定积分的引例与概念

1、第六章定积分及其应用6.1 定积分的引例与概念 教学目的：了解定积分的概念；理解定积分的几何意义并能利用定积分的几何意义计算简单图形的面积或由图形的面积计算定积分；了解用定义求定积分的方法.重点：定积分的概念的理解，利用几何意义计算积分.难点：用定积分定义求定积分的方法.教学过程：一、问题提出（引例） 1、曲边梯形面积例1 计算抛物线 ，直线和轴所围成的曲边梯形的面积.如图：用点把区间分成个相等的小区间，则小阴影矩形面积的总和为.这个值可以作为曲边梯形的近似值.当分点越来越多时近似程度越高，当时，极限 为曲边梯形的面积.(1)曲边梯形:由连续曲线,、轴与两条直线、所围成的图形.(2) 计算曲边

2、梯形面积的思路：用矩形面积近似取代曲边梯形面积.显然,小矩形越多,矩形总面积越接近曲边梯形面积(3) 计算曲边梯形面积如图：在区间内任意插入若干个分点，把区间分成个小区间长度为,在每个小区间上任取一点,以为底,为高的小矩形面积为, 曲边梯形面积的近似值为 , 当分割变细即小区间的最大长度时,有.2、变速直线运动的路程(1) 路程问题:设某物体作直线运动,已知速度是时间间隔上的一个连续函数,且,求物体在这段时间内所经过的路程.(2) 计算思路：把整段时间分割成若干小段,每小段上速度看作不变,求出各小段的路程再相加,便得到路程的近似值,最后通过对时间的无限细分过程求得路程的精确值.(3) 计算变速

3、直线运动的路程在区间内任意插入若干个分点，把区间分成个小区间长度为,在每个小区间上任取一时刻,以为时的速度近似代替上的平均速度,得到相应路程的近似值,物体运动路程的近似值为 , 当分割变细即小区间的最大长度时,有.上述两个问题不同，但解决的方法是相同的.都归结为同一结构的总和极限.还有很多问题也可归结为这类极限问题，这就是本章要研究的定积分问题.二、定积分概念1.积分和的极限（1）区间的分割：在中任意插入n-1个分点:将分成个小区间,.长度为 注: 可以有无穷多,而且不一定是等分的.(2) 每个小区间中的介点：任取的,（）作乘积（积分元素）（）进行近似替代【用表示取定的一组介点】.(3) 作积

4、分和：在上关于及的部分和：(4)记分割的细度：.（显然: ,）若上述极限是与区间的分法以及小区间中的介点选取无关的一个确定值2、定积分的定义【定义6.1】设在上有界,为一常数. 若, ,恒有则：(1)称在上可积,记作.(2)称为在上的定积分,记作,即 . 另一定义形式：若函数在上有定义，用点将分成n个小区间（），其长度（），在每个小区间上任取一点,（）作乘积（积分元素）（），总和称为积分和若时，最大小区间的长度，且此时有存在，此极限与的分法以及点的取法无关，则：称在上可积，此极限为在上的定积分,记作,即 . 其中： 称为被积函数； 称为被积表达式. 称为积分变量, 、称为积分上、下限； 称为积

5、分区间.注意：(1)定义中的极限必须是与区间的分法以及小区间中的介点选取无关的一个确定值如:狄利克雷函数在上不可积. 选有理点时,选无理点时, .注意：无界函数不可积分.(因为适当选点可以使极限不存在)(2)定积分只与积分区间以及被积函数有关，与积分变量无关.变量也可以换成其他字母如、等等,即 .(3)规定 ； , .(4)积分定义采用了：“分割近似替代求积分和取极限”四步3、定积分的几何意义：由连续曲线其中、直线、及 (轴)围成的曲边梯形的面积就是.如图由定积分的几何意义知：.4、定积分存在定理(1)【定理】设在上有界,且只有有限个间断点,则. (证明略,可参看华东师范大学数学分析)(有界是

6、函数可积的必要条件)(2)【推论】 . .结论：无界函数是不可积的，即函数有界是可积的必要条件.三、定积分定义的应用例1 计算.解：(1) 令,因此.(2) 取为的等分. 此时有, , (3) 取于是(4) .其中：.例2 计算.解:令,因此.将等分.,取,于是有 .例3 计算.解:令,因此.将等分. ,取,于是有.例4 用定积分计算下列极限(1).(2) .(3) .(4) .例5 利用定积分的几何意义计算下列积分(画出图形)(1) (2)(3) (4)例6(98.1.) 求极限 解:因为=又因为 且 , 故由夹逼原理知 =.例7（）曲线段方程为的函数在区间上有连续导数，则定积分（ C ）曲

7、边梯形面积.梯形面积.曲边三角形面积.三角形面积.提示：,其中是矩形面积，为曲边梯形的面积,所以为曲边三角形的面积.例8(08.3. 10)设，求的极值、单调区间和凹凸区间.解：【拆分后也可以用变上限积分求导】. ,令，得 （舍去负值）.，得 ，得 注意到条件 因此，的单调增区间是；单调减区间是.由，可知无凸区间，为凹区间.由知为极大值.（该点不在所给区间内，舍）由知为极小值.函数只有极小值.小结：1.采用了：“分割近似替代求积分和取极限”四步定义定积分 极限必须是与区间的分法以及小区间中的介点选取无关的一个确定值 2. 或在上有界且只有有限个间断点时. 3. 定积分只与积分区间以及被积函数有关，与积分无关. 4. , , 5. 定积分的几何意义：由曲线、直线、及 围成的曲边梯形的面积. 6. (1)利用定积分定义计算定积分较麻烦,是否有简便方法?大家可思考；(2)利用定积分的几何意义可以简化某些定积分计算；(3) 某些极限的计算可以转化为定积分计算课后记：利用定义求定积分关键是小区间上点的取法；数列和的极限有时可以转化为定积分的计算；利用几何意义计算定积分是一个很好的方法，关键要知道所给定积分表示的是什么图形的面积存在问题是定义理解不到位，用定义不知如何下手计算1-3节补充练习1、利用定积分