平面直角坐标系下的常见题型总结

1、平面直角坐标系下的常见题型总结-枣营中学初三备课组知识网络图示：基础知识详解：比较全面地了解确定位置的方法，掌握平面直角坐标系的知识，感受坐标与图形的变化是本章的重要内容，平面直角坐标系的知识是最基础和重要的内容，具体可分为以下几个部分：1确定平面上的点的位置通常需要两个量，且方式很多。建立直角坐标系是常用的方法之一。2平面直角坐标系的基础知识。 平面上的点和它的坐标（有序实数对）是一一对应的。（1）在平面内，两条互相垂直且有公共点原点的数轴组成平面直角坐标系，x轴，y轴，原点，点的坐标概念。（2）平行于x轴的线段上的点的纵坐标相同；平行于y轴的线段上的点的横坐标相同。（3）x轴上的点的纵坐标

2、为0，y轴上的点的横坐标为0。3图形变换与坐标变化的关系，可以由图形上的点的位置变化与其坐标变化的关系而得到。具体可从下面两方面把握：（1）对称与平移 （2）距离 在直角坐标系中，设点P的坐标是（，）。如果点与点P关于x轴对称，那么点的坐标是（，）如果点与点P关于y轴对称，那么点的坐标是（，）。如果点的坐标是（，）（m0）那么点可由点P向右平移m个单位长度得到；如果点的坐标是（，）（m0）那么点可由点P向左平移m个单位长度得如果点的坐标是（，）（n0）那么点可由点P向上平移n个单位长度得到；如果点的坐标是（，）（n0）那么点可由点P向下平移n个单位长度得到。在直角坐标系中，设点P的坐标是（，）

3、。 如果点的坐标是（，）（m0）那么点到y轴的距离等于点P到y轴的距离的m倍，且点与点P在与x轴平行的同一条直线上。如果点的坐标是（，）（n0）那么点到x轴的距离等于点P到x轴的距离的n倍，且点与点P在与y轴平行的同一条直线上。4注意：（1）同一个点，在不同的直角坐标系中，其坐标一般也不相同。所以，我们说一个点的坐标，都是就某一个确定的坐标系来说的。（2）对一个图形建立不同的坐标系，其顶点的坐标也不相同。要根据图形的特点建立恰当的坐标系以使所求的点的坐标尽可能简捷。专题总结及应用例1如图所示，是王亮家周边地区的平面示意图，借助刻度尺，量角器，解决如下问题：（1）相对王亮家的位置，说出书店所在的

4、位置。（2）某楼位于王亮家的南偏东66度的方向，到王亮家的实际距离约为280米，说出这一地点的名称。分析：本题主要考查点的位置的确定和比例尺的换算，解题关键要清楚点的位置的确定，需要两个数据及比例尺的实际运用。 解： (1) 北偏东 45 度，图上距离约为 2.3cm ，实际距离约为 2.3100001%=230( 米 ) 。 (2) 电影院，因为图上距离为2801/10000100 = 2.8cm 且位于南偏东 66 度方向上的只有电影院 D 。 例2已知P（a,b），求其关于x轴，y轴，原点的对称点的坐标。分析：解此类问题时，我们应采用数形结合的方法，可令 a=3,b=2, 在坐 标系中描

5、出此点，然后根据对称的性质，便可得出 P 点关于 x 轴， y 轴，原点的对称点的坐标分别为 (a, b),( a,b ),( a, b) 。 例3如图所示的直角坐标系中，四边形OABC各个顶点的坐标分别为O（0，0），A（14，0），B（12，8），C（4，10），求这个四边形的面积。分析：本题主要考查平行于坐标轴的线段上的点的坐标的特点和利用分割法求不规则四边形的面积。解题关键是熟知与 x 轴 (y 轴 ) 平行的线段上的点，纵 ( 横 ) 坐标相同，线段的长度等于两端点的横 ( 纵 ) 坐标的差。 解：如图，将这个四边形分割成三个直角三角形和一个矩形，因为 BF/x 轴 ,DF/y 轴

6、, 所以 F 点的坐标为 (4,8), 因此 BF=12 4=8 ；同理， OD=4 ， CD=10 ， CF=2 ， BE=8 ， AE=2 ； 例4（1）求点P（3，4）到x轴，y轴，原点的距离；（2）求点P（3，4）和B（3，6）的距离；（3）求到x轴的距离为2，到y轴的距离为5的点的坐标。解： (1) P( 3 ， 4) 到 x 轴的距离是|-4|=4 ，到 y 轴的距离是|-3|=3 ， 到原点的距离是 5(2) 因为 P( 3 ， 4) ， B( 3 ， 6) 两点的横坐标相同，故 PB/y 轴，如图所示，容易求得 PB=6+4=10 。(3) 因为到 x 轴的距离为 2 ，所以纵

7、坐标为2， 因为到 y 轴的距离为 5 ，所以横坐标为5 。 所以符合条件的点的坐标为： (5 ， 2) 或 (5 ， 2) 或 ( 5 ， 2) 或 ( 5 ， 2) 。 方法技巧：（1）与x轴平行的直线的坐标特征：与x轴平行的直线上的纵坐标相同。（2） 与y轴平行的直线的坐标特征：与y轴平行的直线上的横坐标相同。（3）点P（a，b）到x轴的距离为，到y轴的距离为；点M到x轴的距离为a，到y轴的距离为b（其中a0, b0）,则点M的坐标有四种情况：（b，a），（b，a），（a，b），（a，b）。在平面内建立起平面直角坐标系以后，平面内的点与坐标（有序实数对）就有了一一对应的关系，数与形有机地

8、结合在一起。与平面直角人材系有关的题目很好地体现了“数形结合”思想。例（2010珠海）已知：正比例函数y=k1x的图象与反比例函数(x0)的图象交于点M（a,1），MNx轴于点N（如图），若OMN的面积等于2，求这两个函数的解析式.解：MNx轴，点M（a，1）SOMN=2 a=4 M(4,1)正比例函数y=k1x的图象与反比例函数(x0)的图象交于点M（4,1） 解得 正比例函数的解析式是，反比例函数的解析式是例6(2010遵义市)如图，在第一象限内,点P,M是双曲线上的两点,PA轴于点A,MB轴于点B,PA与OM交于点C,则OAC的面积为 .答案：例7（2010年兰州）如图，P1是反比例函数

9、在第一象限图像上的一点，点A1 的坐标为(2，0) （1）当点P1的横坐标逐渐增大时，P1O A1的面积 将如何变化？ （2）若P1O A1与P2 A1 A2均为等边三角形，求此反比例函数的解析式及A2点的坐标第答案（本题满分9分）（1）解：（1）P1OA1的面积将逐渐减小 （2）作P1COA1，垂足为C，因为P1O A1为等边三角形，所以OC=1，P1C=，所以P1 代入，得k=，所以反比例函数的解析式为 作P2DA1 A2，垂足为D、设A1D=a，则OD=2+a，P2D=a，所以P2 代入，得，化简得解的：a=-1 a0 所以点A2的坐标为，0 例8、如图，以O为原点的直角坐标系中，A点的

10、坐标为（0，1），直线x=1交x轴于点B。P为线段AB上一动点，作直线PCPO，交直线x=1于点C。过P点作直线MN平行于x轴，交y轴于点M，交直线x=1于点N。（1）当点C在第一象限时，求证：OPMPCN；（2）当点C在第一象限时，设AP长为m，四边形POBC的面积为S，请求出S与m间的函数关系式，并写出自变量m的取值范围；BCNPMOxy（3）当点P在线段AB上移动时，点C也随之在直线x=1上移动，PBC是否可能成为等腰三角形？如果可能，求出所有能使PBC成为等腰直角三角形的点P的坐标；如果不可能，请说明理由。解 （1）OMBN，MNOB，AOB=900，A 四边形OBNM为矩形。 MN=

11、OB=1,PMO=CNP=900 ，AO=BO=1， AM=PM。 OM=OA-AM=1-AM，PN=MN-PM=1-PM OM=PN OPC=900 OPM+CPN=900又OPM+POM=900 CPN=POM OPMPCN（2）AM=PM=APsin450=NC=PM= BN=OM=PN=1-BC=BN-NC=1-= （3）PBC可能为等腰三角形。当P与A重合时，PC=BC=1，此时P（0，1）当点C在第四象限，且PB=CB时，有BN=PN=1BC=PB=PN=-m NC=BN+BC=1+-m由知：NC=PM= 1+-m= m=1PM=，BN=1=1 P（,1）使PBC为等腰三角形的的点

12、P的坐标为（0，1）或（,1）总结：此题的设计比较精巧，将几何知识放在坐标系中进行考查，第1题运用相似形等几何知识不难得证，第2小题需利用第1小问的结论来建立函数解析式，第3小题需分类讨论，不要漏解，运用方程思想可以得到答案。在解此类题目时应注意进行距离与坐标之间进行相互转化时。例9（2010年金华）已知点P的坐标为（m，0），在x轴上存在点Q（不与P点重合），以PQ为边作正方形PQMN，使点M落在反比例函数y = 的图像上.小明对上述问题进行了探究，发现不论m取何值，符合上述条件的正方形只有两个，且一个正方形的顶点M在第四象限，另一个正方形的顶点M1在第二象限.yPQMNOx12-1-2-3

13、-3-2-1123（1）如图所示，若反比例函数解析式为y= ，P点坐标为（1， 0），图中已画出一符合条件的一个正方形PQMN，请你在图中画出符合条件的另一个正方形PQ1M1N1，并写出点M1的坐标； M1的坐标是 （2） 请你通过改变P点坐标，对直线M1 M的解析式ykxb进行探究可得 k ， 若点P的坐标为（m，0）时，则b ；（3） 依据(2)的规律，如果点P的坐标为（6，0），请你求出点M1和点M的坐标解：（1）如图；M1 的坐标为（1，2） （2）， （3）由（2）知，直线M1 M的解析式为x 则(，)满足 解得 ， ， M1，M的坐标分别为（，），（，）M1PQMNOy123-1-

14、2-3-3-2-1123Q1N1例10以坐标原点为圆心，1为半径的圆分别交x，y轴的正半轴于点A，B.（1）如图一，动点P从点A处出发，沿x轴向右匀速运动，与此同时，动点Q从点B处出发，沿圆周按顺时针方向匀速运动.若点Q的运动速度比点P的运动速度慢，经过1秒后点P运动到点(2,0)，此时PQ恰好是的切线，连接OQ. 求的大小；（2）若点Q按照（1）中的方向和速度继续运动，点P停留在点(2,0)处不动，求点Q再经过5秒后直线PQ被截得的弦长.（1）解：如图一，连结AQ由题意可知：OQ=OA=1.OP=2, A为OP的中点.PQ与相切于点Q,为直角三角形. . 即OAQ为等边三角形.QOP=60

15、2）解：由（1）可知点Q运动1秒时经过的弧长所对的圆心角为30，若Q按照（1）中的方向和速度继续运动，那么再过5秒，则Q点落在与y轴负半轴的交点处（如图二）.设直线PQ与的另外一个交点为D，过O作OCQD于点C，则C为QD的中点.QOP=90，OQ=1，OP=2,QP=. ,OC= . OCQD，OQ=1，OC=, QC=.QD= 习题1 、若点P（a，b）在第二象限，则点Q（a，b1）在（ ）A、第一象限B、第二象限 C、第三象限D、第四象限分析与解：这是一道数形结合题，要根据各象限内点的坐标的符号特征来解。因为点P（a，b）在第二象限，所以a0，于是，即点Q（a，b1）在第四象限，故选D。

16、总结：数形结合思想使几何图形和代数知识有机地结合在一起，使抽象的代数问题变得直观、形象，我们在解题时，要学会由形想到数，由数想到形。2、如图，在平面直角坐标系中，平行四边形OABC的顶点O、A、C的坐标分别是（0，0）、（5，0）、（2，3），则顶点B的坐标是（ ）。A、（3，7）B、（5，3）C、（7，3）D、（8，2）分析与解：根据点的坐标的确定方法，过点C分别作x轴和y轴的垂线，垂足分别为G、F。过点B分别作x轴和y轴的垂线，垂足分别为E、F。因为四边形OABC是平行四边形，CB/OA，且CB=OA，则四边形OGCF和四边形OEBF均为矩形，所以BE=CG=3，GE=CB=OA，BF=C

17、B+CF=GE+OG=5+2=7，所以点B的坐标为（7，3），故选C。总结：点的坐标是一对有序实数，过某一点作x轴的垂线，垂足所对应的数字即为它的横坐标，作y轴的垂线，垂足所对应的数字即为它的纵坐标。故要求点的坐标，就要求出这两个垂足所对应的数字。3、如图，平面直角坐标系中，ABC的顶点都在格点上（每个小方格的边长都为1cm）。其中A点的坐标为（2，1），则ABC的面积为_。分析与解：经观察可知点B的坐标为（4，3），点C的坐标为（1，2）。由于ABC没有边与x轴或y轴平行，故需要用割补法将其补成图3中的矩形MNPB，即过点A、B分别作x轴的平行线，过点B、C分别作y轴的平行线，交点为P、N、

18、M、B。可求得P（4，1），N（1，1），M（1，3），则。应填5。总结：计算平面直角坐标系内图形的面积时，常常把图形割补成边在坐标轴上或边与坐标轴平行的图形来计算面积。4 、将图所示的围棋棋盘放在某个平面直角坐标系内，白棋的坐标为（7，4），白棋的坐标为（6，8），那么黑棋的坐标应该是_。分析与解：本题用围棋棋盘中正方形网格的相对位置来考查平面直角坐标系及点的坐标等相关知识。黑棋可看成是白棋先向右平移3个单位，再向上平移1个单位，故可知其坐标为（3，7）。应填（3，7）。总结：用坐标确定平面内点的位置，需要先建立适当的平面直角坐标系。5如图，将ABC的三边分别扩大一倍得到（顶点均在格点上），

19、若它们是以P点为位似中心的位似图形，则P点的坐标是（ ）.A BC D答案：A6 、如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，我们把顶点在格点上的三角形称为“格点三角形”，图中的ABC就是格点三角形。在建立平面直角坐标系以后，点B的坐标为（1，1）。把ABC向左平移3个单位后得到，画出，并分别写出点的坐标。分析与解：认真观察图5，可知A点的坐标为（3，3），C点的坐标为（5，1）。图形向左平移3个单位，则原图形中各点纵坐标不变，横坐标减3，故可知（0，3），（4，1），（2，1）。在平面直角坐标系中分别描出点，再顺次连接这三个点，即可得（如图6）。总结：若点P（x，y）向左（或

20、向右）平移a（a0）个单位，则对应点的横坐标是x减去（或加上）a，纵坐标不变；若向上（或向下）平移b（b0）个单位，则对应点的横坐标不变，纵坐标是y加上（或减去）b。7 如图，在平面直角坐标系中，已知点A（，0），B（0，3），对连续作旋转变换，依次得到三角形（1），（2），（3），（4），那么第（7）个三角形的直角顶点的坐标是_ _，第（2011）个三角形的直角顶点坐标是_答案：（24，0） （8040，0）8、如图，已知双曲线经过直角三角形OAB斜边OA的中点D，且与直角边AB相交于点C若点A的坐标为（，4），则AOC的面积为A12 B9 C6 D4答案：B9、已知点A在双曲线y=上，且O

21、A=4，过A作ACx轴于C，OA的垂直平分线交OC于B（1）则AOC的面积= ，（2）ABC的周长为 答案：（1），（2）10（2010，浙江义乌）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点P，点P在第一象限PAx轴于点A，PBy轴于点B一次函数的图象分别交轴、轴于点C、D，且SPBD4，（1）求点D的坐标；（2）求一次函数与反比例函数的解析式；（3）根据图象写出当时，一次函数的值大于反比例函数的值的的取值范围. yxPBDAOC【答案】（1）在中，令得 点D的坐标为（0，2）（2） APOD RtPAC RtDOC AP6又BD由SPBD4 可得BP2 P(2，6) 把P(2，6)分别代入

22、与可得一次函数解析式为：y2x+2 ，反比例函数解析式为： （3）由图可得x2检测题一、填空题1.已知点A（-1，2），将它先向左平移2个单位，再向上平移3个单位后得到点B的坐标是 ；2.已知点P（3-m,2m-4）在第一象限，则实数m的取值范围是 ；3.点P（-2，1）关于x轴对称的点的坐标为 ；4.点P在第二象限内，P到x轴的距离是4，y轴的距离是3，P的坐标是 ；5.已知点P（x ，y）位于第二象限，且满足yx + 4（x，y为整数），写出一个满足上述条件的点P的坐标 ；6.函数中自变量x的取值范围是 ；7.（近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（米）成反比，已知400度近视镜片的焦距为0

23、.25米，则眼镜度数y与镜片焦距x之间的函数关系是 ；8.已知反比例函数的图象过点（3，2）、（m，-2），则m = ；yB1 P1PB A1 O A x9.若反比例函数的图像上有两点A（1，y1），B（2，y2），则y1 y2；10.如图，已知反比例函数的图像上有一点P，过点P分别作x轴、y轴的垂线，垂足为A、B，且使四边形QAPB为正方形，又在反比例函数的图象上有一点P1，过点P1分别作BP、y轴的垂线，垂足为A1、B1，使四边形BA1P1B1为正方形，则P1的坐标为 二、选择题11. 2008年奥运火炬将在我省传递（传递路线为：昆明丽江香格里拉），临沧市某校学生小明在我省地图上设定了火炬

24、传递起点昆明市位置点的坐标为（1，1），所在地临沧市位置点的坐标为（1，0）则火炬传递终点香格里拉位置点的坐标为（ ）A.(-1,3) B.(4,0) C.(-2,3) D.(-1,4)12.在平面直角坐标系中有6个点A（1，5），B（-3，），C（-5，-1），D（-2，），E（3，），F（，2），其中有五个点在同一反比例函数图象上，不在这个反比例函数图象的点是（ ）A.点C B.点D C.点E D.点F13.（如图中的三角形是有规律地从里到外逐层排列的.设y为第n层三角形的个数（n为正整数），则下列函数关系式正确的是（ ）A.y=4n-4 B.y=4n C.y=4n+4 D.y=n214.

25、若A（a1，b1），B（a2，b2）是反比例函数图象上的两点，且a1 a2，则b1与b2的大小关系是（ ）A. b1 b2 D.大小不确定15.已知M点在反比例函数（k0）图象上，则它关于y轴对称的函数的表达式为（ ）13题yM 1-2 O x 15题yPOxP/ A 16题A. B. C. D. 16.如图，设P为在第一象限的图象上的任一点，点P关于原点的对称点为P/，过P作PAy，过P/作P/Ax交PA于点A，则PAP/的面积（ ）A.等于2 B.等于4 C.等于8 D.随P点的变化而变化hO rhO rhO rhO rA B C D17.（山西）已知圆柱的侧面积是20cm2,若圆柱底面半

26、径为rcm，高为hcm，则h关于r的函数图象大致是（ ）p(kPa)60 (1.6,60)O 1.6 V(m3)18.某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压p（kPa）是气体体积V（m3）的反比例函数，其图象如图所示，当气球内的气压大于120kPa时，气球将爆炸，为安全起见，气体的体积应（ ）A.不小于 B. 小于C. 不小于 D. 小于三、解答题(共36分)4025104O 1 t（时）y（个）甲 乙234567819.（德阳）某车间的甲、乙两名工人分别生产同种零件，他们一天生产零件y（个）与时间t（时）的函数关系如图.（1）根据图象填空：甲、乙中， 先完成一天的生产任务；在