第三章重积分及其应用习题课一ppt课件

1、 二重积分的定义与性质二重积分的定义与性质例例1 判别判别 Ddyxyx )ln()(2222的符号，其中的符号，其中D为为. 1| yx解解由于当由于当Dyx ),(时，时，222|)|(|yxyx 1 所以所以0)ln()(2222 yxyx0)ln()(2222 Ddyxyx 例例2 估计二重积分估计二重积分22100sinsinDdxy 的值，的值，其中其中.2|:| yxD解解xoy2 yx2 yx2 yx2 yx当当Dyx ),(时，时，221100sinsinxy 1001 1011D的面积为的面积为22 22100sinsinDdxy 2002 2022 例例3计算计算 222

2、22)cos(1lim20ryxyxrdxdyyxer 解解由积分中值定理知：由积分中值定理知：存在存在),( 满足满足,222r 使得使得 22222)cos(ryxyxdxdyyxe)cos(22 e2r 注意到注意到0r),0 , 0(),( 所以所以原式原式 )cos(22 e00lim 1 例例4 4 设设)(xf在在1 , 0连续，连续， 证明：证明：110)(10)( dyedxeyfxf证证 10)(10)(dyedxeyfxf 10)(10)(dxedyexfyf 1010:yxD设设 10)(10)(dyedxeyfxf Dyfxfdxdye)()( 10)(10)(dxe

3、dyexfyf Dxfyfdxdye)()( 10)(10)(dyedxeyfxf Dxfyfyfxfdxdyee21)()()()(1 二重积分在直角坐标系下的计算二重积分在直角坐标系下的计算yoxab( )yx ( )yx yox Ddxdyyxf),( dyyxf),()(x )(x dxabcd( )xy ( )xy dxyxf),()(y )(y dycd例例5 计算二重积分计算二重积分,22 Ddxdyxy其中其中D是由是由,xy 1, 2 xyy围成的区域。围成的区域。解法一解法一yox2 yxy 1 xy)2 ,21()2 , 2()1 , 1( Ddxdyxy22 dxxy2

4、21xy y1xy y dy12 213)(dyyy49 1yx 例例5 计算二重积分计算二重积分,22 Ddxdyxy其中其中D是由是由,xy 1, 2 xyy围成的区域。围成的区域。解法二解法二yox2 yxy 1 xy)2 ,21()2 , 2()1 , 1( Ddxdyxy22 122Ddxdyxy 222Ddxdyxy dyxy22 dx dyxy22 dxx2x1221121 12152)18(31dxxx 212)8(31dyxx49 1217 65 2y yx 例例6 计算二重积分计算二重积分,|sinsin| Ddxdyyx其中其中.20 ,20: yxD2 2 xyo解解

5、Ddxdyyx|sinsin| 1)sin(sinDdxdyyx 2)sin(sinDdxdyxy dyyx)sin(sin0 x 20 dx dyxy)sin(sinx2 20 dx 20)1cossin( dxxxx 20)sin2cossin( dxxxxx 4D1D2D例例7 化二重积分化二重积分 Ddxdyyxf),(为直角坐标下二次为直角坐标下二次积分。积分。1） D是由是由1,12 yxxy围成的区域。围成的区域。yox21yx1xy解解 Ddxdyyxf),( dyyxf),(21x 1x dx011yx 21yx 1 dxyxf),(1xy 1y 21xy 21y dy 01

6、12） D是由是由2211,2xyxy 围成的区域。围成的区域。( 1,1) (1,1)xyo22yx211yx 解解 Ddxdyyxf),( dyyxf),(211yx 211x22yx 22x dx1 1 1),(Ddxdyyxf 2),(Ddxdyyxf dxyxf),(22xyy 22yy 22xyy 22yy dy0 ( , )f x y dx 2xy 2y2xy 2y 1 dy122xyo例例8 交换下列积分次序交换下列积分次序 exdyyxfdx1ln0),()1解解1elnyx 1D exdyyxfdx1ln0),( Ddxdyyxf),( dxyxf),(yee dy01yx

7、e xe xyo113(3)200102)( , )( , )xxdxf x y dydxf x y dy 解解原式原式 1),(Ddxdyyxf 2),(Ddxdyyxf Ddxdyyxf),( dxyxf),(32y y dy01yx 2xy 1(3)2yx32xy 1D2DD131a2a222aaxy 22aaxy 2yax xyoa22xaxy 1D2D3D D22xya 2xa 22xya 2xa aaxxaxdyyxfdx20222),()3解解原式原式 Ddxdyyxf),( 1),(Ddxdyyxf 2),(Ddxdyyxf 3),(Ddxdyyxf dxyxf),( dy22

8、aay 22ya0a dxyxf),(22aay2a dy0a dxyxf),(22ya2a dya2a二重积分在极坐标系下的计算二重积分在极坐标系下的计算 Ddxdyyxf),( Dddf )sin,cos( df)sin,cos(1( ) 2( ) d xyo1( ) 2( ) 例例9 计算二重积分计算二重积分,22 Ddxdyyx其中其中D是由是由,xy 224,2,3xxyxxyxy 围成的区域。围成的区域。xyoyx 3yx 24yxx22yxx4cos 2cos 4 3 解解,22 Ddxdyyx Ddd d22cos 4cos d4 3 343cos356 d)1228312(3

9、56 例例10 化下列二重积分化下列二重积分 Ddxdyyxf),(为极坐标下二为极坐标下二次积分。次积分。围围成成的的区区域域。是是有有22,2 ,)1xyxyxyD 解解 Ddxdyyxf),(xyo Dddf )sin,cos(2yx yx 22yx tan sec 2tansec 4 df)sin,cos(tan sec 2tan sec d04 yyxxyxD2,2:)22222 解解 Ddxdyyxf),( 1),(Ddxdyyxf 2),(Ddxdyyxfxyo1D2DD222xyx222xyy(1,1)4 2cos 2sin 1)sin,cos(Dddf 2)sin,cos(D

10、ddf (cos ,sin)fd 02sin d04 (cos ,sin)fd 02cos d4 2 xyo 例例11 化下列直角坐标下二次积分为极坐标下的二次化下列直角坐标下二次积分为极坐标下的二次积分积分 21110),()1xxdyyxfdx解解211yx yx 2sin 4 D1 21110),(xxdyyxfdx Ddxdyyxf),( Dddf )sin,cos( df)sin,cos(02sin d4 2 xyo22112200022)( , )( , )xxdxf x y dydxf x y dy 解解原式原式yx 21yx1 1221D2DD 1),(Ddxdyyxf 2),

11、(Ddxdyyxf Ddxdyyxf),( Dddf )sin,cos( df)sin,cos(01 40 d例例12 设设,:)(222tyxtD 求求 )(222230)sin(1limtDtdxdyyxyxt解解 )(2222)sin(tDdxdyyxyx )(2sintDdd td02sin 20d td02sin2 原式原式3t 0limt td02sin2 203limtt 2sin2t 32 四四 二重积分的对称性二重积分的对称性例例13 计算二重积分计算二重积分,)(2 Ddxdyyx其中其中1|:| yxD1xy1xy 1xy1xy xyoD1D解解 Ddxdyyx2)( Ddxdyyxyx)2(22 Ddxdyyx)(22 1)(422Ddxdyyx4 dyyx)(22 10dx1yx 1x 0 1032)34231(4dxxxx32 xyzo22zxy 22yxx例例14 计算计算,022yxz xyx222 部分立体体积。部分立体体积。解解 该物体可以看成以该物体可以看成以22yxz 为顶，为顶，以以xyxD2:22 为底的曲顶柱体。为底的曲顶柱体。 DdxdyyxV)(22 Ddd 3 d3 22 d 224cos4 d 23 xyo