南京工业大学《高等数学》ch(8)

1、整理课件整理课件q一、变力沿直线作功一、变力沿直线作功q二、液体的侧压力二、液体的侧压力q三、引力三、引力q四、内容小结四、内容小结整理课件物理知识物理知识：一个与物体位移方向一致的常力F，将物体自数轴上a点移动到b点所作的功为 WFd其中力F的单位是牛（N），dba的单位是米（m），则功W的单位是牛米（Nm）即焦（J）。问题：如果F是变力，功将怎样计算？一、变力沿直线作功整理课件. )()( WbxaxxFxF时时所所作作的的功功移移动动到到使使物物体体从从作作用用下下连连续续，求求在在力力设设力力问问题题)(xFabxdxx xdxxFdWdxxx)( , 为为常常力力得得微微功功上上视视

2、变变力力区区间间利利用用积积分分微微元元法法，在在小小babadxxFdWW)( 故变力所作的功为：故变力所作的功为：整理课件. )( 1 WxxFxxxFx作作的的功功所所点点力力移移动动到到作作用用下下从从力力的的作作用用，求求质质点点在在牛牛顿顿米米时时，受受设设一一质质点点处处于于距距原原点点例例3122 31dxxFW)( 所所求求功功为为解解： 3122dxxx)(（焦焦） 3216313123 xx整理课件xxFkkF800)( ,800 4005. 0 40)05. 0( 15cm10cm，即即有有拉拉长长到到弹弹簧簧从从厘厘米米？厘厘米米处处再再拉拉长长将将伸伸长长的的弹弹簧

3、簧从从才才能能克克服服弹弹性性恢恢复复力力，厘厘米米，问问需需作作多多大大的的功功厘厘米米拉拉长长成成度度牛牛的的力力使使弹弹簧簧从从自自然然长长设设例例 3 15 15 1040 2 kxxFkxx)( 0 为为）成成正正比比（弹弹性性系系数数弹弹簧簧的的弹弹性性恢恢复复力力应应与与单单位位，则则拉拉伸伸超超过过自自然然长长度度据据胡胡克克定定律律：若若弹弹簧簧受受建立坐标系建立坐标系解：解： （焦焦），所所作作的的功功为为拉拉长长到到则则当当弹弹簧簧再再从从56. 1400800 18cm15cm08. 005. 0208. 005. 0 xxdxW#0 x10 0 xxdxx )(xF1

4、0 整理课件功功？将将桶桶吊吊至至井井口口需需作作多多少少，问问的的速速率率从从桶桶壁壁小小孔孔流流出出秒秒千千克克且且桶桶内内水水以以的的速速度度匀匀速速上上升升，秒秒米米千千克克的的水水，并并以以内内装装有有始始时时桶桶米米深深的的水水井井中中吊吊水水，初初千千克克，用用缆缆绳绳从从千千克克，缆缆绳绳每每米米重重重重从从深深井井中中吊吊水水。吊吊桶桶自自例例0.2 2 40302 4 3 oxdxx米30 x）建立坐标系（如图所示建立坐标系（如图所示解：解： 1W 1 求求拉拉起起缆缆绳绳所所作作的的功功gdxxdWdxxx2)30( , 1的的微微功功为为对对应应子子区区间间（焦焦）故故

5、有有 900)30(2 3001gdxxgW）千克千克牛牛（其中（其中 8 . 9g整理课件 2 2W求求拉拉起起吊吊桶桶所所作作的的功功（焦焦） 12030422ggghmW 3 3W求求提提水水所所作作的的功功（牛牛）时时刻刻桶桶中中的的水水重重为为在在（秒秒）间间据据题题意意吊吊一一桶桶水水需需要要时时 )2 . 040( 15230 gtPtTdtgtgdxmdWdtvdtdxdttt2)2 . 040( 2 , 33所作的微功为所作的微功为，提水距离为，提水距离为对应时段对应时段（焦焦）故故有有 1105)2 . 040(2 1503ggdttW（焦焦）所所求求总总功功为为 gWWW

6、W2125321#整理课件二、液体的侧压力二、液体的侧压力：完全浸在液体中的水平薄片物体所完全浸在液体中的水平薄片物体所 受到的液体静压力为受到的液体静压力为AghApP 薄片的面积薄片的面积：水平薄片到液面的距离水平薄片到液面的距离：重力加速度重力加速度：液体密度液体密度：压强：压强其中其中 Ahgp h液体表面液体表面A压强单位为帕斯卡（压强单位为帕斯卡（1 1帕斯卡帕斯卡=1=1牛顿牛顿/ /米米2 2）整理课件xdxx ),(yx压压力力。求求闸闸门门一一侧侧所所受受水水的的静静米米，水水面面米米，如如果果闸闸门门顶顶部部高高出出米米，高高为为米米和和为为分分别别所所示示），梯梯形形的

7、的上上下下底底一一等等腰腰梯梯形形闸闸门门（如如图图例例4203050 1 建立坐标系（如图示）建立坐标系（如图示）解：解： 水水 面面yxo-416152520AB2321 ABxy方方程程：梯梯形形的的腰腰 1602ydxgxP ：由由微微元元分分析析法法得得静静压压力力# 16023212dxxxg)( （牛牛） .710434674522 g整理课件xdxx ),(yxyxo750AB5水水 面面到到的的水水的的静静压压力力。米米，求求此此闸闸门门一一侧侧所所受受为为米米，高高米米和和上上下下底底宽宽分分别别为为闸闸门门顶顶部部位位于于水水面面处处，角角置置于于水水中中，其其平平面面倾

8、倾斜斜一一等等腰腰梯梯形形闸闸门门与与铅铅直直例例7 10 100 30 2 o建立坐标系（如图示）建立坐标系（如图示）解：解： o30水水 面面xo50745 ABxy的方程：的方程：腰腰xxx2330cos o处处的的实实际际水水深深为为在在70)50745(223 dxxxgP 故所求闸门静压力为：故所求闸门静压力为：（牛）（牛） 10317. 834906g 整理课件三、引力三、引力：空间两个质量分别为空间两个质量分别为m m1 1和和m m2 2的质点，他的质点，他们相互间的引力为们相互间的引力为221 rmmGF为两质点间距离为两质点间距离为引力常数为引力常数其中其中 rGrF力。

9、力。，计算细棒对质点的引，计算细棒对质点的引为为近端的距离近端的距离线上，质点到细棒线上，质点到细棒的质点和其位于同一直的质点和其位于同一直质量为质量为另有一另有一的均匀细直棒，质量为的均匀细直棒，质量为设有一长为设有一长为例例 , 1 amMl整理课件olxal Fd建立坐标系（如图示）建立坐标系（如图示）解：解： , 0lxx为积分变量，为积分变量，取取为为线线密密度度）（上上的的引引力力大大小小为为对对应应微微元元 )( , 0, 2xaldxmGdFldxxx ldxxalmGF02)( 故故所所求求引引力力为为坐坐标标轴轴方方向向），负负号号表表引引力力方方向向为为反反其其中中 (l

10、M lxalmG01 （力力单单位位） )()(alaGMmalamlG xdx整理课件Fd怎怎样样计计算算？问问细细直直棒棒对对质质点点的的引引力力，上上，高高为为的的铅铅直直平平分分线线中中，将将质质点点放放在在细细直直棒棒如如果果在在例例例例 1 2 aoxy2l2laxdx建建立立坐坐标标系系（如如图图示示）解解： , 2,2 dxxxllx取子区间取子区间，积分变量积分变量0 xF由由对对称称性性知知水水平平分分力力cos)( 222xadxlMmGdFy由由而而铅铅直直分分力力：dxxalGaMm2322)( 整理课件 2223221llydxxalGaMmF)(故故有有（力力单单位位）大大小小为为细细直直棒棒对对质质点点的的引引力力的的 222242alaGMmFFFFyyx #2242alaGMm 22420alaG