力5刚体的定轴转动(2012)

1、1（Rotation of Rigid Body about a Fixed Axis） 第五章第五章 刚体定轴转动刚体定轴转动5.1 刚体的运动刚体的运动5.2 刚体的定轴转动定律刚体的定轴转动定律5.3 转动惯量的计算转动惯量的计算 5.4 转动定律应用举例转动定律应用举例5.5 定轴转动中的功能关系定轴转动中的功能关系5.6 刚体定轴转动的角动量守恒定律刚体定轴转动的角动量守恒定律5.7 旋进旋进2CA B F由于弹性，力在连续体内传播需要一定时间：由于弹性，力在连续体内传播需要一定时间：5.1 刚体的运动刚体的运动一一. 刚体刚体（rigid body）的概念的概念t t + t 才才

2、感受到力感受到力固体中弹性波的速度固体中弹性波的速度k v（k劲度）劲度）若若 v ，则，则 k ，此时物体有无限的刚性，此时物体有无限的刚性，它受作用力不会变形，因而可以瞬时传递力。它受作用力不会变形，因而可以瞬时传递力。我们把这种不能变形的物体称为我们把这种不能变形的物体称为刚体。刚体。3 显然，刚体是个理想化的模型，但是它有显然，刚体是个理想化的模型，但是它有实际的意义。实际的意义。而且考虑到刚体的特点，规律的表示还可较一而且考虑到刚体的特点，规律的表示还可较一刚体是特殊的质点系，刚体是特殊的质点系，其上各质点间的相对其上各质点间的相对位置保持不变。位置保持不变。 质点系的规律都可用于刚

3、体，质点系的规律都可用于刚体，般的般的质点质点系有所简化。系有所简化。通常通常v固体固体 103m/s，所以只要我们讨论的运动所以只要我们讨论的运动过程的速度比此慢得多，过程的速度比此慢得多，就可把固体视为刚体。就可把固体视为刚体。4的直线在运动各个时刻的位置都彼此平行。的直线在运动各个时刻的位置都彼此平行。二二 . 刚体的运动形式刚体的运动形式1.平动平动（translation）：）： 刚体做平动时，可用质心或其上任何一刚体做平动时，可用质心或其上任何一平动是刚体的基本运动形式之一。平动是刚体的基本运动形式之一。 2.转动转动（rotation）：）： 转动也是刚体的基本运动形式之一，转动

4、也是刚体的基本运动形式之一，它又可分为它又可分为定轴转动定轴转动和和定点转动。定点转动。连接刚体内任意两点连接刚体内任意两点点的运动来代表整体的运动。点的运动来代表整体的运动。5 定轴转动：定轴转动：且各圆心都在同一条固定的直线（转轴）上。且各圆心都在同一条固定的直线（转轴）上。 定点转动：定点转动：整个刚体绕过该定点的某一瞬时轴线转动。整个刚体绕过该定点的某一瞬时轴线转动。 3.平面运动：平面运动： 刚体上各点的运动都平行于某一刚体上各点的运动都平行于某一4.一般运动：一般运动： 刚体不受任何限制的的任意运动。刚体不受任何限制的的任意运动。它可分解为以下两种刚体的基本运动它可分解为以下两种刚

5、体的基本运动： 随随基点基点O（可任选）的（可任选）的平动平动 绕通过基点绕通过基点O的瞬时轴的的瞬时轴的定点转动定点转动运动中各质元均做圆周运动，运动中各质元均做圆周运动，运动中刚体上只有一点固定不动，运动中刚体上只有一点固定不动，固定平面的运动。固定平面的运动。6O O OO 转动与基点的选取无关。转动与基点的选取无关。两种分解，基点选取不同，两种分解，基点选取不同，例如：例如：平动可以不同，平动可以不同， 动力学中，常选动力学中，常选质心质心为基点。为基点。三三 . 刚体转动的描述（运动学问题）刚体转动的描述（运动学问题）1.定点转动定点转动（rotation about a fixed

6、 point）（1）角量的描述）角量的描述 为反映为反映瞬时轴瞬时轴的方向及刚体转动的快慢的方向及刚体转动的快慢和转向，引入和转向，引入角速度矢量角速度矢量 。 转动却相同，转动却相同，或或7tdd 与转向成右螺旋关系。与转向成右螺旋关系。变化情况，引入变化情况，引入角加速度矢量角加速度矢量 。 tdd （不一定沿着瞬时轴）（不一定沿着瞬时轴） 基点基点OP瞬时轴瞬时轴刚体刚体 dv 的方向的方向沿瞬时轴，沿瞬时轴，为反映刚体角速度的为反映刚体角速度的8（2）线量和角量的关系）线量和角量的关系vrrP 基点基点O瞬时轴瞬时轴刚体刚体rr vtrrttadddddd vv r旋转加速度旋转加速度

7、 向轴加速度向轴加速度 2.定轴转动定轴转动（rotation about a fixed axis）转轴固定，转轴固定，。 和和 和和 退化为退化为代数量代数量9 O刚体刚体vPrr定轴定轴参考方向参考方向z , rv2 ran rtrtat vdddd )(2 21 )( 02022000 ttt.const 若若10例例1：一条绳索绕过一定滑轮拉动一升降机，：一条绳索绕过一定滑轮拉动一升降机，滑轮半径滑轮半径r=0.5m，如果升降机从静止开始以加，如果升降机从静止开始以加速度速度a=0.4m/s2匀加速上升，求：匀加速上升，求：1）滑轮的角加速度。）滑轮的角加速度。2）开始上升后，）开始

8、上升后，t=5s末滑轮的角速度。末滑轮的角速度。3）在这）在这5s内滑轮转过的圈数。内滑轮转过的圈数。4）开始上升后，）开始上升后，t1=1s末滑轮边缘上一点的加末滑轮边缘上一点的加速度（假设绳索和滑轮之间不打滑）速度（假设绳索和滑轮之间不打滑） 。115.2 刚体的定轴转动定律刚体的定轴转动定律 把刚体看作无限多质元构成的质点系。把刚体看作无限多质元构成的质点系。)(dd点点对对外外 OtLM )(2iiirm)(dd轴轴对对外外 ztLMzz iiiiiizzrmLLv iiizrmJ2令令转动惯量转动惯量（对（对z轴）轴）（rotational inertia）vi刚体刚体 O, , r

9、i定轴定轴zmiriFi12vi刚体刚体 O, ,ri定轴定轴zFiimiri zzJL则则tJtLMzzzdddd 外外 zzJM 外外即即转动定律转动定律其中其中 iiiizrFM sin外外定轴情况下，可不写下标定轴情况下，可不写下标 z ，记作：，记作： JM 与牛顿第二定律相比，有：与牛顿第二定律相比，有：M 相应相应F ，J 相应相应 m ， 相应相应 a 。13例例2：一半径为：一半径为R、质量为、质量为m的匀质圆盘，以的匀质圆盘，以角速度角速度 绕其中心轴旋转，现将它放在一水平绕其中心轴旋转，现将它放在一水平板上，盘与板表面的摩擦系数为板上，盘与板表面的摩擦系数为 。求经过。求

10、经过多长时间后，圆盘转动才能停止？多长时间后，圆盘转动才能停止？145.3 转动惯量的计算转动惯量的计算 2iirmJ质质点点系系 mmrJd2连连续续体体dmrm转轴转轴 J 由质量对轴的分布决定。由质量对轴的分布决定。一一. 常用的几种转动惯量表示式常用的几种转动惯量表示式 RmO细圆环：细圆环：2mRJO 15RmC均匀圆盘：均匀圆盘：221mRJC CAm2l2l均匀细杆：均匀细杆：2121mlJC 231mlJA 二二.计算转动惯量的几条规律计算转动惯量的几条规律1.对同一轴对同一轴J具有可叠加性具有可叠加性 iJJ16 2.平行轴定理平行轴定理JCdmJC平行平行2mdJJC mi

11、nJJC 3.对薄平板刚体的正交轴定理对薄平板刚体的正交轴定理 ri mi x z yi y xiO 2iizrmJ 22iiiiymxmyxzJJJ 即即17平行轴定理：平行轴定理：JD=JC+md2证明：证明：过质元作一平面与平行轴过质元作一平面与平行轴垂直，此面与轴的交点分垂直，此面与轴的交点分别为别为C和和D。C在通过质心的轴上。在通过质心的轴上。 diididiiiiRrdrRrRrrrr 2222222dmrmrmJiiiiiiiiD diiiRrm 2C miRdririDx iiiiiiiixmddmrm22222CCdmxmdJ 2mdJC 18 例例3 求求对薄圆盘的一条直

12、径的转动惯对薄圆盘的一条直径的转动惯量，量，已知已知圆盘圆盘。 221mRJz yx z 圆盘圆盘 R C m 解：解：221mRJJJzyx 241mRJJyx 思考思考下图中的下图中的 Jz 如何求？如何求？zlDmCaazm195.4 转动定律应用举例转动定律应用举例定轴定轴 ORthmv0= 0绳绳(不可不可 伸长伸长)例例4：已知：已知：R = 0.2m，m =1kg， vo= 0，h =1.5m，绳轮间无相对滑动，绳轮间无相对滑动，下落时间下落时间t =3s。求：求：轮对轮对 O 轴轴 J =？ 解：解：动力学关系：动力学关系：对轮：对轮： JRTT = TmgmaRGTN对对m：

13、maTmg 运动学关系：运动学关系：Ra (3)221ath (4)(1)(2)20(1)(4)联立解得：联立解得：22)12(mRhgtJ 分析结果：分析结果： 单位对；单位对； h、m 一定，一定，J t， 若若J = 0，得，得 ，221gth 代入数据：代入数据：2mkg14. 1 正确。正确。合理；合理；222 . 01)15 . 1238 . 9( J此为一种用实验测转动惯量的方法。此为一种用实验测转动惯量的方法。21例例5：一根长：一根长l，质量为，质量为m的均匀细直棒，其一的均匀细直棒，其一端有一固定的光滑水平轴，因而可以在竖直平端有一固定的光滑水平轴，因而可以在竖直平面内转动

14、，最初棒静止在水平位置，求它由此面内转动，最初棒静止在水平位置，求它由此下摆下摆 角时的角加速度和角速度？角时的角加速度和角速度？ 225.5 定轴转动中的功能关系定轴转动中的功能关系一一.力矩的功力矩的功 力矩的空间积累效应：力矩的空间积累效应：)d(cosd rFW d)cos( rF dM 力矩的功：力矩的功： 21 dMW d zx 轴轴rF 23二二. 定轴转动动能定理定轴转动动能定理 21d MW 21ddd tJ 21d J21222121 JJ 221 JEk 令令转动动能：转动动能：）（可可证证： 222121iimJv 刚体定轴转刚体定轴转动动能定理：动动能定理：12kkE

15、EW ）（ kE （飞轮储能）（飞轮储能）24三三. 刚体的重力势能刚体的重力势能 iipghmEmhmmgii Cmgh 四四. 应用举例应用举例 对于包括刚体的系统，功能原理和机械能对于包括刚体的系统，功能原理和机械能ChChiEp= 0mi守恒定律仍成立。守恒定律仍成立。25例例6：利用功能关系重解例：利用功能关系重解例4。求定滑轮的转动。求定滑轮的转动惯量。惯量。定轴定轴 ORhmv0= 0绳绳(不可不可 伸长伸长)26例例7已知：已知：如图示，如图示，4/ lAO 。轴轴OCABl , ml /4求：求： 杆下摆到杆下摆到 角时，角时，解：解：（杆（杆+地球）系统，地球）系统，0si

16、n4212 lmgJO (1)222487)4(121mllmmlJO (2)(1)、(2)解得：解得：lg7sin62 只有重力作功，只有重力作功，E守恒。守恒。? 角速度角速度? N轴对杆作用力轴对杆作用力均匀直杆质量为均匀直杆质量为m，长为，长为l，初始水平静止。初始水平静止。轴光滑，轴光滑，27 应用质心运动应用质心运动定理求轴力：定理求轴力：CamgmN CllmaNmgl sin ： (3)CttmaNmgt cos ： (4)24 laCl sin76g (5)OlCtJmglla cos444 7cos3 g (6)BCOAl , mNlNtNmgaCtaCllt 28 由由(

17、3)(4)(5)(6)解得：解得：,sin713 mgNl cos74mgNt tlemgemgN cos74sin71316sin15372 mgN)ctg134(tg|tg11 ltNNCOABl , mNlNtNlt295.6 刚体定轴转动的角动量定理刚体定轴转动的角动量定理 和角动量守恒定律和角动量守恒定律讨论讨论力矩对时间的积累效应。力矩对时间的积累效应。质点系：质点系：对点：对点：，外外 tLMdd 1221dLLtMtt 外外对轴：对轴：zttzzLLtM1221d 外外刚体：刚体： zzJL 1221d zzttzJJtM 外外刚体定轴转动的角动量定理刚体定轴转动的角动量定理3

18、0.const0 zzJM ，则，则外外 正、负不变正、负不变大小不变大小不变刚体定轴转动的角动量守恒定律：刚体定轴转动的角动量守恒定律：对刚体系，对刚体系， M外外z = 0 时，时， ，.const iizJ 此时角动量可在系统内部各刚体间传递，此时角动量可在系统内部各刚体间传递，而却保持刚体系对转轴的总角动量不变。而却保持刚体系对转轴的总角动量不变。31滑冰运动员的旋转滑冰运动员的旋转猫的下落（猫的下落（A）猫的下落（猫的下落（B）32例例8：一根长：一根长l，质量为，质量为M的均匀直棒，其一端的均匀直棒，其一端挂在一个水平光滑轴上而静止在竖直位置。挂在一个水平光滑轴上而静止在竖直位置。

19、今有一子弹，质量为今有一子弹，质量为m，以水平速度，以水平速度v0射入棒射入棒的下端而不复出。求棒和子弹开始运动时的的下端而不复出。求棒和子弹开始运动时的角速度。角速度。v0思考：木棒和子弹系统总动量是否守恒？思考：木棒和子弹系统总动量是否守恒？33例例9：一根长为：一根长为l，质量为，质量为m的均匀直棒静止在的均匀直棒静止在一光滑水平面上。它的中点有一竖直光滑固定一光滑水平面上。它的中点有一竖直光滑固定轴，一个质量为轴，一个质量为m的小球以水平速度的小球以水平速度v0垂直于垂直于棒冲击其一端发生弹性碰撞。求碰撞后球的速棒冲击其一端发生弹性碰撞。求碰撞后球的速度度v和棒的角速度和棒的角速度 。

20、v034m (黏土块黏土块) yxhPOM光滑轴光滑轴均质圆盘均质圆盘（水平）（水平）R例例10 如图示，如图示，已知：已知：h，R，M=2m， =60 求：求：碰撞后的瞬刻盘碰撞后的瞬刻盘？ 0 P转到转到 x 轴时盘轴时盘 ?, 解：解： m下落：下落：221vmmgh gh2 v(1) mPhv 对对（m +盘）系统，盘）系统，碰撞中重力对碰撞中重力对O 轴力矩轴力矩可忽略，可忽略，系统角动量守恒：系统角动量守恒：0cos JRm v(2) 35222221mRmRMRJ (3) 对对（m + M +地球）系统，地球）系统，mmgOMR , 令令P、x 重合时重合时 EP = 0，则：，

21、则：2202121sin JJmgR (5)由由(3)(4)(5)得：得：由由(1)(2)(3)得：得： cos220Rgh (4) sincos222RgRgh RgmRmgRJM222 )34(2.21RhgR )60( 只有重力作功，只有重力作功，E守恒。守恒。36旋进：旋进：高速旋转的物体，其自转轴绕另一个高速旋转的物体，其自转轴绕另一个 轴转动的现象。轴转动的现象。 p2 p1m2m1 r2m1 r1 L2 L1 L Oz轴上轴上O点的点的 不平行于不平行于 。L 若质量对转轴分布对称，则：若质量对转轴分布对称，则：轴轴 L zzJkLL （对对轴轴）（对对点点） 下面我们就讨论这种

22、下面我们就讨论这种质量对转轴分布对称质量对转轴分布对称的刚体的旋进问题。的刚体的旋进问题。质量对转轴不对称，则对质量对转轴不对称，则对5.7 旋进旋进 （进动，（进动，precession）37MdLmgOLtLMdd 。 MtMLdd LM LL d从而产生旋进运动。从而产生旋进运动。L玩具陀螺的旋进：玩具陀螺的旋进：只改变方向而不改变大小，只改变方向而不改变大小，38旋进角速度：旋进角速度：tdd LLdsind tLtLMddsindd L sin sinsinJMLM JM ，时时当当90， 1 d LOLd sinL 39 回转效应产生附加力矩：回转效应产生附加力矩： 轮船转弯时，涡

23、轮机轴承要承受附加力。轮船转弯时，涡轮机轴承要承受附加力。左转左转dLMM dt =dL附加力附加力附加力附加力轴承轴承 附加力可能附加力可能造成轴承的损造成轴承的损坏，附加力矩坏，附加力矩也可能造成翻也可能造成翻船事故。船事故。M左转弯的力矩左转弯的力矩 三轮车拐弯时易翻车（内侧车轮上翘）。三轮车拐弯时易翻车（内侧车轮上翘）。L40当旋进发生后，总角速度当旋进发生后，总角速度 。 总总只有刚体高速自转时，才有只有刚体高速自转时，才有 ，总总 JL 这时也才有这时也才有 和以上和以上 的表示式。的表示式。 当考虑到当考虑到 对对 的贡献时，的贡献时，总总 自转轴在旋自转轴在旋进中还会出现微小的

24、上下的周期性摆动，进中还会出现微小的上下的周期性摆动，运动叫运动叫章动章动（nutation）。）。这种这种41HomeworkHomework习题：习题：5.2，5.9，5.12，5.16，5.19，5.20 第五章结束第五章结束牛顿力学全部结束牛顿力学全部结束42讨论题讨论题指导指导 1.5 三三 . 2第第1题：题：个有固定轴的刚体上，试判断下列说法的对错。个有固定轴的刚体上，试判断下列说法的对错。（1）两个力都平行于轴时，合力矩一定为零。）两个力都平行于轴时，合力矩一定为零。答：答：对。对。 （ 每个力对轴的力矩皆为零每个力对轴的力矩皆为零）（2）两个力都垂直于轴时，合力矩可能为零。）

25、两个力都垂直于轴时，合力矩可能为零。答：答：对。对。 （ 两个力的力矩相反时合力矩为零两个力的力矩相反时合力矩为零）（3）两个力的合力为零时，合力矩也一定为零。）两个力的合力为零时，合力矩也一定为零。答：答：错。错。 （ 力等值反向，力矩仍可不等值反向力等值反向，力矩仍可不等值反向）（4）两个力的合力矩为零时，合力也一定为零。）两个力的合力矩为零时，合力也一定为零。答：答：错。错。 （ 合力矩为零，两力仍可不等值反向合力矩为零，两力仍可不等值反向）有两个力作用在一有两个力作用在一43指导指导 1.5 三三 . 3第第2题：题：写出下列刚体对写出下列刚体对O轴（垂直板面）的转动惯量轴（垂直板面）的转动惯量（1） RMO OmL利用转动惯量的利用转动惯量的可叠加性可叠加性和和平行轴定理：平行轴定理：231mL222)(2131RLMMRmL O J2)(RLM OJ44（2） Om1m22L2L2221127121LmLm 2222)43()2(121LmLm 21)2(31Lm OJ思考思考右图中的右图中的