大学物理：第6章 机械振动基础2

1、第六章 机械振动例例 一弹簧振子，一弹簧振子，m100g，把物体从平衡位置向下拉，把物体从平衡位置向下拉10cm后后释放，已知释放，已知T2s。求：。求：（1）物体）物体第一次第一次经过经过平衡平衡位置时的位置时的速度速度，（2）物体）物体第一次第一次在在平衡平衡位置位置上方上方5cm处的处的加速度加速度，（3）物体从）物体从平衡位置下方平衡位置下方5cm处向上运动到处向上运动到平衡位置上方平衡位置上方 5 cm处所需处所需最短时间最短时间。解解建立坐标如图，建立坐标如图，ox1010Acm2rad sT010cos() ()xtcm（1）10 sin() t 2t1031.4cm s ox2

2、ox10（2）10cos() ()xtcm210cos()at 23tox10102210cos()3a 225cm s（3）由旋转矢量图）由旋转矢量图ox101032tT2Tt 13s第六章 机械振动3四、四、 几种常见的谐振动几种常见的谐振动1. 单摆单摆o由转动定理由转动定理MJmg222sindmglmldt当当 50时，时，sinsin220dgdtl（简谐振动）（简谐振动）gl22lTgcos()At角位移角位移角振幅角振幅设逆时针转动为正方向设逆时针转动为正方向第六章 机械振动4例例 用手拉摆球，单摆从平衡位置偏一小角用手拉摆球，单摆从平衡位置偏一小角0，无初速度释无初速度释 放

3、，偏角大小不同，放，偏角大小不同， （1）周期相同吗？）周期相同吗？ （2）振幅）振幅A相同吗？相同吗？ （3） 0是不是初相？是不是初相？o0解解单摆的振动方程：单摆的振动方程：cos()At2gTl由系统决定由系统决定A和和由初始条件决定由初始条件决定0cos( )A0sin( )A 0A（振幅）（振幅）初相：初相：0第六章 机械振动52. 复摆复摆设刚体对轴的转动惯量为设刚体对轴的转动惯量为J J，逆时针为正，逆时针为正 MJ5,sin时22g0m hdJdtJhmg2gJTm h（物理摆）（物理摆）由转动定理由转动定理 g sinm hJ（简谐振动）（简谐振动）令令 2Jmh可得可得

4、gh可见，单摆是复摆的特例可见，单摆是复摆的特例 可绕固定光滑轴摆动的刚体可绕固定光滑轴摆动的刚体第六章 机械振动6五、五、 谐振动的能量谐振动的能量（以弹簧振子为例）（以弹簧振子为例） 1. 1. 动能动能221vmEk)(sin2122tkA2 41d1kAtETETttkk2. 2. 势能势能221kxEp)(cos2122tkA3. 3. 机械能机械能221kAEEEpk（简谐振动系统机械能守恒）（简谐振动系统机械能守恒）cosxAtsinAt 2max21kAEk0minkEPEEkEPExO212pEkx 结论结论1：系统的动能、势能都随系统的动能、势能都随t作周期作周期 性变化，

5、但系统总能量不变，性变化，但系统总能量不变， 且与振幅平方成正比。且与振幅平方成正比。 结论结论2：系统作一次全振动，能量转系统作一次全振动，能量转 换换2次。即能量转化的周期次。即能量转化的周期 振动的周期的一半振动的周期的一半214PEkA第六章 机械振动7例例 : 质量为质量为m的平底船，底面积为的平底船，底面积为S，吃水深度为，吃水深度为h，不计水的，不计水的 阻力，求：船在竖直方向的振动周期阻力，求：船在竖直方向的振动周期T。（水的密度为。（水的密度为）水面解解: 取水平面为坐标原点，取水平面为坐标原点，船上任意一点都可代表船的位船上任意一点都可代表船的位置，取平衡时同水线上一点置，

6、取平衡时同水线上一点PPoyh 建立动力学方程：建立动力学方程：ymg()hy Sg22d ymdtmghSgySg22d ymdt220d ySgymdt2Sgm2mTSg2hg（谐振动）（谐振动）第六章 机械振动8例例 如图所示，一直角均质细杆，水平如图所示，一直角均质细杆，水平部分杆长为部分杆长为 l ，质量为，质量为 m ，竖直部，竖直部分杆长为分杆长为 2l ，质量为，质量为 2m ，细杆可，细杆可绕直角顶点处的固定轴绕直角顶点处的固定轴 O 无摩擦无摩擦地转动，水平杆的未端与劲度系数地转动，水平杆的未端与劲度系数为为 k 的弹簧相连，平衡时水平杆处的弹簧相连，平衡时水平杆处于水平位

7、置。于水平位置。求求 杆作杆作微小摆动微小摆动时的周期。时的周期。解解2g0lmlkxgcos2 g sin2lMmm l2(2 g)Mm lkl 0() cosk xx lcos1sinxl第六章 机械振动9222d(2 g)dJm lklt 22232)2(3131mllmmlJ）（22d2 g0d3mkltmlmlklm3g2322 gmlTmkl0cos( ) t2(2 g)Mm lkl 第六章 机械振动10能量的方法能量的方法 (t 时刻系统的能量时刻系统的能量)220111()g(sin )222EJk xxml2 g cosm l202()gcos2 g sin02ddJkl x

8、xdtdtm lddm ldtdt222(2 g)0dJm lkldt（其它步骤同上其它步骤同上）0dEdt系统能量守恒系统能量守恒第六章 机械振动11一、一、 阻尼振动阻尼振动kmxoxF弹性f阻 力Fkx 弹力f 阻力动力学方程：动力学方程：22d xdxmkxdtdt 阻尼系数阻尼系数: :/2nm固有角频率：固有角频率：20/k m220220d xdxnxdtdt解的形式？解的形式？第六章 机械振动12220n1. 1. 阻尼越小，越接近谐振动，阻尼越小，越接近谐振动，阻尼越大，阻尼越大，“周期周期”越长越长 对应于三种不同的解，将有三种不同的运动形式对应于三种不同的解，将有三种不同

9、的运动形式欠阻尼振动欠阻尼振动2. 2. 220n过阻尼振动过阻尼振动3. 3. 220n临界阻尼振动临界阻尼振动 物体作振幅物体作振幅A减小的振动。减小的振动。物体回不到平衡位置，或物体回不到平衡位置，或 可通过一次平衡位置，能可通过一次平衡位置，能量就消耗完了。量就消耗完了。 物体最快回到平衡位置。物体最快回到平衡位置。过阻尼过阻尼临界阻尼临界阻尼欠阻尼欠阻尼xt0 相对过阻尼，临界阻尼情况下，物体停于平衡位置所相对过阻尼，临界阻尼情况下，物体停于平衡位置所 需时间最短。需时间最短。第六章 机械振动1322022cosxxxftttdddd二、二、 受迫振动受迫振动振动系统在周期性驱动力的

10、作用下的振动。振动系统在周期性驱动力的作用下的振动。 弹性力弹性力阻尼力阻尼力 周期性策动力周期性策动力kx0cosFFtdxdt202cosxxmkxFttt dddd2m20km0Ffm令令 xt0 时，速度时，速度和振幅都达到极和振幅都达到极大，即发生大，即发生共振共振第六章 机械振动14小号吹出的波足以把玻璃杯振碎小号吹出的波足以把玻璃杯振碎第六章 机械振动151940年华盛顿的塔科曼大桥建成年华盛顿的塔科曼大桥建成同年同年7月的一场大风引起桥的共振月的一场大风引起桥的共振 桥被摧毁桥被摧毁第六章 机械振动16第七章 机械振动共振还有可能导致雪崩共振还有可能导致雪崩17第七章 机械振动 肩肩4- 5HZ 眼球眼球30- 80H Z 胃胃4- 8HZ 手掌手掌50- 200