35- 12= 23. 要计算12探3探4，先计算括号内的数，有：3探4= 3X 4 3+ 4= 5,再计 算第二

4、步 伐5= 12X 5 12+ 5= 43,所以伐4= 43.对于12探3探4,同样先计算括号内的数，伐3= 12X 3 12+ 3= 21,其次 21探4 = 21 X 421 + 4= 59,所以12探 3探 4= 59. 由于b = ax b a+ b；匕a= bx a b+ a=ax b a+ b普通加法、乘法交换律 所以有b=匕a,因此“"有交换律. 由的例子可知，运算“没有结合律. 厶x = 5x 5 + x= 4x 5;3探厶x= 3探4x 5=34x 5 3+ 4x 5=12x 15 4x 2=8x 13那么8x 13= 3 解出x = 2.例3、定义新的运算ab=

5、ax b+ a+ b. 求 6 2， 2 6； 求123, 1 2 3； 这个运算有交换律和结合律吗？解： 62= 6X 2+ 6+ 2= 20, 26 = 2X6+ 2+ 6= 20.购123= 1X 2+ 1 + 23=53= 5x 3+ 5+ 3= 231 2 3= 1 2x 3+ 2+ 3=1 11=1x11+1+11= 23.先看“ 是否满足交换律：a b= ax b+ a+ bb a= bx a+ b+ a= ax b+ a+ b普通加法及乘法的交换律所以a b= b a,因此“"满足交换律.再看“ 是否满足结合律： a bc= ax b+ a+ bc= ax b+ a+

6、 bx c+ ax b+ a+ b+ c= abc+ ac+ bc+ ab+ a+ b+ c.a bc= a bx c+ b+ c= ax bx c+ b+ c+ a+ bx c+ b+ c= abc+ ab+ ac+ a+ bc+ b+ c= abc+ ac+ bc+ ab+ a+ b+ c. 普通加法的交换律 所以a bc= a b c，因此“"满足结合律.说明：“ 对于普通的加法不满足分配律,看反例：12+ 3= 15= 1x 5+ 1+ 5= 11；12+ 13= 1 X 2+ 1+ 2+ 1 X 3+ 1 + 3 = 5+ 7= 12;因此 1 2 + 3工 12+ 13.

7、例4、有一个数学运算符号“，使以下算式成立：2 4= 8, 5 3= 13, 3 5= 11,9 7= 25,求 7 3=?解：通过对2 4= 8, 5 3= 13, 3 5= 11, 9 7 = 25这几个算式的观察，找到规律：a b= 2a+ b,因此 7 3 = 2X 7+ 3= 17.例5、x、y表示两个数，规定新运算“* "及“"如下：x*y=mx+ny , x y=kxy ,其中m、 n、k 均为自然数，1*2=5,： 2*3 4=64,求2*3 的值.分析：我们采用分析法，从要求的问题入手，题目要求2*3的值，首先我们要计算2,根据“的定义：2=kx 1X 2

8、=2k，由于k的值不知道，所以首先要计算出k 的值，k值求出后，I2的值也就计算出来了 .我们设2=a, (1 2*3=a*3,按“*"的定义： a*3=ma+3n,在只有求出 m、n 时，我们才能计算a*3的值.因此要计算2*3的值，我们就要先求出k、m、n的值. 通过1*2 =5可以求出m、n的值，通过2*3 4=64求出k的值.解：因为1*2=mX 1+nX2=m+2n,所以有m+2n=5.又因为m、n均为自然数，所以解出：舍去m=3n =1m=1m=2I n =2n =3 当m=1, n=2时： 22*3厶4= 1 X 2+2X 3厶4=8 4=k X 8X 4=32k 有

9、32k=64，解出 k=2. 当m=3, n=1时：2*3A4=3X2+1 X 3A4=9 4=k X 9X 4=36k有36k=64，解出k=17，这及k是自然数矛盾，因此 m=3, n =1, k=1=99这组值应舍去所以 m=l, n=2, k=2.2*3=2X 1X 2*3=4*3=1X4+2X 3=10.在上面这一类定义新运算的问题中，关键的一条是：抓住定义这一点不放，在计算时， 严格遵照规定的法那么代入数值.还有一个值得注意的问题是：定义一个新运算，这个新运 算常常不满足加法、乘法所满足的运算定律，因此在没有确定新运算是否具有这些性质之 前，不能运用这些运算律来解题.课后习题11.

10、 a*b表示a的3倍减去b的-，例如: 10*6;7*2*1a 1b2.定义新运算为求2一3 4的值； 假设x4= 1.35,3.有一个数学运算符号O,使以下算式成立：那么x二？-7* 2X3-1X= 7*55?x3*55xl1825102 = 3 , -O7 = H , 5O-=- , 求 -O-的值.23659 4567 421154. 定义两种运算“ 、“ ，对于任意两个整数a、b,a b= a+ b+ 1,a b=ax b 1, 计算4 6 83 5的值； 假设x x 4=30,求x的值.5. 对于任意的整数x、y,定义新运算“ ”，y= 6 $勺 其中口是一个确定的整数，m Xx 2

11、 Xy如果2=2,那么2 9=?6. 对于数a、b规定运算“ 为 ab=a+ 1x 1 b，假设等式a a a+ 1= a+ 1 a a成立，求a的值.7. “ * 表示一种运算符号，它的含义是:x*y=丄 +xy1(x 1)(y A)2*仁 丄 +-=-，求 1998* 1999 的值.2X1(2 1)(1 A) 38. b=山，在乂1=6中，求x的值.a +b9. 规定b=a+a+ 1+ a+ 2+ a+ b 1，* 10=65,那么 x= ?10. 我们规定：符号表示选择两数中较大数的运算，例如： 择两数中较小数的运算，例如：5 3=3 5=3，计算：a、b均为自然数,5 3=3 5=5

12、，符b>a如果表示选(0.6 )26(0.3A )9923(0.625亠)33(型 C2.25)106课后习题解答1.7解*由于2帕十 -；硏J2X1(2+1)x(i + a)1 123(17) 1 1所以有+八人冃2 X1 + A) 3解岀A = 1,-亠iT-12.因此a = 03.按照规定的运算x 4解,通过对卜卜吉抵晋鸟。卜42字所以有宁2解岀U6T这几个算式的观察，找到规律为 -o- = a c aX c4 解 4®(6®8)®(3®5 = 4®(6 + 8 + l)®(3 + 5-5 -4®13®

13、7=4®(l3 + 7-l)祥 4019=4X 19-1= 75. 因为x囲(x®4) = x ® Mx -1)所以有5x-2=30 =总m=为亠25解.按照规定的运舁1A2：；：鳥毛比叩士 12丁口6X2X95410左边：6解：先看等式a%)弋a+i)= a+i)p(直)的 (aVa)V(a + 1) - (a + 1) X (1 - a)V(a +(1-)V(a + l)丁+ l)xl-(a + l)* a3 + 2a再看等式 G%) 7 Ca + l) = (a + 1) V (a7a)的右边* (a + l)V(aVa) - a + l)v(a + l)X

14、(l-a)-(a +a3)-(a + l + l)xl-(l-aa)-/ 十 2 J因此1998*1999 -1 11998X 1999 + (1998 + 1)x(1999 + 1)1 11998X 1999 + 1999X20008.11111998 1999 * 199920001 1"1998 2000解:由于1998000'心"二只 一 R强1 2 -一9.解：按照规定的运算：十125 + 1x- 1.2再6.解出( 0孑* 10=x + x+1+ x+2+ + x+10 1=10x + 1+2+3+?+9=10x + 45 因此有10x + 45=65,

15、解出x=2.(° 6, 26)4r23)卜U06丿m解：要廿算的值.氏椚比去f工“172173434342263265152513235231151151155338331841651848宙w八反341加 33331再看丹矿亍矿元矿于23725 125 25o 2.25 2 o 2 = 2 o 2 106106 4 106 100=2- 2-定义新运算1004我们学过的常用运算有：+、一、x、宁等.因此17)(231+ 3?7599)(106:2 5一 + 一3 81i 4女口： 2+ 3 = 52X 3 = 6都是 2和 3，为什么运算结果不同呢？主要是运算方式不同，实际是对应法

16、那么不同 可见一种运算实际就是两个数及一个数的一种对应方法， 对应法那么不同就是不同的运算 当然，这个对应法那么应该是对任意两个数，通过这个法那么都有一个唯一确定的数及它 们对应. 只要符合这个要求，不同的法那么就是不同的运算 .在这一讲中，我们定义了一些 新的运算形式，它们及我们常用的“ + ，“ ，“x，“宁运算不一样.我们先通过具体的运算来了解和熟悉“定义新运算 .例1、设a、b都表示数，规定a b= 3X a- 2X b， 求 32，2A3; 这个运算“有交换律吗？ 求17A6 2，17A6A2； 这个运算“有结合律吗？ 如果44b = 2,求b.例2、定义运算为b = aX b a+

17、 b， 求5探7，了5;求伐4， 12探3探4;这个运算 '有交换律、结合律吗？如果3探5探x= 3，求x.例 3、定义新的运算 a b= aX b+ a+ b. 求 62， 26; 求123，1 23； 这个运算有交换律和结合律吗?例4、有一个数学运算符号“ ，使以下算式成立：2 4= 8, 5 3= 13, 3 5= 11,9 7= 25,求 7 3=?m、例5、x、y表示两个数，规定新运算“* "及“"如下：x*y=mx+ny , x y=kxy ,其中n、k 均为自然数，1*2=5,： 2*3 4=64,求2*3 的值.课后习题11. a*b表示a的3倍减去

18、b的-，例如：1*2=1 X 3-2X 2=2，根据以上的规定，计算: 10*6;7*2*1.2.定义新运算为a 1b求2一3 4的值； 假设x4= 1.35,那么x =?3.有一个数学运算符号O,使以下算式成立:2。2=6，彳。9呛，5 °匕，求 13 ° 4的值.4.定义两种运算，对于任意两个整数a、b，a b= a+ b+ 1，a b=aX b 1， 计算4 6 83 5的值; 假设x x 4=30，求x的值.5. 对于任意的整数x、y,定义新运算“ ”，山y= 6 &勺 其中m是一个确定的整数， m Xx 2 Xy如果2=2,那么2 9=?6. 对于数a b规定运算“ 为ab=a+ 1x 1-b，假设等式a a a+ 1= a+ 1