初二数学二次根式提高题与常考题和培优题(含解析)-.

1、二次根式提高题与常考题型压轴题(含解析)一选择题（共13 小题）1二次根式中 x 的取值范围是（）Ax3Bx3 且 x 0 Cx3 Dx3 且 x02计算：，正确的是（）A4BC2D3如图，在长方形ABCD中无重叠放入面积分别为16cm2 和 12cm2 的两张正方形纸片，则图中空白部分的面积为（）cm2A168B 12+8C 8 4D 4 24若 1x 2，则的值为（）A2x4B 2 C 4 2xD 25下列计算正确的是（）A=2B=C=xD=x6下列各式变形中，正确的是（）Ax2?x3=x6 B=| x|C（x2 ）÷ x=x1Dx2 x+1=（x ） 2+7下列二次根式中，与是

2、同类二次根式的是（）ABCD8化简+的结果为（）A0 B2C 2D29已知， ab0，化简二次根式 a的正确结果是（）ABCD10设 a 为的小数部分，b 为的小数部分则的值为（）A+ 1B+1C1 D+111把中根号外面的因式移到根号内的结果是（）ABCD12如果=2a 1，那么（）AaBaCaDa13已知： a=， b=，则a 与b 的关系是（）Aab=1Ba+b=0Cab=0Da2=b2二填空题（共17 小题）14如果代数式有意义，那么x 的取值范围为15在数轴上表示实数a 的点如图所示，化简+| a 2|的结果为16计算：=17观察下列等式：第 1个等式： a1= ，=1第 2个等式：

3、 a2= ，=第 3个等式： a3=2，=第 4个等式： a4= 2，按上述规律，回答以下问题：（ 1）请写出第 n 个等式： an；=（ 2） a1+a2+a3+ +an=18计算 2的结果是19计算（+）（ ）的结果等于20化简：（ 0 a1）=21如果最简二次根式与可以合并，那么使有意义的 x 的取值范围是22已知 a， b 是正整数，且满足是整数，则这样的有序数对（ a，b）共有对23对正实数 a，b 作定义 a*b=a，若 2*x=6，则 x=24已知 x+y=， xy=，则 x4 y4=25已知=（x，y 为有理数），则 x y=26已知是正整数，则实数 n 的最大值为27三角形的

4、三边长分别为 3、m、 5，化简=28若实数 m 满足=m+1，且 0m，则 m 的值为29计算下列各式的值：；观察所得结果，总结存在的规律，应用得到的规律可得=30观察下列各式：=11+3×1+1，=22+3×2+1，=32+3× 3+1，猜测：=三解答题（共10 小题）31计算（1）4+÷（2）（1）（1+）+（1+）232若 1 a2，求+的值33已知x， y 都是有理数，并且满足，求的值34先化简，再求值：，其中x=3（ 3） 035（ 1）已知 | 2012 x|+=x，求x 20132 的值；（ 2）已知a0，b0 且（+）=3（+5）求的值

5、36观察下列各式及其验证过程：（ 1）按照上述两个等式及其验证过程的基本思路，猜想的变形结果并进行验证；（ 2）针对上述各式反应的规律，写出用 n（ n 为任意自然数，且 n 2）表示的等式，并说明它成立37先化简，再求值：（+）÷，其中 a=+138求不等式组的整数解39阅读与计算：请阅读以下材料，并完成相应的任务古希腊的几何学家海伦在他的 度量一书中给出了利用三角形的三边求三角形面积的 “海伦公式 ”：如果一个三角形的三边长分别为 a、 b、c，设 p= ，则三角形的面积 S= 我国南宋著名的数学家秦九韶， 曾提出利用三角形的三边求面积的“秦九韶公式 ”（三斜求积术）：如果一个三

6、角形的三边长分别为a、 b、 c，则三角形的面积S=（ 1）若一个三角形的三边长分别是5，6，7，则这个三角形的面积等于（ 2）若一个三角形的三边长分别是，求这个三角形的面积40已知： y=+ ，求的值二次根式提高题与常考题型压轴题(含解析 )参考答案与试题解析一选择题（共13 小题）1（2017 春?启东市月考）二次根式中 x 的取值范围是（）Ax3Bx3 且 x 0 Cx3 Dx3 且 x0【分析】根据二次根式有意义的条件和分式有意义的条件得出3x 0 且 x0，求出即可【解答】 解：要使有意义，必须 3x0 且 x 0，解得： x3 且 x 0，故选 B【点评】本题考查了二次根式有意义的

7、条件和分式有意义的条件等知识点，能根据题意得出 3x0 且 x 0 是解此题的关键2（2017 春?萧山区校级月考）计算：，正确的是（）A4BC2D【分析】 直接化简二次根式进而合并求出答案【解答】解：=2=故选： D【点评】 此题主要考查了二次根式的加减运算，正确化简二次根式是解题关键3（ 2017 春?嵊州市月考）如图，在长方形 ABCD中无重叠放入面积分别为16cm2和 12cm2 的两张正方形纸片，则图中空白部分的面积为（）cm2A168B 12+8C 8 4D 4 2【分析】 根据正方形的面积求出两个正方形的边长，从而求出AB、BC，再根据空白部分的面积等于长方形的面积减去两个正方形

8、的面积列式计算即可得解【解答】 解：两张正方形纸片的面积分别为它们的边长分别为=4cm，=2cm，16cm2 和12cm2， AB=4cm，BC=（ 2 +4） cm，空白部分的面积 =（ 2 +4）× 412 16，=8+16 1216，2=（ 12+8）cm 【点评】本题考查了二次根式的应用， 算术平方根的定义， 解题的关键在于根据正方形的面积求出两个正方形的边长4（2016?呼伦贝尔）若 1x2，则的值为（）A2x4B 2 C 4 2xD 2【分析】已知 1x2，可判断 x30，x10，根据绝对值，二次根式的性质解答【解答】 解： 1x2， x30，x10，原式 =| x3|+

9、=| x3|+| x1|=3x+x1=2故选 D【点评】 解答此题，要弄清以下问题：1、定义：一般地，形如（a0）的代数式叫做二次根式当a0 时，表示 a 的算术平方根；当 a=0 时， =0；当 a 小于 0 时，非二次根式（若根号下为负数，则无实数根）2、性质：=| a| 5（2016?南充）下列计算正确的是（）A=2B=C=xD=x【分析】 直接利用二次根式的性质分别化简求出答案【解答】 解： A、=2，正确；B、=，故此选项错误；C、=x，故此选项错误；D、=| x| ，故此选项错误；故选： A【点评】此题主要考查了二次根式的化简， 正确掌握二次根式的性质是解题关键6（2016?杭州）

10、下列各式变形中，正确的是（）Ax2?x3=x6B=| x|C（x2）÷ x=x1Dx2 x+1=（x） 2+【分析】直接利用二次根式的性质以及同底数幂的乘法运算法则和分式的混合运算法则分别化简求出答案【解答】 解： A、x2?x3=x5 ，故此选项错误；B、=| x| ，正确；C、（x2）÷ x=x，故此选项错误；D、x2 x+1=（ x）2+，故此选项错误；故选： B【点评】此题主要考查了二次根式的性质以及同底数幂的乘法运算和分式的混合运算等知识，正确掌握相关运算法则是解题关键7（2016?巴中）下列二次根式中，与是同类二次根式的是（）ABCD【分析】 直接利用同类二次根

11、式的定义分别化简二次根式求出答案【解答】 解： A、=3，与不是同类二次根式，故此选项错误；B、=，与，是同类二次根式，故此选项正确；C、=2，与不是同类二次根式，故此选项错误；D、=，与不是同类二次根式，故此选项错误；故选： B【点评】 此题主要考查了同类二次根式，正确化简二次根式是解题关键8（2016?营口）化简+的结果为（）A0B2C 2D2【分析】 根据根式的开方，可化简二次根式，根据二次根式的加减，可得答案【解答】解：+=3+2=2，故选： D【点评】 本题考查了二次根式的加减，先化简，再加减运算9（2016?安徽校级自主招生）已知，ab 0，化简二次根式a的正确结果是（）ABCD【

12、分析】 直接利用二次根式的性质进而化简得出答案【解答】 解： ab0， a=a×=故选： D【点评】此题主要考查了二次根式的性质与化简， 正确应用二次根式的性质是解题关键10（2016?邯郸校级自主招生） 设 a 为的小数部分， b 为的小数部分则的值为（）A+1B+1C1D【分析】 首先分别化简所给的两个二次根式，分别求出然后代、化简、运算、求值，即可解决问题【解答】 解：=+1a、b 对应的小数部分，= = ， a 的小数部分 = 1；= ， b 的小数部分 = 2，=故选 B【点评】该题主要考查了二次根式的化简与求值问题； 解题的关键是灵活运用二次根式的运算法则来分析、判断、解

13、答11（ 2016?柘城县校级一模）把中根号外面的因式移到根号内的结果是（）ABCD【分析】先根据被开方数大于等于0 判断出 a 是负数，然后平方后移到根号内约分即可得解【解答】 解：根据被开方数非负数得，0，解得 a0， a=故选 A【点评】本题考查了二次根式的性质与化简，先根据被开方数大于等于的取值范围是解题的关键，也是本题最容易出错的地方0 求出a12（ 2016?杨浦区三模）如果=2a1，那么（）AaBaCaDa【分析】 由二次根式的化简公式得到 1 2a 为非正数，即可求出【解答】 解： =| 1 2a| =2a 1，a 的范围 1 2a0，解得： a 故选 D【点评】此题考查了二次

14、根式的性质与化简， 熟练掌握二次根式的化简公式是解本题的关键13（ 2016?临朐县一模）已知： a=， b=，则 a 与 b 的关系是（）Aab=1Ba+b=0Cab=0 Da2=b2【分析】先分母有理化求出a、b，再分别代入求出ab、a+b、 a b、 a2 、b2，求出每个式子的值，即可得出选项【解答】 解： a=2+，b=2，A、ab=（ 2+）×（ 2）=43=1，故本选项正确；B、a+b=（2+） +（2）=4，故本选项错误；C、ab=（2+）（ 2） =2，故本选项错误；D、 a2=（ 2+）2=4+4+3=7+4， b2=（ 2） 2=4 4+3=74， a2b2，故

15、本选项错误；故选 A【点评】 本题考查了分母有理化的应用，能求出每个式子的值是解此题的关键二填空题（共17 小题）14（2017?静安区一模）如果代数式有意义，那么 x 的取值范围为x2 【分析】根据二次根式有意义的条件、 分式有意义的条件列出不等式， 解不等式即可【解答】 解：由题意得， x+20，解得， x 2，故答案为： x 2【点评】本题考查的是二次根式有意义的条件， 掌握二次根式中的被开方数必须是非负数是解题的关键15（ 2016?乐山）在数轴上表示实数a 的点如图所示，化简+| a2| 的结果为3【分析】 直接利用二次根式的性质以及绝对值的性质分别化简求出答案【解答】 解：由数轴可

16、得： a50，a2 0，则+| a2|=5a+a2=3故答案为： 3【点评】此题主要考查了二次根式的性质以及绝对值的性质，正确掌握掌握相关性质是解题关键16（ 2016?聊城）计算：=12【分析】 直接利用二次根式乘除运算法则化简求出答案【解答】 解：=3×÷=3=12故答案为： 12【点评】 此题主要考查了二次根式的乘除运算，正确化简二次根式是解题关键17（ 2016?黄石）观察下列等式：第 1个等式： a1=1，第 2个等式： a2= ，第 3个等式： a3=2 ，=第 4个等式： a4=2，按上述规律，回答以下问题：（ 1）请写出第 n 个等式： an=；（ 2） a

17、1+a2+a3+ +an1=【分析】（1）根据题意可知， a= ，=，=21=1 a2=a3= ， a4= ， 由此得出第n个等式：n=；2a =（ 2）将每一个等式化简即可求得答案【解答】 解：（1）第 1 个等式： a1= ，=1第 2 个等式： a2=，第 3 个等式： a3=2，=第 4 个等式： a4= ，=2第 n 个等式： an=；（ 2） a1+a2+a3+ +an=（1）+（）+（2）+（2）+ +（）= 1故答案为=；1【点评】此题考查数字的变化规律以及分母有理化， 要求学生首先分析题意， 找到规律，并进行推导得出答案18（ 2016?哈尔滨）计算 2的结果是2【分析】先将

18、各个二次根式化成最简二次根式，再把同类二次根式进行合并求解即可【解答】 解：原式 =2× 3= 3=2，故答案为： 2【点评】本题考查了二次根式的加减法， 解答本题的关键在于掌握二次根式的化简与同类二次根式合并19（ 2016?天津）计算（+）（ ）的结果等于 2 【分析】 先套用平方差公式，再根据二次根式的性质计算可得【解答】 解：原式 =（） 2（） 2=53=2，故答案为： 2【点评】本题考查了二次根式的混合运算的应用，熟练掌握平方差公式与二次根式的性质是关键20（ 2016?博野县校级自主招生）化简：（ 0 a 1） =a【分析】 结合二次根式的性质进行化简求解即可【解答】

19、解：=| a| 0 a1， a210， a =0，原式 =| a | =（ a ） = a故答案为：a【点评】本题考查了二次根式的性质与化简， 解答本题的关键在于熟练掌握二次根式的性质及二次根式的化简21（2016?绵阳校级自主招生） 如果最简二次根式与么使有意义的 x 的取值范围是x 10可以合并，那【分析】根据二次根式可合并，可得同类二次根式，根据同类二次根式，可得a的值，根据被开方数是非负数，可得答案【解答】 解：由最简二次根式与可以合并，得3a8=172a解得a=5由有意义，得202x0，解得 x10，故答案为： x 10【点评】本题考查了同类二次根式， 利用同类二次根式得出关于 a

20、的方程是解题关键22（ 2016?温州校级自主招生）已知a，b 是正整数，且满足是整数，则这样的有序数对（ a， b）共有7对【分析】 A， B 只能是 15n2，然后分别讨论及的取值，最终可确定有序数对的个数【解答】 解： 15 只能约分成3， 5那么 A，B 只能是 15n2先考虑 A 这边： ，那么 B 可以这边可以是1 或者，此时有：（15，60），（ 15，15），（60，15）， ，只能 B 这边也是 ，此时有：（60，60）， ，那么 B 这边也只能是，2×（ + ）=1，此时有：（240， 240）的话，那么 B 这边只能是，那么 2（+ ） =1，此时有：（135，

21、 540），（540，135）综上可得共有 7 对故答案为： 7【点评】本题考查二次根式的化简求值， 难度较大，关键是根据题意分别讨论及的取值23（ 2016?福州自主招生）对正实数a，b 作定义 a*b=a，若 2*x=6，则 x=32 【分析】 根据定义把 2*x=6 化为普通方程，求解即可【解答】 解： a*b=a， 2*x= 2，方程 2*x=6 可化为故答案为： 32 2=6，解得x=32，【点评】本题主要考查二次根式的化简， 利用新定义把方程化为普通方程是解题的关键24（2016?黄冈校级自主招生） 已知 x+y=，xy=，则 x4y4=【分析】 把所给式子两边平方再相加可先求得x

22、2+y2 ，再求得 x2y2，可求得答案【解答】 解： x+y=，xy=，（ x+y）22+2xy+y2（）2+，（y）2 22xy+y2=x=x=x=（）2=， x2+y2=，又 x2 y2= （ x+y ）（ x y ） = （）（）=1， x4y4 （2+y2）（ x2 y2）=，=x故答案为：【点评】 本题主要考查二次根式的化简，利用乘法公式分别求得x2+y2 和 x2 y2的值是解题的关键25（ 2016?黄冈校级自主招生）已知=（x， y 为有理数），则 xy= 1 【分析】把已知条件两边平方，整理可得到x+y 2，结合 x、y 均为有理数，可求得 x、y 的值，可求得答案【解答】

23、 解：=，（）2=（） 2，即2 3=x+y2， x+y 2=2=+ 2， x，y 为有理数， x+y= + ，xy= × ，由条件可知 xy， x= ，y= ， xy=1，故答案为： 1【点评】 本题主要考查二次根式的化简，由条件求得 x、 y 的值是解题的关键26（ 2016 春?固始县期末）已知是正整数，则实数n 的最大值为11【分析】 根据二次根式的意义可知 12n0，解得 n12，且 12n 开方后是正整数，符合条件的 12n 的值有 1、4、9 ，其中 1 最小，此时 n 的值最大【解答】 解：由题意可知 12 n 是一个完全平方数，且不为 0，最小为 1，所以 n 的最

24、大值为 12 1=11【点评】 主要考查了二次根式有意义的条件，二次根式的被开方数是非负数27（2016?山西模拟）三角形的三边长分别为3、m、5，化简=2m10【分析】 先利用三角形的三边关系求出m 的取值范围，再化简求解即可【解答】 解：三角形的三边长分别为3、m、5， 2 m8，=m2（ 8m） =2m10故答案为： 2m10【点评】本题主要考查了二次根式的性质与化简及三角形三边关系，解题的关键是熟记三角形的三边关系28（ 2016?武侯区模拟）若实数m 满足=m+1，且0m，则m 的值为【分析】 直接利用二次根式的性质化简进而得出关于【解答】 解：=m+1，且 0 m，m 的等式即可得

25、出答案 2 m=m+1，解得： m= 故答案为：【点评】 此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确开平方是解题关键29（ 2016?龙岩模拟）计算下列各式的值：；观察所得结果，总结存在的规律，应用得到的规律可得=102016【分析】 直接利用已知数据计算得出结果的变化规律进而得出答案【解答】解：=10；=100=102 ；=1000=103 ；=10000=104，可得=102016故答案为： 102016【点评】此题主要考查了二次根式的性质与化简， 正确得出结果变化规律是解题关键30（2016?丹东模拟）观察下列各式：=11+3 × 1+1 ，=22+3 × 2+1 ，=

26、32+3×3+1，猜测：= 20112+3× 2011+1【分析】 根据题意得出数字变换规律进而得出答案【解答】 解：由题意可得：=20112+3× 2011+1故答案为： 20112+3× 2011+1【点评】 此题主要考查了二次根式的化简，正确得出数字变化规律是解题关键三解答题（共10 小题）31（ 2017 春?临沭县校级月考）计算（1）4+÷（2）（1）（1+）+（1+）2【分析】（1）先进行二次根式的除法运算，然后化简后合并即可；（ 2）利用完全平方公式和平方差公式计算【解答】 解：（1）原式 =3 2 +=32+2=3；（ 2）原式

27、 =15+1+2+5=2+2【点评】本题考查了二次根式的混合运算： 先把各二次根式化简为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可32（ 2017 春?沂源县校级月考）若1 a 2，求+的值【分析】根据 a 的范围即可确定 a 2 和 a1 的符号，然后根据算术平根的意义进行化简求值【解答】 解： 1a2， a 20， a10则原式=+= +=1+1=0【点评】 本题考查了二次根式的化简求值，正确理解算术平方根的意义，理解=| a| 是关键33（2017 春?启东市月考）已知 x，y 都是有理数，并且满足 ，求 的值【 分 析 】 观 察 式 子 ， 需求 出x ， y的值 ， 因此

28、 ， 将 已 知 等 式 变 形：，x，y 都是有理数，可得，求解并使原式有意义即可【解答】 解：， x，y 都是有理数， x2+2y 17 与 y+4 也是有理数，解得有意义的条件是xy，取 x=5，y=4，【点评】此类问题求解，或是转换式子，求出各个未知数的值， 然后代入求解或是将所求式子转化为已知值的式子，然后整体代入求解34（ 2016?锦州）先化简，再求值：，其中x= 3（ 3） 0【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把化简后 x 的值代入进行计算即可【解答】 解：=÷，=×，=x=3（ 3）0，= ×4 1，=21，= 1把 x=1 代入

29、得到：=即=【点评】本题考查的是分式的化简求值， 在解答此类题目时要注意通分及约分的灵活应用35（ 2016?湖北校级自主招生） （ 1）已知 | 2012x|+=x，求x 20132的值；（ 2）已知 a0，b0 且 （ +）=3（+5）求的值【分析】（ 1）由二次根式有意义的条件可知x 2013，然后化简得=2012，由算术平方根的定义可知： x2013=20122，最后结合平方差公式可求得答案（ 2）根据单项式乘多项式的法则把（+）=3（+5）进行整理，得出 a2 15b=0，再进行因式分解得出（5）（+3）=0，然后根据 a0，b0，得出 5 =0，求出 a=25b，最后代入要求的式子

30、约分即可得出答案【解答】 解：（1） x20130， x2013 x2012+=x=2012 x2013=20122 x=20122+2013 x20132=20122 20132+2013 =（ 2012+2013）+2013 =2012（ 2）（+ ）=3（+5 ）， a+=3+15b， a 215b=0，（5）（+3）=0， a 0，b 0， 5 =0， a=25b，原式 =2【点评】本题主要考查的是二次根式的混合运算，用到的知识点是二次根式有意义的条件、绝对值的化简、算术平方根的性质、平方差公式的应用，第（1）题求得 x2013=20122，第（ 2）求出 a=25b 是解题的关键36（ 2016?山西模拟）观察下列各式及其验证过程：（ 1）按照上述两个等式及其验证过程的基本思路，猜想的变形结果并进行验证；（ 2）针对上述各式反应的规律，写出用 n（ n 为任意自然数，且 n 2）表示的等式，并说明它成立【分析】 根据观察，可得规律，根据规律，可得答案【解答】 解：（1）5=验证：