索洛经济增长模型

1、第二章 索洛经济增长模型一、问题的提出1.什么因素决定了经济增长？2.经济增长的一般趋势是什么？3.为什么国家或地区之间存在着收入差异？4.穷国能否赶上富国？二、生产函数1.投入与产出的函数形式其中，Y为产量，K为资本，L为劳动力，A为知识或劳动的有效性，t表示时间注意：AL为有效劳动，此种形式的技术进步为“劳动增进型”或“哈罗德中性”思考：如果知识进入的形式不是Y=F(K,AL)（哈罗德中性），而是Y=F(AK,L)（索洛中性）或Y=AF(K,L)（希克斯中性），结果会有何不同？ 只有劳动增进型技术进步被证明与稳态的存在相一致2.生产函数的特性假设（1）规模报酬不变：F(cK,cAL)=cF

2、(K,AL)，对于c0含义：经济足够大，专业化收益被穷尽；其他投入品（如自然资源）相对不重要令c=1/AL,则令有效劳动的人均资本k=K/AL，有效劳动人均产量y=Y/AL，则y=f(k),总产量Y=ALf(k)（2）边际产品递减：f(k)满足f(0)=0,f(k)>0,f”(k)<0，f(k)是资本的边际产品【证明】Y=ALf(k)两边分别对K、L求导数：资本的边际产品为：有效劳动的边际产品为：（3）稻田条件：,一个满足上述条件假设的新古典生产函数图示f(k) f(k)k一个特殊的生产函数：C-D生产函数，思考：试证明C-D生产函数满足3个特性假设。3生产投入品的变动假设时间t是

3、连续的（非离散的）（1）劳动力的增长：（2）知识的增长：其中n为人口增长率，g为技术进步率，均为外生参数，表示不变增长速度思考：L，A为何种形式的增长方式？（指数形式增长，证明）（3）资本的增长：其中s为储蓄率，为资本折旧率，均为外生变量三、平衡增长路径1k的动态学（1）k(t)的动态方程已知 , 先做变换，两边取自然对数对t求导数，得： 代入，有： 是索洛模型的基本微分方程，它表明是的方程。含义说明：人均实际投资用于两方面：一是“资本的深化”，即，二是“资本的广化”（“持平投资”），即。（2）稳态均衡定义“稳态”：一种其中各种数量都以不变速度增长的状况，即=0。当>时，>0（储蓄

4、大于投资）当<时，<0（储蓄小于投资）当=时，=0（储蓄等于投资），即实际投资与持平投资相等。无论k从何处开始，它都收敛于k*。（3）图示： 稳态均衡图示1k* k稳态均衡图示2 k* k证明：稳态均衡图示3（k的相图） k* k2.平衡增长路径当k=k*时，模型中的各个变量将如何变动？变量含义平衡增长速度备注证明绝对量K资本存量n+gk=K/ALL劳动力nA知识或技术gAL有效劳动n+gY总产出n+gF(cK,cAL)=cF(K,AL)C总消费n+gC=(1-s)Y相对量k(Y/AL)有效劳动的平均资本0K/L人均资本gy(Y/AL)有效劳动的人均产出0y=f(k)=Y/ALY/

5、L人均产出gc(Y/AL)有效劳动的人均消费0c=(1-s)f(k)C/L人均消费gK/Y资本产出比0注意：区分各变量（X）与时间（t）之间的变化关系，即X(t)、lnX(t)、 dX(t)/dt/X(t)。结论：在索洛模型中，无论从任何一点出发，经济向平衡增长路径收敛，在平衡增长路径上，每个变量的增长率都是常数，且是外生决定的。特别是，在该路径上，人均产出的增长率仅取决于技术进步率。四、非均衡动态与收敛考察两个非均衡问题：（1）当经济增长处在非稳态时（kk*时）各变量如何向稳态调整？（如何收敛？）（2）向稳态调整有多快？（收敛的速度和时间？）1非均衡动态定义k的增长率，当>时，>

6、0；当<时，<0。非稳态动态图示1增长率<0 增长率>0k* k非稳态动态图示2增长率<0 增长率<0 k* k这表明k离k*越远，其增长率（正或负）越大，即。（思考：这意味着什么样的理论预测？与现实是否相符？）接下来，可以证明索洛模型中的其他变量X的非均衡动态增长率（）与保持比例或线形关系，例如：因此，对k的非均衡动态分析可以同样适用于X，即。结论（索洛模型的收敛性）：每个经济都收敛于其自身的稳态，而且这一收敛的速度与其离稳态的距离成反比，或者说，经济离其自身的稳态值越远，其增长率就越快。2绝对收敛与相对收敛对索洛模型的收敛性的实证检验（样本的同质性与异质

7、性），产生绝对收敛与相对收敛的概念。条件收敛的图示： k(0)poor k*poor k(0)rich k*rich k 含义：当穷国人均初始资本存量较小，而富国的储蓄率较高时，富国会比穷国有更高的增长率。因此，一旦控制了稳态的决定的情况下，条件收敛将成立。3收敛的速度考察收敛的速度的意义在于如果收敛的速度很快，就集中研究稳态情况，如果收敛的速度很缓慢，研究动态过程就更有意义。关键在考察k 以多快的速度趋近k *。由平衡增长的条件可知：，在k=k*处对作一阶泰勒级数近似，可得：因此含义：在平衡增长路径上，k向k*收敛的速度与k与k*之间的距离成比例。令，“收敛系数”，则，所以x的路径为（指数增

8、长），即：可以证明，。举例：假设，=1/3，则（表示k和y向k*和y*每年移动剩余距离的4%），因此走完平衡增长路径距离（即消除与初始收入差距）的一半约需18年时间。证明：，五、黄金分割律、最优消费和黄金率资本存量水平产出、储蓄和消费的关系：有效劳动的平均消费令c=c*（处在平衡增长路径上），则：由于=，所以，目标为人均消费最大化，令，则，即为最优消费的一阶条件，该 为黄金资本存量水平，最优消费，这被称为“黄金分割律”。图示： c gold k*gold k 再考虑储蓄率s变化对消费c*的影响。由平衡增长路径的稳定条件可知：，由此两边对s求导，有：>0,因此的符号决定于与的大小。当，&g

9、t;, >0当，<,<0因此s与c*的关系为：c* cgold sgold s六、储蓄率变动的影响下面考察政策控制变量s的变动的影响，包括：（1） 对稳态均衡的影响；（2） 两个稳态均衡之间的动态路径；（3） 对长期增长的影响程度；（4） 对长期增长的影响持续时间。1储蓄率变化的比较静态均衡 图示1 k* k* k图示2 k* k* k2. 储蓄率变化的动态影响（1） 对k的影响：先增加，并逐步收敛于新的更高水平。 k t 思考：s与k的动态变化有何不同？（2）对Y/L的影响：先暂时性的增加，但随后收敛于原来的平衡增长速度。思考：如何证明？提示：Y/L=Af(k)。 Y/L增

10、长率 tln(Y/L) t思考：储蓄率变动对K 、Y、K/Y的动态影响如何？结论：（1）储蓄率的变化只会暂时性地影响增长率，而不会永久性地影响。或者说，储蓄率的变化只有水平效应，而没有增长效应。（2） 只有技术进步率的变化有增长效应。（3） 政策含义：投入驱动的增长不会持续。 3.储蓄率变化对产出的长期影响考察储蓄率s变化对有效劳动人均产出y的影响（弹性分析）。由可知：由平衡增长的条件得到：两边对s求导数，解得：则两边同乘s/y*，并用代换s，得到：定义为k=k*处的产出的资本弹性，它也是资本收入占总收入的份额。（思考：为什么？）因此，为产出的储蓄率弹性。举例：设=1/3，则=1/2，当储蓄率

11、增加10%时，人均产出长期内仅变化5%。结论：储蓄率的显著变化对平衡增长路径上的产出变化只有较小的影响。4储蓄率变化的影响时间注意“收敛系数”与s无关。前例：假设，=1/3，则（表示k和y向k*和y*每年移动剩余距离的4%），因此走完平衡增长路径距离的一半约需18年时间。因此，当储蓄率增加10%时，人均产出长期内仅变化5%。第1年增长0.04(5%)=0.2%，18年后增长0.5(5%)=2.5%。结论：储蓄率变化对人均产出变化的作用较缓慢。七、对索洛模型的总结和评论1主要结论（1）无论从任何一点出发，经济向平衡增长路径收敛，在平衡增长路径上，每个变量的增长率都是常数。（2）在其他外生变量相似的条件下，人均资本低的经济有更快的人均资本的提高，人均收入低的经济有更高的增长率。（3）人均产出（Y/L）的增长来源于人均资本存量和技术进步，但只有技术进步才能够导致人均产出的永久性增长。（4）通过调节储蓄率可以实现人均最优消费和最优资本存量的“黄金律”增长。（5）储蓄率的变化只会暂时性地影响增长率，而不会永久性地影响；储蓄率的显著变化对平衡增长路径上的产出变化只有较小的影响，且作用缓慢。2批评（1）未能够解释长期经济增长的真正来源。把技术进步（劳动的有效性）看成为外生给定的，而这恰恰是