空间向量建系

1、zxyO规定：(1),Ox Oy Oz互直线相垂直；(2),.OxOyOz轴轴轴具有相同的单位长度“右手系”(1)右手大拇指所指方向表示Ox轴的正方向；Oy轴的正方向；Oz轴的正方向.空间直角坐标系空间直角坐标系ABCD1A1B1C1D右右手手食食指指所所指指方方向向表表示示)(2右右手手中中指指所所指指方方向向表表示示)(3CBGFEHADzxyO243D(2,4,3)A(2,0,3)B(0,0,3)空间点的坐标空间点的坐标空间向量的基本公式空间向量的基本公式),(),(222111zyxbzyxa设设2121211zyxa |:|)( 向向量量的的长长度度公公式式2121212zzyyxx

2、baba cos|:)( 向向量量的的数数量量积积坐坐标标公公式式2222222121212121213zyxzyxzzyyxxbaba|cos:)( 向向量量的的夹夹角角公公式式2121214zzyyxxbaba /:)( 向向量量平平行行的的充充要要条条件件05baba:)( 向向量量垂垂直直的的充充要要条条件件1P111( , )x y z2P222(,)x y z1 2|PP221212()()xxyy212()zz(3,1,2), (4, 2, 2), (0,5,1).xoyABCD 例1：在平面内，求与三点等距离的点的坐标解：D设点 的坐标为 ( , ,0)x y| | |ADBD

3、CD222(3)(1)(02)xy222(4)(2)(02)xy222(3)(1)(02)xy222(0)(5)(0 1)xyxy3852153821(,0)55D 空间两点的距离公式空间两点的距离公式),(12121221zzyyxxPP32-2 0 4),( 2,1,2),2,| 4,OAOBOCOA OCOBBOC 例2：已知（ ，则的大小.1226231223OCOBOCOBOCOAOCOBOA)(3OCOB41343|cosOCOBOCOBBOC41arccos BOC,.PABCDABCDABaADb APc EPCCE 例3：四棱锥的底面为平行四边形，为中点，求向量PABCDEC

4、PCE21)(ACAP 21)(ADABc2121bac212121DABC1A1B1C1DBDcCDbBDaADDCBAABCD111111111求求中中，设设例例：平平行行六六面面体体,DDbDDBDBD11111CBcCBCDBD11ABaABADBD11ABCBDDcbaBD113ABDADDcba1BDcba1)(cbaBD211E1B1D1C1A1F1BDEAFCG11111 11,1,2.ABCDEFABC DE F ABAA练习1:已知正六棱柱试建立空间直角坐标系，并求出各顶点的坐标zxyOA ( 3,0,0)1231A( 3,0,2)B1B( 3,1,0)( 3,1,2)KC

5、1C3 3(,0)223 3(,2)22D1D(0,1,0)(0,1,2)E1E(0,0,0)(0,0,2)HF1F31(,0)2233(,2)221111111290 ,/.ABCABCACBLACMABNBCLNMB练习 ：已知直三棱柱中，是的中点，是的中点， 是的中点，求证：MNLB1C1A1BCAzxyO解：如图，建立空间直角坐标系.12 ,2 ,ACm CBn CCh设N(0, ,0)nB(0,2 ,0)nL( ,0, )mhM ( , , )m n hLN ( , )mn hMB( , )mn hLN MB/LNMB LNMB且与显然不重合/LNMB3 12,(,0),2290 ,

6、30 .(1)(2).BCOBCADyozBDCDCBCDADBC 例：如图，是的中点，点 的坐标为点 在平面上，且求向量的坐标； 求向量与的夹角的大小xOyzBCDA),(),()(0100101BC),(),(2323023210CDD),(),()(020231232BCAD5102252|cosBCADBCADBCAD 则则，的的夹夹角角为为与与设设510arccos 的的夹夹角角为为与与BCAD11111,.ABCABCa DBCADAB例：正三棱柱中，各棱长都为是中点，求异面直线和的所成角ABC1A1B1CD为为原原点点，建建系系如如图图：中中点点以以DBCxyz),(),(),(

7、),(aaBaAaaAD02023023000011),(),(aaaABaaDA232230112814111111|cosABDAABDAABDA 则则，的的夹夹角角为为与与设设281411arccos的的夹夹角角为为与与异异面面直直线线ABDA1111111,.(1)(2).ABCDABC DE FBB CDD FADEEFCB例：正方体中，分别是的中点求证：平面；求异面直线与的所成角1A1B1C1DABCDEF建建系系如如图图：不不妨妨设设棱棱长长为为 , 1xyz),(),(),(),(),(211100000102101001EDAFD),(),(),(211000112101AE

8、ADFDAEFDADFDAEFDADFD11110,ADEFD平平面面1),(),(1110101BC),(),(212111011EFCB111cos|CBEFCBEFCBEF 设与的夹角为 ，则Exyz1B1C1A1DABCD11111111(0,0,0),(3,0,0),(0,3,0),(0,0,6).(1)(2),/ /.ABCDABC DABDAEACECEM NAA ABMNDC例：长方体中， 若点 在直线上，且 是靠 的三等分点，求点 的坐标； 若点分别是棱的中点，求证：:由题意，如图建系(3,3,0),CECEAA260011),(), ,(),(222210262132021

9、320EE即即MN),(),(),(63000233001DNM),(),(60330231CDMNCDMNCDMN1121/11111320,15,70,| 1.ACABADAAP QBDPQ BPQPDPCQ、在长方体中，.如图两动点在线段上运动，点 在之间，且保持问动点 运动到什么位置时，异面直线与互相垂直CDBC1D1A1B1APQ解： 如图，建立空间直角坐标系.zxyOC (0,20, 70) D (0,0, 70)xoyD1C1A1B1QPE1DQx设x11DPxQ3,5x4,5x0P3(1),5x4(1),5x0DP 3(1),5x4(1),5x70CQ 3,5x420,5x700DP CQ 215540 xxx69或1DP710或111111422 6.3ABCABCAGABCABBC、已知斜三棱柱中，底面是边长为 的正三角形， 在底面上的射影 是的重心，高为，求与所成角的大小A1C