概率论--2-4二维随机变量及其概率分布ppt课件

1、 第二章 第四节二维随机变量及其概率分布(23)一、二维随机变量的概念一、二维随机变量的概念二、二维离散型随机变量二、二维离散型随机变量三、二维延续型随机变量三、二维延续型随机变量以上我们只限讨论一个随机变量的情况,但在实践问题一、二维随机变量的概念定义定义1 1有些随机实验的结果需求用两个或两个以上的随机变量来描画.例如:为了研讨大学生身体发育情况,中,学生进展抽查,对某校大对于每个学生都能察看到他的身高H和体重W,这里H和W是两个随机变量,类似的例子还有许多.设随机实验 E 的样本空间为 ,X ,Y 是定义在 上的两个随机变量,那么二维向量( X , Y ) 称为二维随机向量或二维随机变量

2、向量或二维随机变量. .二维随机变量( X , Y )的性质不仅与 X 及 Y 有关,而且还依赖于这两个随机变量的相互关系,留意留意:定义定义2 2因此逐个研讨体来进展研讨.还必需将( X ,Y ) 作为一个整与一维的情况类似, 我们也借助于分布函数来研讨二设( X , Y ) 是二维随机变量,对恣意实数 x , y , 二元函数称为二维随机变量( X ,Y ) 的结合分布函数.随机变量 X 与 Y 是不够的,维随机变量.( , ),F x yP Xx Yy(1)在几何上,xyO( , )x y假设把二维随机变量( X ,Y )看作平面上随机点的坐标,那么结合分布函数 F (x ,y)在点(x

3、 , y)处的函数值,就是随机点(X ,Y)落在以点(x , y)为顶点的左下方无穷矩形域内的概率.由结合分布函数的几何意义很容易得出落在一个矩形区域1212,xXxyYyxyO1x2x2y1y1212,P xXxyYy22122111(,)( ,)(,)( ,)F xyF x yF xyF x y内的概率为:(2)随机点( X ,Y )定理定理1 1(1) F ( X , Y )关于x ,y 均是非减函数; (2)lim( , )0 xyF x ylim( , )0 xF x ylim( , )0yF x ylim( , )1xyF x y3关于均是右延续函数；( , )F x y, x y

4、4对恣意，均有12xx12yy221221110(,)(,)(,)(,)1F xyF x yF xyF x y二维随机变量( X ,Y )的结合分布函数 F (x , y)具有以下性质:留意到:( )XFx( ).YFylim,yP Xx Yy( ,).F x同理:( )(, ).YFyFy分别称为二维随机变量( X ,Y )关于X ,( )YFy( )XFx二维随机变量( X , Y )的分量 X 与Y 分别是一维随机变量,经过( X , Y ) 的结合分布函数F ( X , Y )可以求出 X 与Y 各自的分布函数与( ),XFxP XxP Xx Y 与关于Y 的边缘分布函数.lim( ,

5、 )yF x y即有:( )( ,)XFxF x(3)(4)二、二维离散型随机变量那么称( X , Y ) 是二维离假设二维随机变量( X ,Y )的全部能够取值是有限多对或可列无穷多对,( ,1,2,)ijx yi j 并称,( ,1,2,)ijijP Xx Yypi j为二维离散型随机变量( X , Y ) 的结合分布律.结合分布律的性质:(1)0,1,2,ijpi j(2)1.ijijp 散型随机变量.的结合分布律通常用表格(矩阵)给出：,X YXY1y2yjy1x2xix11p12p1jp21p22p2 jp1 ip2ipijp( X ,Y )的结合分布函数F ( x ,y)( , )

6、,ijijijijxx yyxx yyF x yP Xx Yyp其中ijxx yy,ijxx yyijp由(X ,Y )的结合分布律还可求出 X 与 Y 各自的分布律.,iiP XxP Xx Y 12,iiP Xx YyP Xx Yy,ijP Xx Yy(1,2,)ijjpi求出:是对一切满足的求和.可由上面的结合分布律(5)jP Yy(1,2,)ijipj(1,2,)iijijP Xxppi(1,2,)jijjiP Yyppj记:分别称为( X ,Y )关于 X 关于 Y 的边缘分布律.,jP XYy 在结合分布律的表格中,XY1y2yjy1x2xix11p12p1jp21p22p2 jp1

7、 ip2ipijp1p2pip1p2pjp1将每行与每列相加即可得到边缘分布律.iiP XxPijP YyP例例1.1.设随机变量 X 在1 , 2 , 3 , 4 这四个整数中等能够另一个随机变量 Y 在1 X 中等能够地取一整数解解: :由于 X = i ,Y = j 的取值情况是:j 取不大于i 的正整数 ,由乘法公式容易求得:所以( X , Y )的结合分布律与边缘分布律为:,P Xi Yj(1 ,2 ,3 ,4 ,)iji试求二维随机变量 ( X , Y ) 的结合分布律及边缘i = 1 , 2 , 3 , 4 ,取值,值,|P XiP Yj Xi1 14 i布律.YX1 2 3 4

8、1418112018112000123411611611211600116iP14141414jP2548134874834811 14 i(1 ,2 ,3 ,4 ,)iji即有 X 边缘分布律:12341.4PPPP1234251373,.48484848PPPPY 边缘分布律:123 4XiiP XxpjjP Yyp2548123 41348748348Y14141414也即有:三、二维延续型随机变量实数 x ,y 都有定义定义3.3.函数,( , )( , )xyF x yf u v dudv ( X ,Y )的结合概率密度函数.那么称( X ,Y )为二维延续型随机变量,设F (x ,

9、 y) 为二维随机变量( X , Y )的结合分布假设存在一个非负二元函数 f ( x ,y ) ,使对恣意(6)并称 f (x ,y) 为结合概率密度函数 f (x ,y) 的性质:(1) f (x , y ) 0 ;(2)( , )1 ;f x y dxdy (3) 假设 f ( x ,y ) 在点( x ,y ) 处延续,2( , )( , ) ;F x yf x yx y (4)(, )( , ).DPX YDf x y dxdy落在域 中性质(4)阐明在几何上,概率,那么有( X ,Y )落在某平面区域 D 中的在数值上就是 f ( x ,y ) 在区域 D 上的二重积分.由( X

10、,Y )的结合概率密度函数 f ( x ,y ) 变量 X 和 Y 的概率密度函数( )Xfx( ).Yfx由于( )( ,)( , )xXFxF xf u v dudv 而( )( ),xXXFxft dt所以( )( , )Xfxf x y dy同理有( )( , ).Yfyf x y dx称为( X , Y )关于 X 的边缘概率密度函数;( )Xfx称为( X ,Y )关于 Y 的边缘概率密度函数.( )Yfy和(7)(8)可求得一维随机例例3.3.401,01( , )0 xyxyf x y其它(2)X ,Y 的边缘概率密度函数;求:1 10,12 4PXY及;P XY(3)求( X

11、 ,Y )的结合分布函数 F ( X ,Y ) .解解: : (1).1 10,12 4PXY设 ( X , Y )的结合概率密度函数为(1)1121044xydydx 15.6401014x yxyP XYxydxdy xyo111004yydyxdx(2).( )( , )Xfxf x y dy当x 0 或 x 1 时,( , )0 ,f x y ( )0 ;Xfx 那么当0 x 1时,( )( , )Xfxf x y dy1302y dy1.2104xydy2 . x201( )0Xxxfx其它那么有yx同理:201( )0Yyyfy其它(3).( , )( , )xyF x yf u v dudv 当x 0 或 y 0 时,( , )0 ,f u v 那么( , )0 ;F x y 当0 x 1 且 0 y 1时,( , )( , )xyF x yf u v dudv 22;x y004xyuvdudv 当0 x 1 且 y 1 时,1200( , )( , )4xyxF x yf u v dudvuvdudvx 当 x 1 且 0 y 1 时,120