高二数学空间两条直线人教版知识精讲

1、用心 爱心 专心高二数学高二数学空间两条直线空间两条直线人教版人教版【本讲教育信息本讲教育信息】一. 教学内容： 空间两条直线 目标：空间两条直线的位置关系；平行公理；等角定理，异面直线。 重点：平行公理、等角定理、异面直线。 难点：异面直线的判断及所成角。 知识点： 1. 空间两条直线的位置关系相交平行共面异面不同在任何一个平面内的两条直线。 2./ / / /平行公理：若，则，其中 、 、 为空间三直线。abcbacabc 3. 等角定理：若一个角的两边分别与另一角的两边平行，且方向相同，则这两个角的大小相等。 4. 异面直线的判定定理：经过平面外一点和平面内一点的直线与平面内不经过该点的

2、直线是异面直线。 B A a 5. 异面直线所成角： 过空间任意一点 O，分别作异面直线 a 与 b 的平行线 a、b，则 a与 b所成的锐角或直角叫做 a 与 b 的（夹角）所成角。 6. 异面直线所成角求法： （1）作角：平移 a 或 b，使 a 与 b 相交，得到所求角。 （2）以该角为一可解三角形一内角，解三角形、求角的大小。 注意：若 cos0，则所求角为 -。【典型例题典型例题】 例 1. 在空间四边形 ABCD 的对角线 BD 上取两点 M、N，分别过点 M、N 在两个平面内各作一条异于对角线 BD 的直线 ME、NF。求证 ME 和 NF 是异面直线。用心 爱心 专心 A E

3、N B M D F C 证法一：证法一：用判定定理证 NFBCDMBCD平面，平面 且，平面MFNFBCD MEFN与是异面直线 证法二：证法二：反证法： 假设 ME 与 NF 不是异面直线，即 N、F、M、E 四点共面 则平面，且平面，EBCDEBCDEBD 这与 E 不在 BD 上矛盾。 ME 与 NF 是异面直线。 例 2. 在正方体 AC1中，M、N 分别是 A1B1、B1B 的中点，求 （1）AM 和 CN 所成角的大小； （2）AM 和 BD 所成角的大小； （3）AM 和 BD1所成角的大小。 D1 C1 G A1 B1 M N D C A Q P B 解：解：（ ）在上取点 ，

4、使114ABPBPAB 设 AB=4，则CNP 为 AM 与 CN 所成角 在中，CNPPNCNCP52 517用心 爱心 专心 52208525217205NCPN2PCNCPNCNPcos222 CNParccos25 （2）将 BD 平移至 B1D1，再平移至 MG（G 为 A1D1中点） 则AMG 为 AM 与 BD 所成角。 在中，AMGAMMGAG2 52 22 5 cosAMGAMGMAGAMGM22222082022 52 288 101010 AMGarccos1010 （3）补形如下正方体 BEFCB1E1F1C1 取 B1E1中点 H，则 AM/BH HBDAMBD11为

5、与所成角 BHBDD H2 54 32 1311， cosHBDBHBDHDBHBD1212121220485222 54 31515 HBD11515arccos D1 C1 F1 A1 B1 M H E1 F E C B A D 例 3. 如图所示，在空间四边形 ABCD 中，E、F、G、H 分别是 AB、BC、CD、DA 的中点。 （1）求证：EFGH 是平行四边形。 （2）如果 AC=BD，求证 EFGH 是菱形 （3）如果 ACBD，求证 EFGH 是矩形。用心 爱心 专心 A H E D G B F C 证：证：（ ）11212EHBDFGBD/ EFGH 是平行四边形。 （ ）又

6、是菱形21212FEACFGBDACBDEFGH/ / / （ ）3FGBDEFACAC BD/ / / EF GHEFGHEFGH由（ ）知为平行四边形为矩形1 例 4. 若直线平面 ，且平面 ，求证：aalal/ / / l b a c 证：证：过 a 分别作平面 、 使，bc aa/ / /，用心 爱心 专心 abacbcb/ / / / / 又，bl blabal/ / / /又，于是， 例 5. 若三个平面两两相交于三条直线，证明这三条直线交于一点或互相平行。 已知：abc， a c b 证明：证明：b 与 c 为共面直线 1. 若bcP bPbP 同理，PPa a、b、c 相交于

7、P 点 2./ / / /若bcbcbaba abc/ / / / P a c b 用心 爱心 专心【模拟试题模拟试题】一. 选择题 1. 若 a、b 为异面直线，直线 c/a，则 c 与 b 的位置关系是（ ） A. 相交B. 异面 C. 平行D. 异面或相交 2. 两两相交的四条直线确定平面的个数最多的是（ ） A. 4 个B. 5 个 C. 6 个D. 8 个 3. 正方体 ABCD-A1B1C1D1中，所有各面的对角线能与 AB1成 60角的异面直线的条数有（ ） A. 2 条B. 4 条 C. 5 条D. 6 条 4. 在空间四点中，三点共线是四点共面的（ ） A. 充分必要条件 B

8、. 必要非充分条件 C. 充分非必要条件 D. 既非充分又非必要条件 5. 教室内有一把尺子，无论怎样放置，地面上总有这样的直线与该直尺所在直线（ ） A. 平行B. 垂直 C. 相交但不垂直D. 异面 6. 如图所示，点 P、Q、R、S 分别在正方体的四条棱上并且是所在棱的中点，则直线PQ 与 RS 是异面直线的一个图是（ ） 7. 在空间四边形 ABCD 的边 AB、BC、CD、DA 上分别取 E、F、G、H 四点，如果 EF与 HG 交于点 M，则（ ） A. M 一定在直线 AC 上 B. M 一定在直线 BD 上 C. M 可能在 AC 上，也可能在 BD 上 D. M 不在 AC

9、上，也不在 BD 上 8. 如图所示是一个正方体的展开图，在原正方体中，有下列命题： （1）AB 与 CD 所在直线垂直； （2）CD 与 EF 所在直线平行； （3）AB 与 MN 所在直线成 60角； （4）MN 与 EF 所在直线异面。 其中正确命题的序号是（ ）用心 爱心 专心二. 填空题 9. 若 a、b、l 是两两异面的直线，a 与 b 所成的角是，所成的角都是3lalb与 、 与，则 的取值范围是（ ） 10. 如图所示，在正方体 ABCDA1B1C1D1中，E、F、G 分别为 AB、BC、CC1的中点，则 EF 与 BG 所成角的余弦值为（ ）三. 解答题 11. 空间四边形

10、ABCD 中，E、F 分别是 AB、BC 的中点。求证：EF 和 AD 为异面直线。 12. 已知：四边形 ABCD 中，AB/CD，AB、BC、DC、AD（或其延长线）分别与平面 相交于 E、F、G、H 四点，求证：E、F、G、H 四点共线。 13. ABC 是边长为 2 的正三角形，在ABC 所在平面外有一点P，延长 BP 至 D，使，E 是 BC 的中点，求 AEPBPC72PA 32BD 7和 CD 所成角的大小。用心 爱心 专心用心 爱心 专心【试题答案试题答案】一. 选择题 1. D2. C3. B4. C 5. B6. C7. A8. （3） （4）二. 填空题 9. 62， 10. 105三. 解答题 11. 证明：反证若 EF 与 AD 共面 EFABC 平面 ADABC平面 即 ABCD 共面，这与 ABCD 是空间四边形矛盾 EF 与 AD 异面 A E D B F C 12. 证明； ABCD/ / ABCD