第一章 随机事件的概率

1、概率论与数理统计数理教学部数理教学部 赵国栋赵国栋Email: Email: Tel:el:言 在我们所生活的世界上在我们所生活的世界上, ,充满了不确定性从充满了不确定性从扔硬币、掷骰子和玩扑克等简单的机会游戏，扔硬币、掷骰子和玩扑克等简单的机会游戏，到复杂的社会现象；从婴儿的诞生，到世间万到复杂的社会现象；从婴儿的诞生，到世间万物的繁衍生息；从流星坠落，到大自然的千变物的繁衍生息；从流星坠落，到大自然的千变万化万化，我们无时无刻不面临着，我们无时无刻不面临着不确定性不确定性和和随机性随机性. .在一定条件下必然发生在一定条件下必然发生的现

2、象称为确定性现象的现象称为确定性现象. . “太阳不会从西边升起太阳不会从西边升起”,(1) 确定性现象确定性现象 “同性电荷必然互斥同性电荷必然互斥”,“水从高处流向低处水从高处流向低处”,实例实例自然界所观察到的现象自然界所观察到的现象: 确定性现象确定性现象 随机现象随机现象（结果确定）（结果确定）在一定条件下可能出现也可能不出现在一定条件下可能出现也可能不出现的现象的现象称为随机现象称为随机现象.实例实例1 在相同条件下掷一枚均匀的硬币，观察在相同条件下掷一枚均匀的硬币，观察正反两面出现的情况正反两面出现的情况.(2) 随机现象随机现象 确定性现象的特征确定性现象的特征 条件完全决定结

3、果条件完全决定结果（结果不确定）（结果不确定）结果有可能为结果有可能为:1, 2, 3, 4, 5 或或 6. 实例实例3 抛掷一枚骰子抛掷一枚骰子,观观 察出现的点数察出现的点数. 实例实例2 用同一门炮向同用同一门炮向同 一目标发射同一种炮弹多一目标发射同一种炮弹多 发发 , 观察弹落点的情况观察弹落点的情况.结果结果: 弹落点会各不相同弹落点会各不相同.实例实例4 从一批含有正品从一批含有正品和次品的产品中任意抽取和次品的产品中任意抽取一个产品一个产品.其结果可能为其结果可能为: 正品正品 、次品次品.实例实例5 过马路交叉口时过马路交叉口时,可能遇上各种颜色的交通可能遇上各种颜色的交通

4、指挥灯指挥灯.实例实例6 出生的婴儿可出生的婴儿可能是能是男男,也可能是也可能是女女.实例实例7 明天的天气可明天的天气可能是能是晴晴 , 也可能是也可能是多云多云或或雨雨.随机现象的特征随机现象的特征条件不能完全决定结果条件不能完全决定结果(2) 随机现象在一次观察中出现什么结果具有随机现象在一次观察中出现什么结果具有偶偶然性然性, 但在大量试验或观察中但在大量试验或观察中, 这种结果的出现具这种结果的出现具有一定的有一定的统计统计规律性规律性 (抛硬币实验抛硬币实验)，随机现象是通过随机现象是通过随机试验随机试验来研究的来研究的.问题问题 什么是随机试验什么是随机试验?如何来研究随机现象如

5、何来研究随机现象?说明说明(1) 随机现象揭示了条件和结果之间的非确定性随机现象揭示了条件和结果之间的非确定性联系联系 , 其数量关系无法用函数加以描述其数量关系无法用函数加以描述.概率论就是研究随机现象规律性的一门数学学科概率论就是研究随机现象规律性的一门数学学科.第一章 随机事件的概率 第一节 随机事件第二节 随机事件的概率第三节 条件概率第四节 独立性 主观概率 第一节 随机事件一、随机试验与样本空间二、随机事件三、事件间的关系与运算E1: 抛一枚硬币，分别用“H” 和“T” 表示出正面和反面;E2: 将一枚硬币连抛三次，考虑正反面出现的情况；E3:某城市某年某月内发生交通事故的次数；2

6、.2.随机试验例子随机试验例子一、随机试验与样本空间一、随机试验与样本空间1. 随机实验对随机现象的观察、记录、试验 E4:掷一颗骰子，可能出现的点数； E5: 记录某网站一分钟内受到的点击次数 E6:在一批灯泡中任取一只，测其寿命; E7:任选一人，记录他的身高和体重 。1一次试验之前无法确定具体是哪种结果出现，但能确定所有的可能结果2可在相同条件下重复进行随机试验的特点随机试验的特点随机试验常用随机试验常用 E 表示表示说明说明 1. 随机试验简称为试验随机试验简称为试验, 是一个广泛的术语是一个广泛的术语.它包它包括各种各样的科学实验括各种各样的科学实验, 也包括对客观事物进行也包括对客

7、观事物进行的的 “调查调查”、“观察观察”、或、或 “测量测量” 等等.实例实例 “抛掷一枚硬币抛掷一枚硬币,观观察正面察正面,反面出现的情况反面出现的情况”.分析分析 2. 随机试验通常用随机试验通常用 E 来表示来表示.(1) 试验可以在试验可以在相同的条件下重复地进行相同的条件下重复地进行;1.“抛掷一枚骰子抛掷一枚骰子,观察出现的点数观察出现的点数”.2.“从一批产品中从一批产品中,依次任选三件依次任选三件,记记 录出现正品与次品的件数录出现正品与次品的件数”.同理可知下列试验都为随机试验同理可知下列试验都为随机试验(2) 试验的所有可能结果试验的所有可能结果:正面正面，反面反面;(3

8、) 进行一次进行一次试验之前不能试验之前不能确定哪一个结果会出现确定哪一个结果会出现. 故为随机试验故为随机试验.3. 记录某公共汽车站记录某公共汽车站某日上午某时刻的等某日上午某时刻的等车人车人 数数.4. 考察某地区考察某地区 10 月月份的平均气温份的平均气温.5. 从一批灯泡中任取从一批灯泡中任取一只一只,测试其寿命测试其寿命. 随机试验的所有可能结果组成的集合 样本空间ww=表示，可记为样本点一般用称为样本点的每个结果，中的元素，即样本空间E出现的情况，反面抛一枚硬币，观察正面TH1E1,H T= =T H2,HH HT TH TT= =2E出现的情况反面观察正面将一枚硬币连抛两次，

9、THTHTHHHTT30,1, 2= =3E出现的次数观察正面将一枚硬币连抛两次，HTHTHHHTT1次0次2次4= =合格，不合格4E在某一批产品中任选一件，检验其是否合格5E记录某大超市一天内进入的顾客人数 50,1, 2,3, 4,= =在一大批电视机中任意抽取一台，测试其寿命 6E60=t t观察某地明天的天气是雨天还是非雨天 7E7=雨天，非雨天二、随机事件1.事件具有某一可观察特征的结果(1).随机事件在实验中可能发生也可能不发生的事件通常用A、B、C 等表示例：在抛掷一枚色子的实验中，A=点数为奇数样本空间S的子集A为E的随机事件随机事件A，当且仅当A所包含的一个样本点发生称事件

10、A发生发生-符合描述特征的所有实验结果的集合(2).必然事件例：在抛掷一枚色子的实验中，A=点数小于7在实验中必然发生的事件(3).不可能事件在任何实验中，都不可能发生的事件例：在抛掷一枚色子的实验中，A=点数等于8三. 事件的集合表示事件事件是具有该事件所要求的特征的那些可能结果所构成所以对应于样本空间 中具有相应特征的样本点的集合，是其的一个子集的随机事件的子集称为的样本空间随机试验EE通常用A、B、C等表示任何事件均可表示为样本空间的某个子集任何事件均可表示为样本空间的某个子集.事件事件A发生发生当且仅当试验的结果是子集A中的元素随机试验 有两个基本事件 和 1EHT随机试验 有三个基本

11、事件 、 和3E012基本事件 ： 由一个样本点组成的单点集 例如例如 对于连抛三次硬币，以下A 、 B、C即为三个随机事件: A“至少出一个正面” HHH, HHT, HTH, THH，HTT，THT，TTH；B = “三次出现同一面”=HHH,TTTC=“恰好出现一次正面”=HTT，THT，TTH样本空间的两个特殊子集 它包含了试验的所有可能的结果，所以在每次试验中它总是发生，称为必然事件 .它不包含任何样本点，因此在每次试验中都不发生,称之为不可能事件 .四、事件间的关系与运算研究原因：希望通过对简单事件的了解掌握较复杂的事件 研究规则：事件间的关系和运算应该按照集合之间的关系和运算来规

12、定 (1,2,3,)kA B C A k=其他事件 , , ,随机试验的E样本空间子事件和事件积事件差事件互斥（互不相容）对立事件（逆事件）运算规律B子事件BA 发生发生必然导致事件含义：事件BA的子事件是事件事件BA6E8000小时电视机寿命不超过=A10000小时电视机的寿命不超过=BBA A例：例：记A=明天天晴，B=明天无雨记A=至少有10人候车，B=至少有5人候车一枚硬币抛两次，A=第一次是正面，B=至少有一次正面 BA BABA和事件BABA=www或的和事件和事件是事件事件BABA至少有一个发生与事件发生发生或事件事件发生事件BABABA1nkkA=n称为个事件12nAAA， ，

13、 ，的和事件；121,kkkAA AA=可列事件的和事件称为个2EHHA=两次都出现正面TTB=两次出现反面,TTHHBA= 两次出现同一面BA积事件BABA=ww且的积事件与事件是事件事件BABAABBA可简记为积事件 同时发生与事件事件发生事件BABA的积事件为可列个事件称的积事件；，个事件为称,211211nkknnkkAAAAAAAnA=50 kmA =事件前油管正常工作50 kmB =事件后油管正常工作整个输油管正常工作事件=BABAkm100某输油管长差事件BABA=www且的差事件与事件称为事件事件BABA不发生发生而事件事件发生事件BABA2E,TTHHA =,HTHHB =T

14、TBA=BA互斥的是互不相容的，或互斥与事件则称事件BA不相容的的基本事件都是两两互任一个随机试验 EBAABAB=事件 和事件 不能同时发生AB=对立事件A不发生事件发生事件AAAA称为事件 的对立事件或逆事件，记做AA=AA= AA故在每次试验中事件 ， 中必有一个且仅有一个发生互逆与件的对立事件，所以称事也是AAAAAA=即A若事件 表示“某公司今年年底结算将不亏损”AAA则事件 表示“某公司今年年底结算将亏损”.ABAB=按差事件和对立事件的定义，显然有BABA运算规律4 4. .对偶律对偶律 ABBA=ABBA=CBACBA)()(=CBACBA)()(=)()()(CABACBA=

15、)()()(CABACBA=BABA=BABA=注：这些运算规律可以推广到任意多个事件上去 1.交换律2.结合律3.分配律例例：设A A= 甲来听课 ，B B= 乙来听课 ，则：AB =AB =ABAB=ABAB=甲、乙至少有一人来甲、乙都来甲、乙都不来甲、乙至少有一人不来CBACBACBACBAABC例 设 ， ， 是随机事件，则事件 CABABC 与 发生， 不发生可以表示成 BCACABABC ， ， 至少有两个发生可以表示成BCACBACABABC ， ， 恰好发生两个可以表示成ABC ， ， 中有不多于一个事件发生可以表示成例例 某城市的供水系统由甲、乙两个水源与三部分管道1，2，3

16、组成，每个水源都足以供应城市的用水，设事件号管道正常工作第iAi=)3, 2, 1(=i321)(AAA321321321)()()(AAAAAAAAA=于是“城市断水”这一事件可表示为“城市能正常供水”这一事件可表示为甲乙12城市3概率论与集合论之间的对应关系概率论与集合论之间的对应关系记号记号概率论概率论集合论集合论样本空间样本空间, ,必然事件必然事件不可能事件不可能事件基本事件基本事件随机事件随机事件A的对立事件的对立事件A出现必然导致出现必然导致B出现出现事件事件A与事件与事件B相等相等空间空间(全集全集)空集空集元素元素子集子集A的补集的补集A是是B的子集的子集A集合与集合与B集合

17、相等集合相等小结BA 事件事件A与事件与事件B的差的差 A与与B两集合的差集两集合的差集= =AB事件事件A与与B互不相容互不相容A与与B 两集合中没有两集合中没有相同的元素相同的元素BA事件事件A与事件与事件B的和的和 A集合与集合与B集合的并集集合的并集AB 事件事件A与与B的积事件的积事件 A集合与集合与B集合的交集集合的交集第二节 随机事件的概率一、频率与概率二、概率的性质三、等可能概型（古典概型）四、几何概型一、频率与概率概率定义1的概率.量度称为事件发生的可能性大小的在一次试验中事件AAAnn( )AnnfAn=AnnAnA即发生的频率，记为为事件次，则称比值次重复试验中出现了在这

18、次试验，如果事件了在相同的条件下，进行( ) ,nfA中国国家足球队，“冲击亚洲”共进行了n次，其中成功了一次，则在这n次试验中“冲击亚洲”这事件发生的频率为某人一共听了17次“概率统计”课，其中有15次迟到，记A=听课迟到，则 # 频率 反映了事件A发生的频繁程度。( )nfA1 n；( )15 1788%nfA =抛硬币实验HA出现正面=4040n5069. 0)(=Afn24000=n5005. 0)(=AfnnnnHfAn=)(试验者德摩根蒲丰K皮尔逊K皮尔逊罗曼诺夫斯基2048404012000240008064010612048601912012396990.51810.50690

19、.50160.50050.4923Hn试验次数出现正面的次数出现正面的频率当当常常会不一样常常会不一样不同时，得到的不同时，得到的)( Afnn这表明频率具有一定的随机波动性的稳定性。，这表明频率具有所谓且逐渐稳定于上下波动，总是围绕在的增大，随着试验次数5 . 05 . 0)(Afnn对于可重复进行的试验，当试验次数 逐渐增大时，事件 的频率 都逐渐稳定于某个常数 ，呈现出 “稳定性”A)(Afnpn因此，可以用频率来描述概率，定义概率为频率的稳定值我们称这一定义为概率的统计定义这种“稳定性”也就是通常所说的统计规律性频率具有如下性质 0)(Afn()1nf=1非负性2规范性3有限可加性11

20、()()kkniniiifAfA=12,nA AA若是一组两两互不相容的事件则0)(APA有对任一个事件,()1P=必然事件有)()(,1121=iiiiAPAPAA则是两两互不相容的事件若设E是随机试验，是它的样本空间，对E的每一个事件A，将其对应于一个实数，记为P(A )，称为事件A的概率，如果集合函数P()满足下列条件：概率的公理化定义1非负性2规范性3可列可加性二、概率的性质()0P =)()()()(2121nnAPAPAPAAAP=，则有满足若事件BABA,)()()(APBPABP=)()(APBP1)(APA，对任一事件两两互不相容，则若事件nAAA,21性质1性质2（有限可加

21、性）性质3 性质4 性质5)(1)(APAPA=有对任一事件性质6（加法公式） )()()()(ABPBPAPBAP=有、对任意两个事件BA 性质5)(1)(APAPA=有对任一事件AAAA= 且)()()()(1APAPAAPP=)(1)(APAP=证：证明 性质5可得由性质2证明 性质6性质6（加法公式）)()()()(ABPBPAPBAP=有、对任意两个事件BA)()()()()()(ABPBPAPABBPAPBAP=证明：)(ABBABA=因为(),A BABABB= 且故由性质2和性质3得：性质6可以推广到多个事件的情形为任意三个事件，则有设321,AAA12312312231312

22、3()()()()()()()()P AAAP AP AP AP AAP A AP AAP AA A=例如可由归纳法证得一般地，对任意n个事件12,nA AA)()()()()(ABPAPABAPBAPBAP=3 . 0)(=BP6 . 0)(=BAP)( BAPAB例1 设 ， 为两事件，且设 ， 求解)()()()(ABPBPAPBAP=而)()()()(ABPAPBPBAP=所以3 . 03 . 06 . 0)(=BAP于是)()(21211)()()(1)(1)()(ABPABPABPBPAPBAPBAPBAP=)()(BAPABP=21)()(=BPAP例2 设证明证三、等可能概型（

23、古典概型）1试验的样本空间只含有有限个元素，即 12,nwww=2试验中每个基本事件发生的可能性相同，即 )()()(21nPPPwww=具有以上两个特点的随机试验称为等可能概型。由于它是概率论发展初期的主要研究对象，所以也称之为古典概型 111()()nniiiiiPPPnPwww=E设试验 是古典概型，由于基本事件两两互不相容因此nPi1=w), 2, 1(ni=从而个基本事件含有若事件kA21kiiiAwww=即1( )()jkijkAP APnw=包含的基本事件数中基本事件总数中某k个不同的数，是这里12,niii1, 2, n则有基本计数原理 1. 加法原理：加法原理：设完成一件事有

24、k种方式,其中第一种方式有n1种方法，第二种方式有n2种方法，,第k种方式有nk种方法，无论通过哪种方法都可以完成这件事,则完成这件事的方法总数为n1+n2+.+nk. 2. 乘法原理：乘法原理：设完成一件事有k个步骤,其中第一个步骤有n1种方法，第二个步骤有n2种方法，第个k步骤有nk种方法；完成该件事必须通过每一步骤才算完成，则完成这件事的方法总数为:n1*n2*.*nk)1).(1(=rnnnArn组合公式：= =nrnrrArrnnnrrnrn0, 2 , 1!1101rnCrnnrn= 时，显然，当为自然数。其中排列公式：THTHHHTT例3 将一枚硬币抛二次)(,111APA求面”

25、为“恰好有一次出现正）设事件（)(,222APA求面”为“至少有一次出现正）设事件（:,EHH HT TH TT=设随机试验 为 将一枚硬币抛两次 观察正反则样本空间为4n=中包含个元素，每个基本事件发生的可能性相同, 故此试验为等可能概型.（2）2TTA =因为43411)(1)(22=APAP于是解（1）1,2AHT THk=又中包含的基本事件数1()2/41/2P A=故例4 设袋中有只4白球和2只黑球，现从袋中无放回地依次摸出2只球（即第一次取一球不放回袋中，第二次再从剩余的球中再取一球，此种抽取方式称为无放回抽样）.试求 （1）取到的两只球都是白球的概率； （2）取到的两只球颜色相同

26、的概率； （3）取到的两只球中至少有一只是白球的概率 取到的两只球都是白球=A取到的两只球都是黑球=B一只是白球取到的两只球中至少有=CD = 取到的两只球颜色相同解 记BADBC=,显然(1)(AP求525634)(2624=AAAP1515612)(=BPAB = 由于，故由概率的有限可加性，所求概率是：15715152)()()()(=BPAPBAPDPBC =所以有15141511)(1)()(=BPBPCP因为（3）类似于（1），可求得（2）例5 将 个球随机地放入 个盒子中去，盒子的容量不限，试求（1）每个盒子至多有一只球的概率；（2） 个盒子中各有一球的概率 nN)(nN n解

27、将 个球放入 个盒子中去，每种放法是一个基本事件。显然这是古典概型问题。因每一个球都可以放入 个盒子中的任一个盒子，故共有种不同的方法 nNNnNNNN= 个盒子可以有 种不同的选法。对选定的 个 盒子，每个盒子各有一个球的放法有 种。由乘 法原理，共有 种放法，因此所求概率为 nnNn!nnNn!() !nnNnnNpNNNn=)1() 1(nNNN(1)(1)nNnnANNNnpNN=(1)每个盒子中至多只有一只球,共有 种不同的方法，因此所求的概率为 设每个人在一年设每个人在一年( (按按365365天计天计) )内每天出内每天出生的可能性都相同生的可能性都相同, ,现随机地选取现随机地

28、选取n(n365)n(n365)个人个人, ,则他们生日各不相同的概率为则他们生日各不相同的概率为 A A365365n n/365/365n n。于是于是, , n n个人中至少有两人生日相同的概率个人中至少有两人生日相同的概率为为 1- A1- A365365n n/365/365n n。 许多问题和上例有相同的数学模型。许多问题和上例有相同的数学模型。例如例如6(生日问题生日问题): 某人群有某人群有n个人，他们中至少有个人，他们中至少有两人生日相同的概率有多大？两人生日相同的概率有多大？( )1!/0.997nnNP ACnN= = 可解析为一个64人的班上，至少有两人在同一天过生日的

29、概率为99.7%若取n64，N=365四、几何概型古典概型是关于试验的结果为有限个,且每个结果出现的可能性相同的概率模型.一个直接的推广是：保留等可能性，而允许试验的所有可能结果为直线上的一线段、平面上的一区域或空间中的一立体等具有无限多个结果的情形，称具有这种性质的试验模型为几何概型若在一个面积为 的区域 中等可能地任意投点，这 里“等可能”的含义是：点落入 中任何区域 的可能性的大小与区域 的面积 成正比，而与其位置和形状无关()SAA)(AS由()()1PtS=知 1()tS=从而()()()SAPAS=几何概率 AA点落入区域=记事件为比例常数，其中tAtSAP)()(=则有第三节 条

30、件概率一、条件概率二、乘法公式三、全概率公式与贝叶斯公式一、条件概率一、条件概率1. 条件概率的概念条件概率的概念 在解决许多概率问题时，往往需要求在有某些附加信息在解决许多概率问题时，往往需要求在有某些附加信息(条件条件)下事件发生的概率。下事件发生的概率。通常记事件通常记事件B发生的条件下发生的条件下, 事件事件A发生的概率为发生的概率为P(A|B)。一般情况下，一般情况下，P(A|B) = or P(A) 。 P(A )=1/6，例例1：掷一颗均匀骰子，：掷一颗均匀骰子，A=掷出掷出2点点， B=掷出偶数点掷出偶数点，P(A|B)=？掷骰子掷骰子 已知事件已知事件B发生，发生，此时试验所

31、有可能结果构此时试验所有可能结果构成的集合就是成的集合就是B。 B中共有中共有3个元素，每个元素出现是等可能的，个元素，每个元素出现是等可能的，且其中只有且其中只有1个个(2点点)在集合在集合A中。中。于是，于是，P(A|B)= 1/3。P(A|B) P(A)P(A )=3/10， 又如：又如：10件产品中有件产品中有7件正品，件正品，3件次品件次品; 7件正品中有件正品中有3件件一等品一等品, 4件二等品。现从这件二等品。现从这10件中任取一件，记件中任取一件，记B=取到正品取到正品，A=取到一等品取到一等品，样本空间里有10种可能结果在事件在事件B发生的条件下，样本空间里缩减为发生的条件下

32、，样本空间里缩减为 种可能结果种可能结果 7则：事件则：事件A发生的概率：发生的概率： P(A|B )=3/7 本例中，计算本例中，计算P(A)时，依据前提条件是时，依据前提条件是10件产品中一等品件产品中一等品的比例。的比例。 计算计算P(A|B)时，这个前提条件未变，只是加上时，这个前提条件未变，只是加上“事件事件B已已发生发生”这个新的条件。这个新的条件。 这好象给了我们一个这好象给了我们一个“情报情报”，使我们得以在某个，使我们得以在某个缩小缩小了了的范围内来考虑问题。的范围内来考虑问题。在缩减后的样本空间中计算事件在缩减后的样本空间中计算事件A概率概率条件事件条件事件B发生发生样本空

33、间缩减样本空间缩减2. 条件概率的定义条件概率的定义根据概率的直观定义，在事件根据概率的直观定义，在事件B发生的条件下，事件发生的条件下，事件A发生，当且仅当实验的结果既属于发生，当且仅当实验的结果既属于A又属于又属于B，即，即AB。所以所以P(A|B)应为应为P(AB)在在P(B)中的中的“比重比重”则有如下定义则有如下定义1设设A、B是两个事件，且是两个事件，且P(B)0，则称，则称 )()()|(BPABPBAP=ABAB3. 条件概率的性质条件概率的性质设设B是一事件，且是一事件，且P(B)0,则则1. 对任一事件对任一事件A，0P(A|B)1; 2. P(|B)=1P(|B)=1；3

34、. 设设A1,An ,互不相容，则互不相容，则 P(A1+An +)| B = P(A1|B)+ +P(An|B)+而且，前面对概率所证明的一切性质，也都适用于条件概率。而且，前面对概率所证明的一切性质，也都适用于条件概率。例：对任意事件例：对任意事件A A1 1和和A A2 2 , ,有有 P(AP(A1 1AA2 2|B)=P(A|B)=P(A1 1|B)+P(A|B)+P(A2 2|B)- (A|B)- (A1 1A A2 2|B)|B) 2) 从加入条件后在缩减的样本空间中计算从加入条件后在缩减的样本空间中计算 4. 条件概率的计算条件概率的计算1) 用定义计算用定义计算:,)()()

35、|(BPABPBAP=P(B)0。 掷骰子掷骰子例：例：A=掷出掷出2点点， B=掷出偶数点掷出偶数点，P(A|B）=31B发生后的发生后的缩减样本空间缩减样本空间所含样本点总数所含样本点总数在缩减样本空间在缩减样本空间中中A所含样本点所含样本点个数个数例例1 ：掷两颗均匀骰子掷两颗均匀骰子, 已知第一颗掷出已知第一颗掷出6点点,问问“掷出点数掷出点数之和不小于之和不小于10”的概率是多少的概率是多少? 解法解法1: )()()|(BPABPBAP=解法解法2: 。2163)|(= = =BAP解解: 设设A=掷出点数之和不小于掷出点数之和不小于10， B=第一颗掷出第一颗掷出6点点。应用定义

36、应用定义在在B发生后的发生后的缩减样本空间缩减样本空间中计算中计算。21366363= = =例2 一袋中有10 个球，其中3个黑球，7个白球，依次从袋中不放回取两球（1）已知第一次取出的是黑球，求第二次取出的仍是黑球的概率；（2）已知第二次取出的是黑球，求第一次取出的也是黑球的概率解（1）可以在缩减的样本空间 A1上计算。因为A1已发生，即第一次取得的是黑球，第二次取球时，所有可取的球只有9只 A 中所含的基本事件数为9，其中黑球只剩下2个所以 92)(12=AAP次取到黑球第iAi=)2, 1(=i记（2）由于第二次取球发生在第一次取球之后，故 A2的结构并不直观因此，直接在 中用定义计算

37、P(A1 |A2)更方便些 因为15191023)(21=AAP103)(2=AP所以 92)()()(22121=APAAPAAP条件概率条件概率P(A|B)与与P(A)的区别的区别 每一个随机试验都是在一定条件下进行的，设每一个随机试验都是在一定条件下进行的，设A是随机试验是随机试验的一个事件，则的一个事件，则P(A)是在该试验条件下事件是在该试验条件下事件A发生的可能性发生的可能性大小。大小。-先验概率先验概率P(A)与与P(A |B)的区别在于两者发生的条件不同的区别在于两者发生的条件不同,它们是两个不同它们是两个不同的概念的概念,在数值上一般也不同。在数值上一般也不同。 而条件概率而

38、条件概率P(A|B)是在原条件下又添加是在原条件下又添加“B发生发生”这个条这个条件时件时A发生的可能性大小，即发生的可能性大小，即P(A|B)仍是概率。仍是概率。-后验概率后验概率二、乘法公式定理1 （乘法公式）由条件概率的定义：由条件概率的定义：即即 若若P(B)0, 则则 P(AB)=P(B)P(A|B) , (2),)()()|(BPABPBAP= =在已知在已知P(B), P(A|B)时时, 可反解出可反解出P(AB)。而而 P(AB)=P(BA)，将将A、B的位置对调，有的位置对调，有故故 P(A)0,则则P(AB)=P(A)P(B|A) 。 (3)若若 P(A)0, 则则P(BA

39、)=P(A)P(B|A) ， (2)和和(3)式都称为乘法公式式都称为乘法公式, 利用利用它们可计算两个事件同时发生的概率。它们可计算两个事件同时发生的概率。当当P(A1A2An-1)0时，有时，有P (A1A2An）=P(A1)P(A2|A1) P(An| A1A2An-1)。推广到多个事件的乘法公式推广到多个事件的乘法公式:例3 一袋中有a个白球和b个红球。现依次不放回地从袋中取两球.试求两次均取到白球的概率 .解11)(12=baaAAP次取到白球第iAi=)2, 1(=i记)(21AAP要求baaAP=)(1显然baabaaAPAAPAAP=11)()()(11221因此。故故，008

40、3.0989099910010)|()|()()()(,213121321321 = = = = =AAAPAAPAPAAAPAPAAAA例例4 4 一批灯泡共一批灯泡共100100只只, ,其中其中1010只是次品只是次品, ,其余为正其余为正品品, ,作不放回抽取作不放回抽取, ,每次取一只每次取一只, ,求求: :第三次才取到正第三次才取到正品的概率。品的概率。 解：解：设设A Ai i = =第第i i次取到正品次取到正品, i=1,2,3, i=1,2,3。 A=A=第三次才取到正品第三次才取到正品 。 则则: :先抽的人比后抽的人抽到球票的机会大吗？先抽的人比后抽的人抽到球票的机会

41、大吗？后抽的人比先抽的人吃亏吗？后抽的人比先抽的人吃亏吗？ 5张同样的卡片，只有一张上写有张同样的卡片，只有一张上写有“球票球票”，其余的什么也，其余的什么也没写没写. 将它们放在一起，洗匀，让将它们放在一起，洗匀，让5个人依次抽取。个人依次抽取。请回答：请回答： 一场精彩的足球赛将要举行一场精彩的足球赛将要举行, 但但5个球迷只搞到一张球票，但大个球迷只搞到一张球票，但大家都想去。没办法，只好用抽签的方法来确定球票的归属。家都想去。没办法，只好用抽签的方法来确定球票的归属。球票球票显然，显然，P(A1)=1/5，P( )4/5，1A第第1个人抽到入场券的概率是个人抽到入场券的概率是1/5。也

42、就是说，也就是说， 我们用我们用Ai表示表示“第第i个人抽到入场券个人抽到入场券”， i1,2,3,4,5。iA 则则 表示表示“第第i个人未抽到入场券个人未抽到入场券”，也就是要想第也就是要想第2个人抽到入场券，必须第个人抽到入场券，必须第1个人未个人未抽到，抽到，计算得：计算得： P(A2)= (4/5)(1/4)= 1/5。因为若第因为若第2个人抽到个人抽到入场券时，第入场券时，第1个人个人肯定没抽到。肯定没抽到。),|()()(1212AAPAPAP= =,212AAA = =由于由于由乘法公式，由乘法公式， 得得 这就是有关抽签顺序问题的正确解答这就是有关抽签顺序问题的正确解答 继续

43、做下去就会发现继续做下去就会发现, 每个人抽到每个人抽到“入场券入场券” 的的概率都是概率都是1/5。抽签不必争先恐后。抽签不必争先恐后。)|()|()()()(2131213213AAAPAAPAPAAAPAP= 同理，第同理，第3个人要抽到个人要抽到“入场券入场券”，必须第，必须第1、第、第2个人都没有抽到。因此，个人都没有抽到。因此，=(4/5)(3/4)(1/3)=1/5，三、全概率公式与贝叶斯公式下面用概率的有限可加性及条件概率的定义和乘法定理建立两个计算概率的公式先引入一个例子 例5 某工厂的两个车间生产同型号的家用电器。据以往经验，第1车间的次品率为0.15，第2车间的次品率为0

44、.12两个车间生产的成品混合堆放在一个仓库里且无区分标志，假设第1、2车间生产的成品比例为2:3(1)在仓库中随机地取一件成品,求它是次品的概率;(2)在仓库中随机地取一只成品，若已知取到的是次品,问该此次品分别是由第1,2车间生产的概率为多少？21ABABA=12()()ABAB=从而于是132. 05312. 05215. 0)()()()()()()()(22112121=BPBAPBPBAPABPABPABABPAP解(1)一台是次品从仓库中随机地取出的=A车间生产的提出的一台是第 iBi=)2, 1( =i记12BB=12B B =因为（2）问题归结为计算 和 )(1ABP)(2AB

45、P由条件概率的定义及乘法公式，有4545. 0132. 05215. 0)()()()()()(1111=APBPBAPAPABPABP5455. 0132. 05312. 0)()()()()()(2222=APBPBAPAPABPABP定义2一组事件，若的为的样本空间为试验设EBBBEn,21(i), ,1,2,ijBBij i jn=12(ii)nBBB=完备事件组的一个划分为样本空间则称EBBBn,21定理2（全概率公式）称满足上述条件的称满足上述条件的A1,A2,An为为完备事件组完备事件组。 = = =niiiABPAPBP1)()()( 设设S为随机试验的样本空间，为随机试验的样

46、本空间，A1,A2,An是两两是两两互斥的事件，且有互斥的事件，且有P(Ai)0，i =1,2,n, ,1=niiA则对任一事件则对任一事件B，有，有=niiBAP1)(在较复杂情况下，直接计算在较复杂情况下，直接计算P(B)不容易不容易, 但总可以但总可以适当地构造一组两两互斥的适当地构造一组两两互斥的Ai ，使使B伴随着某个伴随着某个Ai的出现而出现，且每个的出现而出现，且每个 容易计算。可用所有容易计算。可用所有 之和计算之和计算P(B)。由上式不难看出由上式不难看出:“全部全部”概率概率P(B)可分成许多可分成许多“部分部分”概率概率 之和。之和。它的理论和实用意义在于它的理论和实用意

47、义在于:)(BAPi)(BAPi 某一事件某一事件B的发生有各种可能的原因的发生有各种可能的原因Ai (i=1,2,n)，如果，如果B是由原因是由原因Ai所引起，则所引起，则B发生发生的概率是的概率是 每一原因都可能导致每一原因都可能导致B发生，故发生，故B发发生的概率是各原因引起生的概率是各原因引起B发生概率的总和，发生概率的总和，即即全概率公式全概率公式。P(BAi)=P(Ai)P(B |Ai)我们还可以从另一个角度去理解我们还可以从另一个角度去理解全概率公式全概率公式Ai是原因是原因B是结果是结果 由此可以形象地把全概率公式看成是由此可以形象地把全概率公式看成是“由原因推结果由原因推结果

48、”，每个原因对结果的发生有，每个原因对结果的发生有一定的一定的“作用作用”，即结果发生的可能性与各种，即结果发生的可能性与各种原因的原因的“作用作用”大小有关。全概率公式表达了大小有关。全概率公式表达了因果之间的关系因果之间的关系 。A1A2A3A4A5A6A7A8B 由全概率公式，由全概率公式， 得得 P(B)=P(A1)P(B |A1)+ P(A2)P(B|A2) + P(A3)P(B |A3)则则 B=A1B+A2B+A3B，依题意，依题意，P(B|A1)=0.2, P(B|A2)=0.6, P(B|A3)=1。 例例 6: 甲、乙、丙三人同时对飞机进行射击甲、乙、丙三人同时对飞机进行射

49、击, 三人击三人击中的概率分别为中的概率分别为0.4、0.5、0.7。飞。飞 机被一人击中而击机被一人击中而击落的概率为落的概率为0.2, 被两人击中而击落的概率为被两人击中而击落的概率为0.6, 若三若三人都击中人都击中, 飞机必定被击落飞机必定被击落, 求飞机被击落的概率。求飞机被击落的概率。 设设B=飞机被击落飞机被击落， Ai=飞机被飞机被i人击中人击中, i=1,2,3。可求得可求得 为求为求P(Ai ) , 设设 Hi=飞机被第飞机被第i人击中人击中, i=1,2,3。 ),()(3213213211HHHHHHHHHPAP = =),()(3213213212HHHHHHHHHP

50、AP = =。)()(3213HHHPAP= =将数据代入计算，得将数据代入计算，得P(A1)=0.36; P(A2)=0.41; P(A3)=0.14。=0.458，即飞机被击落的概率为即飞机被击落的概率为0.458。于是于是 ， P(B)=P(A1)P(B |A1)+ P(A2)P(B|A2) +P(A3)P(B |A3) =0.360.2+0.41 0.6+0.14 1 这一类问题在实际中更为常见，它所求的是条件这一类问题在实际中更为常见，它所求的是条件概率，是已知某结果发生条件下，求各原因发生概率，是已知某结果发生条件下，求各原因发生可能性大小。可能性大小。该球取自哪号箱的可能性该球取

51、自哪号箱的可能性大些大些?实际中还有下面一类问题实际中还有下面一类问题已知结果求原因已知结果求原因 某人从任一箱中任意摸出某人从任一箱中任意摸出一球一球,发现是红球发现是红球, 求该球是取求该球是取自自1号箱的概率号箱的概率。或者问或者问:123123接下来我们介绍解决这类问题的接下来我们介绍解决这类问题的贝叶斯公式贝叶斯公式 有三个箱子，编号分别为有三个箱子，编号分别为1,2,3，1号箱装有号箱装有1个红个红球球4个白球，个白球，2号箱装有号箱装有2红球红球3白球，白球，3号箱装有号箱装有3红红球球.。某人从三箱中任取一箱，从中任意摸出一球，。某人从三箱中任取一箱，从中任意摸出一球，发现是红

52、球发现是红球,求该球是取自求该球是取自1号箱的概率号箱的概率 。?123)()()|(11BPBAPBAP=求求P(A1|B)。=3111kkkABPAPABPAP)()()|()(运用全概率公式运用全概率公式计算计算P(B)将这里得到的公式一般化，就得到将这里得到的公式一般化，就得到贝叶斯公式贝叶斯公式某人从任一箱中任意摸出某人从任一箱中任意摸出一球，一球，发现是红球，求该球是发现是红球，求该球是取自取自1号箱的概率号箱的概率。 记记 Ai=球取自球取自i号箱号箱, i=1,2,3; B =取得红球取得红球。?123=njjjiiiABPAPABPAPBAP1)()()()()|(贝叶斯公式

53、：贝叶斯公式： 设设A1,A2,An是两两互斥的事件，且是两两互斥的事件，且P(Ai)0，i=1,2,n, 另有一事件另有一事件B，它总是与，它总是与A1,A2,An 之一之一同时发生，则同时发生，则 。ni, 2 , 1= =与与全概率公式全概率公式刚好相反，刚好相反，贝叶斯公式贝叶斯公式主要用于当观主要用于当观察到一个事件已经发生时，去求导致所观察到的事察到一个事件已经发生时，去求导致所观察到的事件发生的各种原因、情况或途径的可能性大小件发生的各种原因、情况或途径的可能性大小 贝叶斯公式在实际中有很多应用，它可以帮助贝叶斯公式在实际中有很多应用，它可以帮助人们确定某结果（事件人们确定某结果

54、（事件 B）发生的最可能原因）发生的最可能原因.例例 7: 某一地区患有癌症的人占某一地区患有癌症的人占0.005，患者对一种，患者对一种试验反应是阳性的概率为试验反应是阳性的概率为0.95，正常人对这种试验，正常人对这种试验反应是阳性的概率为反应是阳性的概率为0.04，现抽查了一个人，试验，现抽查了一个人，试验反应是阳性，问此人是癌症患者的概率有多大反应是阳性，问此人是癌症患者的概率有多大?则则 表示表示“抽查的人不患癌症抽查的人不患癌症”. C求解如下求解如下:设设 C=抽查的人患有癌症抽查的人患有癌症， A=试验结果是阳性试验结果是阳性，求求P(C|A)。已知已知: P(C)=0.005

55、, P(A|C)=0.95, 现在来分析一下结果的意义现在来分析一下结果的意义2. 检出阳性是否一定患有癌症检出阳性是否一定患有癌症? 1. 这种试验对于诊断一个人是否患有癌症这种试验对于诊断一个人是否患有癌症 有无意义？有无意义？由由贝叶斯公式贝叶斯公式，得，得 )|()()|()()|()()|(CAPCPCAPCPCAPCPACP=代入数据，代入数据， 计算得计算得 P(CA)= 0.1066。 如果不做试验如果不做试验, 抽查一人抽查一人, 他是患者的概率他是患者的概率 P(C)=0.005 。 患者阳性反应的概率是患者阳性反应的概率是0.95，若试验后得阳性反应，若试验后得阳性反应，

56、则根据试验得来的信息，此人是患者的概率为则根据试验得来的信息，此人是患者的概率为 P(CA)= 0.1066 。 说明这种试验对于诊断一个人是否患有癌症有意义。说明这种试验对于诊断一个人是否患有癌症有意义。从从0.005增加到增加到0.1066, 将近增加约将近增加约21倍。倍。1. 这种试验对于诊断一个人是否患有癌症这种试验对于诊断一个人是否患有癌症 有无意义？有无意义？2. 检出阳性是否一定患有癌症检出阳性是否一定患有癌症? 试验结果为阳性试验结果为阳性,此人确患癌症的概率为此人确患癌症的概率为 P(CA)=0.1066。 即使你检出阳性，尚可不必过早下结论你有癌症，即使你检出阳性，尚可不

57、必过早下结论你有癌症，这种可能性只有这种可能性只有10.66% (平均来说，平均来说，1000个人中大个人中大约只有约只有107人确患癌症人确患癌症)，此时医生常要通过再试验，此时医生常要通过再试验来确认。来确认。在贝叶斯公式中，在贝叶斯公式中，P(Ai)和和P(Ai |B)分别称为分别称为原因的原因的先验概率先验概率和和后验概率后验概率。P(Ai)(i=1,2,n)是在没有进一步信息是在没有进一步信息(不知道事件不知道事件B是否发生是否发生)的情况下的情况下, 人们对诸事件发生可能性人们对诸事件发生可能性大小的认识。大小的认识。 当有了新的信息当有了新的信息(知道知道B发生发生), 人们对诸

58、事件发生可人们对诸事件发生可能性大小能性大小P(Ai | B)有了新的估计。有了新的估计。=njiiiiiABPAPABPAPBAP1)()()()()|(贝叶斯公式贝叶斯公式例7 假设在某时期内影响股票价格变化的因素只有银行存款利率的变化经分析，该时期内利率下调的概率为60，利率不变的概率为40 根据经验，在利率下调时某支股票上涨的概率为80，在利率不变时，这支股票上涨的概率为40求这支股票上涨的概率解=21BB =21BB故由全概率公式 %64%40%40%60%80)()()()()(2211=BPBAPBPBAPAP发生的原因，且是导致，表示“该支股票上涨”这两个事件和“利率不变”分别

59、表示“利率下调”设ABBABB2121,例例8 8 8支步枪中有5支已校准过,3支未校准。一名射手用校准过的枪射击时,中靶的概率为0.8;用未校准的枪射击时,中靶的概率为0.3。现从8支枪中任取一支用于射击,结果中靶。 求:所用的枪是校准过的概率。 设A=射击时中靶,B1=使用的枪校准过, B2=使用的枪未校准,则B1,B2是一个划分,由贝叶斯公式)()|()()|()()|()|(2211111BPBAPBPBAPBPBAPABP=4940833 . 0858 . 0858 . 0=第四节 独立性 主观概率一、独立性 二、主观概率 显然显然 P(A|B)=P(A)。 这就是说：这就是说：已知

60、事件已知事件B发生，并不影响事发生，并不影响事件件A发生的概率，这时称事件发生的概率，这时称事件A、B独立。独立。一、两事件的独立性一、两事件的独立性A=第二次掷出第二次掷出6点点， B=第一次掷出第一次掷出6点点，先看一个例子：先看一个例子：将一颗均匀骰子连掷两次，将一颗均匀骰子连掷两次，设设 由乘法公式知，由乘法公式知，当事件当事件A、B独立时，有独立时，有 P(AB)=P(B)P(A|B)P(AB)=P(A) P(B)。若两事件若两事件A、B满足满足 P(AB)= P(A) P(B) (1)则称则称A、B独立，或称独立，或称A、B相互独立相互独立。两事件独立的定义两事件独立的定义 用用P