直线圆锥曲线有关向量的问题

1、直线圆锥曲线有关向量的问题高考考什么知识要点：1直线与圆锥曲线的公共点的情况（1）没有公共点 方程组无解 （2）一个公共点 （3）两个公共点 2连结圆锥曲线上两个点的线段称为圆锥曲线的弦，要能熟练地利用方程的根与系数关系来计算弦长，常用的弦长公式：3以平面向量作为工具，综合处理有关长度、角度、共线、平行、垂直、射影等问题4.几何与向量综合时可能出现的向量内容  （3）给出,等于已知是的中点; （5） 给出以下情形之一：；存在实数；若存在实数,等于已知三点共线. （6） 给出，等于已知是的定比分点，为定比，即 （7） 给出,等于已知,即是直角,给

2、出,等于已知是钝角, 给出,等于已知是锐角。 （9）在平行四边形中，给出，等于已知是菱形; （10） 在平行四边形中，给出，等于已知是矩形; （11）在中，给出，等于已知是的外心（三角形外接圆的圆心，三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点）；（12） 在中，给出，等于已知是的重心（三角形的重心是三角形三条中线的交点）； （13）在中，给出，等于已知是的垂心（三角形的垂心是三角形三条高的交点）； （16） 在中，给出,等于已知是中边的中线;高考怎么考主要题型：1三点共线问题；2公共点个数问题；3弦长问题；4中点问题；5定比分点问题；6对称问题；

3、7平行与垂直问题；8角的问题。近几年平面向量与解析几何交汇试题考查方向为（1）考查学生对平面向量知识的简单运用，如向量共线、垂直、定比分点。（2）考查学生把向量作为工具的运用能力，如求轨迹方程，圆锥曲线的定义，标准方程和几何性质，直线与圆锥曲线的位置关系。特别提醒：D法和韦达定理是解决直线和圆锥曲线位置关系的重要工具。例1过点P(x,y)的直线分别与x轴的正半轴和y轴的正半轴交于A,B两点，点Q与点P关于y轴对称，O为坐标原点，若且，则点P的轨迹方程是（ D ）A BC D例2 已知椭圆C1：y21，椭圆C2以C1的长轴为短轴，且与C1有相同的离心率(1)求椭圆C2的方程；(2)设O为坐标原点

4、，点A，B分别在椭圆C1和C2上，2，求直线AB的方程解：(1)由已知可设椭圆C2的方程为1(a>2)，其离心率为，故，则a4，故椭圆C2的方程为1.(2)解法一：A，B两点的坐标分别记为(xA，yA)，(xB，yB)，由2及(1)知，O，A，B三点共线且点A，B不在y轴上，因此可设直线AB的方程为ykx.将ykx代入y21中，得(14k2)x24，所以x，将ykx代入1中，得(4k2)x216，所以x，又由2，得x4x，即，解得k±1，故直线AB的方程为yx或yx.解法二：A，B两点的坐标分别记为(xA，yA)，(xB，yB)，由2及(1)知，O，A，B三点共线且点A，B不在

5、y轴上，因此可设直线AB的方程为ykx.将ykx代入y21中，得(14k2)x24，所以x，由2，得x，y，将x，y代入1中，得1，即4k214k2，解得k±1，故直线AB的方程为yx或yx.例4已知A,B为抛物线x2=2py(p>0)上异于原点的两点，点C坐标为（0，2p）（1）求证：A,B,C三点共线； （2）若（）且试求点M的轨迹方程。（1）证明：设，由得，又 ，即A,B,C三点共线。（2）由（1）知直线AB过定点C，又由及（）知OMAB，垂足为M，所以点M的轨迹为以OC为直径的圆，除去坐标原点。即点M的轨迹方程为x2+(y-p)2=p2(x¹0，y¹

6、0)。例6设F1、F2分别是椭圆的左、右焦点.（）若P是该椭圆上的一个动点，求的最大值和最小值;（）设过定点M(0,2)的直线l与椭圆交于不同的两点A、B，且AOB为锐角（其中O为坐标原点），求直线l的斜率k的取值范围.解：（）解法一： 易知 ，所以，设，则因为，故当x=0，即点P为椭圆短轴端点时，有最小值-2当x=±2，即点P为椭圆长轴端点时，有最大值1解法二：易知，所以，设，则（以下同解法一）（）显然直线不满足题设条件，可设直线，联立，消去，整理得：由得：或又，又，即 故由、得或自我提升1、平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知A（3，1），B（-1，3），若点C满足，其中a,b&

7、#206;R，且a+b=1，则点C的轨迹方程为( D )A 3x+2y-11=0 B(x-1)2+(y-2)2=5 C 2x-y=0 D x+2y-5=02、已知是x,y轴正方向的单位向量，设=, =,且满足|+|=4.则点P(x,y)的轨迹是.( C )A椭圆B双曲线C线段D射线52012·许昌一模 设F1、F2分别是双曲线x21的左、右焦点若点P在双曲线上，且·0，则|()A2 B. C4 D25D解析 根据已知PF1F2是直角三角形，向量2，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可求出.·0，则|2|2.6已知A、B为抛物线x2=2py (p>0)

8、上两点，直线AB过焦点F，A、B在准线上的射影分别为C、D，则y轴上恒存在一点K，使得；存在实数l使得 ；若线段AB中点P在在准线上的射影为T，有。中说法正确的为_7.已知椭圆，过P(1,0)作直线 l，使得l与该椭圆交于A,B两点，l与y轴的交点为Q，且，求直线 l的方程。解：直线l过P(1,0)，故可设方程为y=k(x-1)， 因为，所以 AB的中点与 PQ的中点重合.由得(1+2k2)x2-4k2x+2(k2-1)=0 所以，又xP+xQ=1 故得，所求的直线方程为。82012·瑞安质检 设椭圆M：1(a>)的右焦点为F1，直线l：x与x轴交于点A，若20(其中O为坐标原

9、点)(1)求椭圆M的方程；(2)设P是椭圆M上的任意一点，EF为圆N：x2(y2)21的任意一条直径(E，F为直径的两个端点)，求·的最大值解：(1)由题设知，A，F1，由20，得2.解得a26.所以椭圆M的方程为1.(2)解法1：设圆N：x2(y2)21的圆心为N，则·()·()()·()2221.设P(x0，y0)是椭圆M上一点，则1，所以2x(y02)22(y01)212.因为y0，所以当y01时，2取得最大值12.所以·的最大值为11.解法2：设点E(x1，y1)，F(x2，y2)，P(x0，y0)，所以可得·(x1x0)(x2x0)(y1y0)(y2y0)(x1x0)(x1x0)(y1y0)(4y1y0)xxyy4y14y0xy4y0(xy4y1)因为点E在圆N上，所以x(y12)21，即xy4y13.又因为点P在椭圆M上，所以1，即x63y.所以·2y4y092(y01)211.因为y0，所以当y01时，(·)min11.9.设椭圆C：的左焦点为F，上顶点为A，过点A作垂直于AF的直线交椭圆C于另外一点P，交x轴正半轴于点Q， 且 （1）求椭圆C的离心率；APQFOxy （2）若过A、Q、F三点的圆恰